正弦定理 高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3

平面向量的应用6.4.3.2

正弦定理利用余弦定理可以解决的问题：1、已知两边和夹角求第三边。2、已知三边求三角。cosA=²+2²-acosB=2²+2²-²cosC=a²+2²-2a²=b²+c²-2bccosAb²=c²+a²-2cacosBc²=a²+b²-2abcosC复

习

：余弦定理及其推论：课题引入：我们知道：

三角形中：大角对大边，大边对大角.那么三角形中，一个角与它的对边长度是否存在更精确的定

量关系?先考察Rt△ABC此结论在斜三角形ABC

中也成立吗?AD

|ACcosDAC=|AD

|ABcosDABAD

bsinC=|AD

csinB→bsinC=csinB作AD⊥BC,垂足为D.→AD.BC=0→AD·(AC-AB)=0

→AD.AC=AD·AB法一(利用向量)法二(利用三角形面积)在任意三角形中法三(利用圆周角相等)作△ABC的外接圆，得直径BD=2R,连AD,易得∠D=∠C.在Rt△BAD中，C=BDsinD=2RsinC.即同理可证(其中R为△ABC外接圆半径)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦

的比相等，即

R:外接圆的半径利用正弦定理，可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其它边与角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其它边与角.正弦定理(1

a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C的变式：(2a:b:c=sinA:sin

B:sin

C入

木

三

分

1.在△ABC

中，由sin

A>sin

B

一定能推出A>B吗?答：能推出.∴a>b,根据大边对大角这一结论，得A>B.且sin

A>sin

B,

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1.(多选)有关正弦定理的叙述正确的是

(

)A.

正弦定理只适用于锐角三角形B.正弦定理不适用于钝角三角形C.

在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值D.

在△ABC中，sinA:sinB:sinC=a:b:c解析：正弦定理适用于任意三角形，故A

、B均不正确；由正弦定理可知，三

角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性

质和正弦定理可推知D正确.答案：CD题型一

已知两角及一边解三角形2.

在△ABC中，已知A=30°,

B=60°,a

=10,

则

b等于A.5√2

AAS型

B.10√3

D.5√6n答案：B(

)题型

二已知两边及其中一边的对角解三角形SSA

型4.在△ABC

中，a=5,b=5/3,A=30°,则

B=_

●解析：由正弦定理，

,

得

∵b>a,∴B>A,

且0°<B<180°,∴B=60°

或120°.答案：60°或120°[方法技巧]1.

已知任意两角和一边，解三角形的步骤(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；

(2求边：根据正弦定理，求另外的两边.已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.2.已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角；(2)用三角形内角和定理求出第三个角；

(3根据正弦定理求出第三条边.3.三角形的面积公式,即任意三角形的面

积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.②

其

中a

为△ABC

的一边长，而h

为该边上的高的长.

其中

r,1分别为△ABC

的内切圆半径及△ABC的周长.

其

中R

为△ABC的外接圆半径.(5)S△ABC=√P(p-a)(p-b)(p-c),

其中

5.在△ABC

中

，A,B,C所对的边分别为a,b,c,

其

中a=4,b=3,C=60°,则△ABC

的面积为

●解析：答案：3

√3题型三

求

三

角

形

面

积即时小练

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I.

当

A为锐角时：a<bsinA

时

，sinB>1,B

无解；a=bsinA时

，sinB=1,B

一

解；bsinA<a<b,sinB<1,B

两解；a≥b时

，B一

解；Ⅱ

.

当A为直角或钝角时：探究：SSA

型关于已知两边(a,b)和其中

一

边的对角(A),

解三角形的讨论(解的个数):总结：(1)所求角为小边对角，必为一解(2)所求角为大边对角，已知角必须锐角，解的个数算了再说

.a≤b

时

，A≤B,Ba>b,B一

解

.无解；练

习

：

根据下列条件，判断三角形解的个数(1b=13,a=26,A=30°.

所求B

为锐角，一解(2)b=26,a=13,A=30°.

所求B

为大边对角sinB=1,

一解(3)b=20,a=13,A=30°.所求B为大边对角sinB<1,二解(4)b=30,a=13,A=30°.

sinB>1,无解(5)b=10,a=13,A=120°.

钝角A

对边为大边，一解(6b=20,a=13,A=120°.

B>A,

钝角A

对边为小边，无解利用边角转化判断三角形的形状[典例]

在△ABC中，已知a²tanB=b²tanA,则△ABC的形状是A.

锐角三角形

B.直角三角形C.

钝角三角形

D.

等腰三角形或直角三角形说明：在△ABC中，(1)若cos2A=cos2B,则

△ABC是等腰三角形；(2)若sin2A=sin2B,

则

△ABC是等腰三角形或直角三角形

.

[题点三]

∵sin

Asin

B≠0,∴

G∴sin

2A=sin

2B,∴2A=2B或2A=π—2B,∴A=B

或

G

故△ABC

为等腰三角形或直角三角形.[答案]

D[解析]

由正弦定理，得

sin²AtanB=sin²BtanA,[方法技巧]通过边角转化判断三角形形状的方法(1)化边为角.利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个

内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如

a=b,a²+b²

=c²),

进而确定三角形的形状.

[题点二]求三角形的面积[典例]

在△ABC

中，若a=2,求△ABC的面积

S.---[赢在微“点”]--先利用倍角公再利用正弦定理最后代入面积公式解

]

9●

∴sinA=sin(B+C)●●●[方法技巧]--已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为----的对边分别为a,b,c,且

bsin

A=√3acos

B.--[赢在微“点”]----------(1)题将边化为角的正弦值求解(2)题将角的正弦值化为边的关条，利用余弦定理求解的值.[典例]

设△ABC的内角A,B,C(1)求角B

的大小；(2若b=3,sin

C=2sin

A,

求

a,c

[题点四]正、余弦定理的简单综合[解](1∵bsin

A=3acosB,

由正弦定理得

sin

Bsin

A=√3sin

Acos

B,在△ABC中，sin

A≠0,即得

tan

B=√3,∴(2)∵sin

C=2sin

A,

由正弦定理得

c=2a,由余弦定理b²=a²+c²—2accos

B,解得a=

√3,∴c=2a=2

√3.[方法技巧]利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个

定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角

”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键。(3)a:b:c=sin

A:sin

B:sin