2026年新高考全国卷2数学冲刺模拟卷含解析

2026年新高考全国卷2数学冲刺模拟卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|x²-3x+2≤0},B={x|x-a∈(0,2)},则A∩B={1,2}的充要条件是()A.a=1B.a=3C.a∈(1,3)D.a∈(-1,5)2.复数z满足z=1+i(i为虚数单位)，则z²的虚部是()A.2B.-2C.1D.-13.执行以下算法语句，如果输入的n是正整数，则输出变量s的值是()s←0k←1WHILEk≤nDOs←s+1/kk←k+2ENDWHILE输出sA.1+1/3+1/5+...+1/(2n-1)B.1/2+1/4+1/6+...+1/2nC.1+1/2+1/3+...+1/nD.1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1)4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是()A.1B.2C.3D.45.在等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则a₅+a₇的值是()A.-10B.-8C.-6D.-46.已知点A(1,2),B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+3=07.执行以下程序段后，变量s的值是()i←1s←0WHILEi≤4DOs←s+i*ii←i+1ENDWHILEA.1B.4C.10D.208.一个三棱锥的底面是边长为a的正三角形，侧棱长均为b，则该三棱锥的体积是()A.(a³√2)/12B.(a³√3)/12C.(a²b√2)/4D.(a²b√3)/4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.若向量u=(1,k)与向量v=(3,-2)互相垂直，则实数k的值是_______.10.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的函数表达式是_______.11.若x>0，则函数y=x+1/x的最小值是_______.12.在一个盒子里有大小相同的5个红球和4个白球，从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是_______.13.已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心C的坐标是_______.14.若实数x满足不等式|x-1|<2，则x²的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。16.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求边c的长；(2)求sinA的值。17.(本小题满分14分)已知数列{aₙ}是等比数列，a₂=6,a₅=162。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)设bₙ=log₃(aₙ+1)，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。18.(本小题满分15分)已知直线l:y=kx+b与圆C:x²+y²-x+2y-3=0交于A,B两点，且线段AB的中点为(1,-2)。(1)求实数k和b的值；(2)求△ABC的面积。19.(本小题满分15分)在数列{aₙ}中，a₁=1,aₙ₊₁=2aₙ+1(n∈N*)。(1)证明：数列{aₙ+1}是等比数列；(2)求数列{aₙ}的通项公式；(3)设Sₙ=a₁/aₙ+a₂/aₙ₊₁+...+aₙ/aₙ₊ₙ，求Sₙ的表达式。20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=eˣ-mx(e为自然对数的底数，m为实数)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一的零点，求实数m的取值范围；(3)在(2)的条件下，设g(x)=x²+f'(x)，讨论函数g(x)在区间(0,+∞)上的单调性。试卷答案1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.D9.-3/210.sin(-2x)11.212.5/913.(2,-3)14.(0,4)15.解：(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x<0或x>2；令f'(x)<0，得0<x<2。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(2)由(1)知，f(x)在[-1,0]上递增，在[0,2]上递减，在[2,4]上递增。f(-1)=1,f(0)=2,f(2)=-2,f(4)=18。故f(x)在区间[-1,4]上的最大值为18，最小值为-2。16.解：(1)由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=3²+(√7)²-2×3×√7×cos60°=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。(2)由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinA=(a/b)sinB=(3/√7)sin60°=(3√7)/(14)。又sin²A+cos²A=1，故cosA=√(1-sin²A)=√(1-((3√7)/(14))²)=√(1-27/196)=√(169/196)=13/14。故sinA=3√7/14。17.解：(1)设数列{aₙ}的公比为q。由a₅=a₂q³，得162=6q³，解得q³=27，故q=3。故aₙ=a₂qⁿ⁻²=6×3ⁿ⁻²=2×3ⁿ。(2)bₙ=log₃(aₙ+1)=log₃(2×3ⁿ+1)。数列{bₙ}的前n项和Sₙ=log₃(2×3¹+1)+log₃(2×3²+1)+...+log₃(2×3ⁿ+1)=log₃[(2×3¹+1)(2×3²+1)×...×(2×3ⁿ+1)]。注意到(2×3ᵏ+1)=2³ᵏ+1，故Sₙ=log₃[(2×3¹+1)(2×3²+1)×...×(2×3ⁿ+1)]=log₃[(2³¹-1)(2³¹+1)×(2³²+1)×...×(2³ⁿ+1)]=log₃[(2³²-1)(2³²+1)×...×(2³ⁿ+1)]=...=log₃(2³ⁿ⁺¹-1)=n+1。18.解：(1)将直线l的方程y=kx+b代入圆C的方程x²+y²-x+2y-3=0，得x²+(kx+b)²-x+2(kx+b)-3=0，即(1+k²)x²+(2kb-1)x+(b²+2b-3)=0。设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-(2kb-1)/(1+k²)=2。由线段AB中点为(1,-2)，得x₁+x₂=2。故-(2kb-1)/(1+k²)=2，整理得2kb-1=-2(1+k²)，即2kb=-1-2k²。又由y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2b=k×2+2b=-4，得k+b=-2。联立{2kb=-1-2k²,k+b=-2}，解得k=-1,b=-1。故实数k和b的值分别为-1和-1。(2)由(1)知，直线l的方程为y=-x-1，即x+y+1=0。圆C的方程为x²+y²-x+2y-3=0，圆心C(-1/2,-1)，半径r=√[((-1/2)-0)²+((-1)-0)²+3]=√(1/4+1+3)=√(15/4)=(√15)/2。点C到直线l的距离d=|(-1/2)+(-1)+1|/√(1²+1²)=|-1/2|/√2=√2/4。故△ABC的面积S=(1/2)×|AB|×d=(1/2)×2√(r²-d²)×d=√(r²-d²)×d=√(((√15)/2)²-(√2/4)²)×(√2/4)=√(15/4-2/16)×(√2/4)=√(60/16-2/16)×(√2/4)=√(58/16)×(√2/4)=(√(29/8))×(√2/4)=(√(29×2)/(8×4))=√58/32=(√58)/16。19.解：(1)证法一：设数列{bₙ}的公比为q'。由aₙ₊₁=2aₙ+1，得aₙ₊₁+1=2aₙ+1+1=2(aₙ+1)。故(aₙ₊₁+1)/(aₙ+1)=2，与n无关。又a₁+1=1+1=2，故数列{aₙ+1}是首项为2，公比为2的等比数列。证法二：设数列{bₙ}的公比为q'。由aₙ₊₁=2aₙ+1，得aₙ₊₂=2aₙ₊₁+1=2(2aₙ+1)+1=4aₙ+2+1=4aₙ+3=4(aₙ+1)-1=2²(aₙ+1)-1。故(aₙ₊₂+1)/(aₙ₊₁+1)=(2²(aₙ+1)-1+1)/(2(aₙ+1)-1)=2²(aₙ+1)/(2(aₙ+1)-1)=2(当aₙ+1≠0且aₙ+1≠1/2时)。由于a₁+1=2≠0且2≠1/2，故数列{aₙ+1}是等比数列，公比为2。(2)由(1)知，数列{aₙ+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故aₙ+1=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ。故aₙ=2ⁿ-1。(3)Sₙ=a₁/aₙ+a₂/aₙ₊₁+...+aₙ/aₙ₊ₙ=(a₁/aₙ+a₁/aₙ₊₁+...+a₁/aₙ₊ₙ₋₁)+(a₂/aₙ₊₁+a₂/aₙ₊₂+...+a₂/aₙ₊ₙ)+...+(aₙ₋₁/aₙ₊ₙ₋₁+aₙ₋₁/aₙ₊ₙ)+aₙ/aₙ₊ₙ=(1/(2⁰-1)+1/(2¹-1)+...+1/(2ⁿ⁻¹-1))+(1/(2¹-1)+1/(2²-1)+...+1/(2ⁿ-1))+...+(1/(2ⁿ⁻¹-1)+1/(2ⁿ-1))+(1/(2ⁿ-1)/(2ⁿ-1))=(1/1+1/1+...+1/1)+(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))+...+(1/1+1/(2ⁿ⁻¹))+1/1=n+(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))+(n-1)(1/1+1/(2ⁿ⁻¹))=n+(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))+(n-1)/1+(n-1)/(2ⁿ⁻¹)=n+(n-1)+(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))+(n-1)/(2ⁿ⁻¹)=2n-1+(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))+(n-1)/(2ⁿ⁻¹)。注意到(1/1+1/3+...+1/(2ⁿ⁻¹))=(1/2⁰+1/2¹+...+1/2ⁿ⁻²)=(1-1/2ⁿ⁻¹)/(1-1/2)=2(1-1/2ⁿ⁻¹)。故Sₙ=2n-1+2(1-1/2ⁿ⁻¹)+(n-1)/(2ⁿ⁻¹)=2n-1+2-2/(2ⁿ⁻¹)+(n-1)/(2ⁿ⁻¹)=2n+1-(2+n-1)/(2ⁿ⁻¹)=2n+1-(n+1)/(2ⁿ⁻¹)=(2n+1)2ⁿ⁻¹-(n+1)/2ⁿ⁻¹=(2n×2ⁿ⁻¹+2ⁿ⁻¹-n-1)/2ⁿ⁻¹=(2ⁿ⁺¹n+2ⁿ⁻¹-n-1)/2ⁿ⁻¹=(2ⁿ⁺¹n-n+2ⁿ⁻¹-1)/2ⁿ⁻¹=(n(2ⁿ⁺¹-1)+2ⁿ⁻¹-1)/2ⁿ⁻¹=n(2ⁿ⁺¹-1)/2ⁿ⁻¹+(2ⁿ⁻¹-1)/2ⁿ⁻¹=n(2+1/2ⁿ⁻¹)+1-1/2ⁿ⁻¹=2n+n/2ⁿ⁻¹+1-1/2ⁿ⁻¹=2n+1+(n-1)/2ⁿ⁻¹。20.解：(1)f'(x)=eˣ-m。令f'(x)>0，得eˣ-m>0，即eˣ>m，得x>lnm。令f'(x)<0，得eˣ-m<0，即eˣ<m，得x<lnm。故函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增，在(-∞,lnm)上单调递减。(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上存在