【8数期中】安徽合肥市蜀山区五十中西区2025-2026学年第二学期八年级期中数学试卷

2025-2026第二学年八年级数学练习一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）1.下列是二次根式的是（）A. B. C. D.2.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定4.估计的值应在（）A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（）A. B.C. D.6.如果非零实数a，b满足，那么点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（）A.5 B.6 C. D.8.已知实数x满足，则代数式的值是（）A.7 B.4 C.7或 D.或39.关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为（）A.8 B. C.9 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.比较大小：______（填，或）．12.直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度．13.定义新运算：例如：，．若，则的值为______．14.如图，在中，，，，（1）______；（2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.用适当的方法解方程：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．（1）画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形；（2）画一个一边长为，面积为6的等腰三角形．18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）若a为正整数，求a的值；（2）在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.，，，…；（1）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；（2）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是；（2）应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21.如图，是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．（1）求直线的解析式；（2）求证：．22.根据以下素材，探索完成任务．如何估算游客人数和门票收入？素材今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．素材若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格元人元人元人问题解决任务确定增长率求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．任务预计门票收入若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．任务拟定价格方案将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？七、（本题满分14分）23.利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题：（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，点F在边上，且．求证：．为了解决这个问题，小明把绕点A逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程；（2）如图③，在等腰中，，点M在边上，，，求的长；（3）如图④，在四边形中，，，，点E，F分别在边，上，且，求此时的周长．

2025-2026第二学年八年级数学练习一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）1.下列是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果．【详解】解：∵选项A中被开方数，∴不是二次根式；∵选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴不一定是二次根式；∵，∴，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴选项C是二次根式；∵选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式．2.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可．【详解】解：A．∵，∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；B．∵，∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；C．∵，∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；D．∵，∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形．故选：D．3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握根的判别式与根的情况的关系，计算判别式的值即可判断根的情况．【详解】解：对于一元二次方程，可得，，．计算判别式，代入数值计算得．，方程有两个不相等的实数根．4.估计的值应在（）A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间【答案】B【解析】【分析】本题考查无理数的估算，先确定的取值范围，再利用不等式性质得到的范围即可．【详解】解：，，且对不等式三边同时加4，得即因此的值在6和7之间．5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键．设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可．【详解】解：设规定时间为x天，∵慢马所需时间为天，∴慢马速度为；∵快马所需时间为天，∴快马速度为；∵快马速度是慢马速度的倍，∴，故选A．6.如果非零实数a，b满足，那么点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简等式得到的符号，最后根据象限坐标特征判断点的位置．【详解】解：∵二次根式有意义，且为非零实数∴化简等式左边：∵，∴左边由题意得∵，，∴两边同时除以得，即∵为非零实数，∴∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限．7.“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（）A.5 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、长方形的性质，关键是根据题意得到线段的关系．根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，继而可求，再根据正方形的面积求解即可．【详解】解：∵矩形和矩形全等，四边形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，∴正方形的面积为，∴正方形边长为，故选：A．8.已知实数x满足，则代数式的值是（）A.7 B.4 C.7或 D.或3【答案】A【解析】【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可.【详解】解：∵，令，由平方数的非负性得，原方程可化为，因式分解得，∴或，解得或，∵，∴不符合题意舍去，得，∴．9.关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先根据相等的实数根的性质得到判别式为，结合已知条件整理得到，，的关系，再判断选项．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，，∵，∴，将代入得，整理得，即，∴，将代入得，∴，即，故C正确．∴，，，故A错误、B错误、D错误．10.如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的长为（）A.8 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】连接，根据正方形的面积得出，，进而求得，证明，进而得到，证明、、三点共线，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：连接，，，、，，在中，由勾股定理得：，，四边形和四边形是正方形，、、，，，在和中，，，，、，，、、三点共线，，在中，由勾股定理得：，．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.比较大小：______（填，或）．【答案】【解析】【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系．【详解】解：，，，，，，．12.直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则_____度．【答案】【解析】【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角．根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案．【详解】解：∵是正六边形，∴正六边形的各内角相等，∴．∵正六边形的内角和为：，∴．在四边形中，，∴．∵，，∴．故答案为：．13.定义新运算：例如：，．若，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵而，∴①当时，则有，解得，；②当时，，解得，综上所述，x的值是或，故答案为：或．14.如图，在中，，，，（1）______；（2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______．【答案】①.8②.4或4【解析】【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（1）根据含角的直角三角形的性质，求出的长即可；（2）根据折叠的性质可得，设，则、，分和两种情况讨论，根据勾股定理求出长，利用等腰三角形的性质和折叠的性质求解即可

．【详解】（1）解：在中，，，，；（2）解：在中，，由折叠的性质知，，，设，则、，是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：①当时，，解得，；②当时，，、，、，，，，点与重合，如图：，在中，由勾股定理得：，，，综上所述，的长为4或．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】15【解析】【分析】根据二次根式的乘法，平方差公式，加减混合运算求解即可．【详解】解：原式．16.用适当的方法解方程：．【答案】，．【解析】【分析】先利用根的判别式差别根的情况，再利用求根公式求解．【详解】解：在中，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，理解根的判别式是解答关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．（1）画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形；（2）画一个一边长为，面积为6的等腰三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形；（2）画一个底边长为，底边上的高为的等腰三角形即可．【小问1详解】解：（答案不唯一）根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形，画图如下：该三角形即为所求；【小问2详解】解：如图，底边长为，底边上的高为的等腰三角形．∴，∴所画三角形即为所求．18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）若a为正整数，求a的值；（2）在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值．【答案】（1），，（2）6【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式列出不等式，解出的取值范围，再结合为正整数，确定的值．（2）先根据（1）的条件确定偶数的值，代入方程求出方程的根，再利用根的定义和韦达定理，对代数式进行化简求值．【小问1详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，∴，为正整数，，，；【小问2详解】解：是偶数，且，将代入原方程得即，是方程的根，，，由一元二次方程根与系数的关系得，，∴五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.，，，…；（1）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；（2）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．【答案】（1），；（2）（为正整数），证明见解析．【解析】【分析】（1）通过观察已知等式中整数部分、分数分母与结果的变化规律，直接写出后续两个等式．（2）先归纳出含的通用规律等式，再通过分式通分、二次根式化简证明等式成立．【小问1详解】解：，，，，，；【小问2详解】解：（为正整数）证明：为正整数，为正整数，，，（n为正整数）成立．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是；（2）应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键．（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；（2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【小问1详解】解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示：一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为，，，在中，，即最短的路线长是，故答案为：；【小问2详解】解：由题意可得，，，，，设，则，在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，故绳索的长为．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21.如图，是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．（1）求直线的解析式；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，再利用勾股定理得出的长，即可得出点坐标，将点代入直线即可求出函数解析式；（2）先求出点坐标，得出的长、的长，再利用勾股定理逆定理得出答案．【小问1详解】解：过点作于点，是边长为2的等边三角形，，，，，将点代入直线得：，解得：，故；【小问2详解】证明：当时，即：，解得，即，，，，，，，．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函数图象上点的坐标性质，解题的关键是得出点坐标．22.根据以下素材，探索完成任务．如何估算游客人数和门票收入？素材今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．素材若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格元人元人元人问题解决任务确定增长率求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．任务预计门票收入若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．任务拟定价格方案将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？【答案】任务1:;任务2:万元；任务3:元或元【解析】【分析】任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，利用月份游玩某景区的游客人数月份游玩某景区的游客人数该景区游客人数平均每月增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；任务利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，即可求出结论；任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票