2026届新高考数学考前冲刺最后一课 随机变量的分布列、期望与方差

2026届新高考数学考前冲刺最后一课随机变量的分布列、期望与方差

【解析】B2．已知X的分布列为

【解析】

X－101PA3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)=E(X乙)，方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计 (

)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较B4．设0＜m＜1，随机变量ξ的分布列为

ξ0m1P【解析】

【答案】D5．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70kg，标准差为4，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为______．

【解析】124期望与方差的性质目标1

(1)(多选)已知a，b，c∈(0，1)，随机变量ξ的分布列为1则下列说法正确的是

(

)A．E(ξ－2)=E(ξ) B．D(ξ－2)=D(ξ)C．E(ξ2)≥(E(ξ))2 D．D((ξ－2)2)=D(ξ2)ξ123Pabc【解析】

【答案】BC

【解析】ξ234Pxy

【解析】变式1

CX－101PabA．9 B．7 C．5 D．3

【解析】

【答案】ACD“非标准模型”的期望与方差目标2

(2025∙宁波模拟)在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

【解答】2

(2025∙宁波模拟)在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数．(2)设X为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2)，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

【解答】X012P2

变式2

(1)求质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；

ABCDE积分－200－1000100200

【解答】

(2)求随机变量X的分布列及数学期望．

ABCDE积分－200－1000100200

【解答】变式2

所以随机变量X的分布列为X－400－2000200400P

图表解析类概率问题目标3

(2025∙苏州期初)为更好地提升旅游品质，哈尔滨市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分(满分100分)，80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；3

【解答】

(2025∙苏州期初)为更好地提升旅游品质，哈尔滨市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分(满分100分)，80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在［70，80)，［80，90)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望．3【解答】

X123P

(2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：

单位：个

【解答】变式3

绿化达标垃圾分类达标绿化达标且垃圾分类达标甲区300250200乙区180150120(1)从甲、乙两个区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率；

(2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：单位：个

绿化达标垃圾分类达标绿化达标且垃圾分类达标甲区300250200乙区180150120(2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设ξ表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求ξ的分布列和数学期望；变式3

【解答】

ξ012P

(2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：单位：个

绿化达标垃圾分类达标绿化达标且垃圾分类达标甲区300250200乙区180150120(3)城市管理部门计划按照分层随机抽样的方式从甲、乙两个区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设X为“绿化达标”居民小区的数量，Y为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差D(X)，D(Y)的大小．变式3

【解答】

期望与方差的实际应用目标4

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1

000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．①求顾客所获得的奖励额为60元的概率；

【解答】4

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1

000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．②求顾客所获得的奖励额的分布列及数学期望．

【解答】X2060P

4

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1

000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．【解答】4对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获得的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P

对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获得的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080P

【解析】1．已知随机变量X的分布列为A

X123P

【解析】C3．已知甲、乙两名员工从各自的家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是

(

)A．E(X)=1.5，D(X)=0.36 B．E(X)=1.4，D(X)=0.36C．E(X)=1.5，D(X)=0.34 D．E(X)=1.4，D(X)=0.34时间/分钟10~2020~3030~4040~50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1【解析】

【答案】D

【解析】

【答案】AD

【解析】

【答案】BCD6．(多选)(2025∙合肥二模)从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分(满分100分)绘制如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，并用频率估计概率，记高一年级学生得分平均数的估计值为x，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y，z．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件M=“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”，则 (

)A．x＜z

B．y＞zC．事件M，N互斥

D．P(M)=P(N)高一年级学生得分高二年级学生得分【解析】

x=(35×0.01＋45×0.02＋55×0.03＋65×0.02＋75×0.01＋85×0.005＋95×0.005)×10=58.5，z=(35×0.005＋45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.005)×10=67.5，因为0.05＋0.1＋0.15＋0.2=0.5，所以y=70，所以x＜z，y＞z，故A，B正确．因为M⋂N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”≠∅，C错误．由频率估计概率得P(M)=(0.2＋0.1＋0.05＋0.05)×(0.15＋0.05)=0.08，P(N)=(0.05＋0.05)×(0.2＋0.3＋0.15＋0.05)=0.07，D错误．【答案】AB7．(2025∙运城期末)在对某校全体学生每天运动时间的调查中，采用分层随机抽样的方法，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；抽取了女生20人，其每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为______．

【解析】110

【解析】

9．(2025∙全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则数学期望E(X)=_____．

【解析】

10．(2025∙郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：触发警报时状态分布未触发警报时状态分布正常25台正常450台故障475台故障50台处理单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：状态操作保持运行快速诊断深度检修正常013故障1046假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．(1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率．

【解答】(2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案最优．

【解答】方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为E1=0.95×6＋0.05×3=5.85(千元)，未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为E2=10×0.1＋0×0.9=1(千元)，所以E甲=E1＋E2=6.85(千元)．方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E3=0.95×4＋0.05×1=3.85(千元)，所以E乙=E2＋E3=1＋3.85=4.85(千元)．方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E4=0.1×4＋0.9×1=1.3(千元)，所以E丙=E1＋E4=5.85＋1.3=7.15(千元)．因为E乙＜E甲＜E丙，所以方案乙最优．11．(2024∙新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，所以比赛成绩不少于5分的概率P=(1－0.63)×(1－0.53)=0.686.【解答】11．(2024∙新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(2)假设0＜p＜q．①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为1