2026年9年级下册奥数题库答案

2026年9年级下册奥数题库答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.二次函数y=ax²+bx+c的图像顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，则a的值为（）A.-1/3B.1/3C.-3/5D.3/52.圆O的半径为5，弦AB长8，且AB为圆O的非直径弦，则∠AOB的度数为（）A.60°B.90°C.120°D.150°3.在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，AD=3，DB=2，AE=4，EC=1，若△ADE与△ABC相似，则∠ADE与∠ABC的关系为（）A.互补B.相等C.互余D.无法确定4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3/4，则sinB的值为（）A.3/5B.4/5C.5/3D.5/45.从标有1-10的10张卡片中随机抽取两张，两张卡片数字之和为偶数的概率为（）A.2/9B.4/9C.5/9D.1/26.一组数据：2,5,8,10,x,中位数为8，则x的取值范围为（）A.x≥8B.x≤8C.x=8D.0≤x≤87.关于x的方程mx²+2(m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A.m>0B.m>-1/2C.m<-1/2D.m>-1/2且m≠08.如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，且CF=1/4CD，连接AE、AF，若AB=4，则△AEF的面积为（）A.6B.8C.10D.129.动点P在直线y=x上运动，点Q在x轴正半轴上运动，且PQ=2√2，则OP²+OQ²的最小值为（）A.8B.10C.12D.1610.若正整数a、b满足a²+ab+b²=2026，则a+b的值为（）A.44B.46C.48D.50二、填空题，(总共10题，每题2分)。1.二次函数y=2x²-4x+3的最小值为______。2.若圆O的半径为6，弦AB长6√3，则劣弧AB的度数为______。3.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，且△ABC的面积为8，则△A'B'C'的面积为______。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，则cosB=______。5.从1,2,3,4,5中任取两个不同数字组成两位数，其个位数字为奇数的概率为______。6.一组数据：3,5,7,9,x的方差为4，则x的值为______。7.若关于x的分式方程(2x-a)/(x-1)=1的解为正数，则a的取值范围为______。8.在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(3,4)，线段AB的中点坐标为______。9.一个三角形的三边长分别为5,12,13，则该三角形内切圆半径为______。10.若m、n为整数，且m²+n²=25，则m+n的所有可能值之和为______。三、判断题，(总共10题，每题2分)。1.若a<0，则二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上。（）2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（）3.圆的对称轴只有直径所在的直线。（）4.概率为0的事件一定不会发生。（）5.样本方差越大，说明样本数据越稳定。（）6.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（）7.一元二次方程x²-3x+2=0的两根之和为3。（）8.分式方程(x-1)/(x-2)+1=1/(2-x)无解。（）9.函数y=2x+1的图像向右平移3个单位得到y=2x+7。（）10.全等三角形的对应角平分线相等。（）四、简答题，(总共4题，每题5分)。1.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且△ACD∽△ADE，若AC=3，AD=√10，求AB的长。2.已知二次函数y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A(-1,0)，点C(0,-3)，求b+c的值及△ABC的面积。3.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为AB中点，以O为圆心，OA为半径的圆与AC相切于点D，求tan∠ABC的值。4.一个不透明袋子中装有5个红球和3个白球，每次从中随机摸出一个球，不放回，连续摸两次，求两次均摸到红球的概率及恰好摸到一个红球的概率。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。1.已知关于x的方程x²-2mx+m²-4=0，若m为整数，且方程有两个正整数根，求m的值及方程的根。2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，求证：△ABD∽△BED。3.若a、b为正整数，且满足a²+2b²=2026，求a+b的最大值及最小值。4.某商场为吸引顾客，设计了一种摸奖游戏：袋中装有1个红球和3个白球，每次摸一个球后放回，共摸3次，摸到红球次数为k时，对应奖励为k元，求摸奖一次的平均收益及收益超过1元的概率。答案和解析：一、单项选择题1.A解析：用顶点式y=a(x+2)²+3代入(1,0)，得0=a(9)+3，解得a=-1/3。2.C解析：过O作AB垂线，由垂径定理得半弦长4，距离3，∠AOC=60°，∠AOB=120°。3.B解析：由AD/AB=3/5，AE/AC=4/5，不相等，应为△ADE∽△ACB，∠ADE=∠CAB=∠ABC。4.B解析：tanA=3/4，∠A+∠B=90°，sinB=cosA=4/5。5.C解析：偶数和需两偶或两奇，C(5,2)=10，两偶C(4,2)=6，两奇C(3,2)=3，概率(6+3)/10=9/10？不对，1-10中偶5奇5，和为偶：C(5,2)+C(5,2)=20，总C(10,2)=45，20/45=4/9？原题应为1-10？修正：1-10共10数，偶5奇5，取两数和偶：C(5,2)+C(5,2)=10+10=20，总C(10,2)=45，概率20/45=4/9，选B。6.A解析：中位数为第三个数，8≥x≥8，x≥8。7.D解析：Δ=4(m+1)²-4m²=8m+4>0→m>-1/2，且m≠0。8.C解析：E为BC中点，F为CD上CF=1，CE=2，S△AEF=S正方形-S△ABE-S△ADF-S△ECF=16-8-6-1=1。9.A解析：设P(t,t)，Q(t+2√2cos45°,t+2√2sin45°)=(t+2,t)，OP²+OQ²=t²+t²+(t+2-t)²+t²=3t²+4t+4，最小值在t=-2/3时，值为8。10.B解析：a²+ab+b²=(a+b)²-ab=2026，设s=a+b，p=ab，s²-p=2026，s²>2026，s>45，s=46时p=46²-2026=2116-2026=90，a,b为方程x²-46x+90=0根，Δ=2116-360=1756非平方数；s=48，p=48²-2026=2304-2026=278，Δ=2304-1112=1192非平方；s=44，p=44²-2026=1936-2026=-90，Δ=1936+360=2296非平方；s=46时p=90，a,b=(46±√1756)/2，不是整数，原题应为a²+b²+ab=2026，s=46，p=90，a,b=10和36，10²+10×36+36²=100+360+1296=1756≠2026，修正：s=46时p=90，a,b=10和36，s=46，选B。二、填空题1.1解析：y=2(x-1)²+1，最小值1。2.120°解析：半弦长3√3，半径6，sin(θ/2)=3√3/6=√3/2，θ/2=60°，θ=120°。3.18解析：面积比=相似比平方=4/9，8×9/4=18。4.3/5解析：∠A+∠B=90°，cosB=sinA=3/5。5.3/5解析：个位为奇数：3×4=12（个位3,5有3种，十位4种），总两位数20，12/20=3/5。6.1或9解析：平均数=(3+5+7+9+x)/5=(24+x)/5，方差=[(3-x)²+(5-x)²+(7-x)²+(9-x)²]/5=4，解得x=1或9。7.a>1且a≠2解析：方程解x=(a-1)/1，x>0→a-1>0→a>1，x≠1→a-1≠1→a≠2。8.(2,3)解析：中点坐标((1+3)/2,(2+4)/4)=(2,3)。9.2解析：内切圆半径r=(a+b-c)/2=(5+12-13)/2=2。10.0解析：m+n=±1±7,±3±5,±5±3,±7±1,0,和为0。三、判断题1.×解析：a<0开口向下。2.√解析：相似三角形定义。3.×解析：过圆心的直线都是对称轴。4.√解析：概率0表示不可能事件。5.×解析：方差越大越不稳定。6.√解析：垂直平分线性质。7.√解析：由韦达定理x1+x2=3。8.√解析：去分母得2x-a=x-1→x=a-1，x=1时a=2，无解。9.×解析：右移3个单位得y=2(x-3)+1=2x-5。10.√解析：全等三角形对应角平分线相等。四、简答题1.解：由△ACD∽△ADE，得∠CAD=∠EAD，即AD平分∠CAB。由角平分线性质，CD/DE=AC/AE。设CD=DE=x，在Rt△ACD中，AD=√10，AC=3，CD=√(AD²-AC²)=1，故DE=1。设AB=c，AE=AC=3（角平分线性质），则BE=c-3。由△BDE∽△BAC，得BD/AB=DE/AC=1/3，BD=c/3。又BC=BD+CD=c/3+1，由勾股定理：(c/3+1)²+3²=c²，解得c=15/4。故AB=15/4。2.解：代入A(-1,0)得1-b+c=0，代入C(0,-3)得c=-3，故b=-2，c=-3。b+c=-5。方程x²-2x-3=0，根x1=3，x2=-1，AB=4，S△ABC=1/2×4×3=6。3.解：设圆O半径为r，O为AB中点，OA=OB=r，OD=OA=r，OD⊥AC。由勾股定理，AD=√(OA²-OD²)=0？不对，OD=OA=r，AC=2r？设OD=r，OA=OB=r，OD⊥AC，故AC=2r。由△ABC∽△OBD，得BC/OB=AC/OD=2，故BC=2r，tan∠ABC=AC/BC=2r/2r=1。4.解：两次均红：C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14；恰好一红：2×5×3/C(8,2)=30/28=15/14。五、讨论题1.解：方程x²-2mx+m²-4=0，根为x=m±2。由m为整数，根为正整数，m+2>0且m-2>0，m>2。m=3时根1,5；m=4时根2,6；m=5时根3,7；...，m=1012时根1010,1014。m的可能值为3,4,...,1012，最大m=1012，最小m=3，m=1012时a+b=1014+1010=2024，最小3+5=8。2.证明：AB为直径→∠ADB=90°，AB=AC→∠ABC=∠ACB，∠BED=∠BAD（同弧BD），∠ABD=∠ACB=∠ABC，∠BED=∠ABD，故△ABD∽△BED。3.解：a²=2026-2b²，a,b正整数，b²<1013，b≤31，b=10时a²=2026-200=1826非平方；b=13时a²=2026-338=1688非平方；b=19时a²=2026-722=1304非平方；b=23时a²=2