2026年高考数学总复习专项突破-平面向量数量积及最值与范围问题

微专题6平面向量数量积及最值与范围问题

［考情分析］平面向量的数量积及有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件

求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析

式，转化为求函数（二次函数、三角函数）等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重

身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.

微点一求参数值及最值（范围）

1.（2025・铜川模拟）在△48C中，点O为线段8c的中点，点E满足在=2瓦5,若而=7而+〃而，贝IJ

的值为（）

A1B-z

c-4D-

答案D

解析因为点。为线段8c的中点，点E满足B=2瓦5,所以

CAD=^（AB+AC\

［BE=AE-AB=^AC-AB,

叫./2而=而+无，

所以（3丽=而一3丽

消去公，得2而-3而=4而，

•11•3*.，

所以

所以』=1,〃=1,所以2+〃=*.

2.（多选）已知平面向量4=（2,3）,b=（4,则（）

A.若a〃〃，则7=6

B.若aA.br则2=|

C.若6在a方向上的投影向量为曙，言），则共

D.若（〃+6）=24,则A=1

答案ACD

解析对于A,若a〃力，

则有”-3X4=0,解得2=6,故A正确;

对于B,若则有2X4+3XF0,

解得bg,故B错误；

对于C,若力在a方向上的投影向量为(蔡，得)，

则有如一_2'4+3*/1()=(更27\

化简得8+34=9,即4故C正确；

对于D,若〃y+加24,则有2X(2+4)+3X(3+2)=24,解得2=1,故D正确.

3.(2025・廊坊模拟)已知力(-1,0),4(0,1),M是平面内一动点，且缁鱼，若加石而心〃丽(九小

R),O为坐标原点，则2%的取值范围是()

A.[-2V2,2V2]B.[1-2A/2,1+2西

C.[2-2V2,2+2或]D.[3-2V2,3+2近]

答案B

解析方法一设M(x,y),

则因+1)2+*=伉

，2+(打1)2

整理得N+y2.2x-4尸■1=(),

即(、-1)2+俨2)2=4,

由题意可设x=l+2cos。，y=2+2sin9,

得。M=(1+2cos/2+2sin0),

又通=(-l,0),砺=(0,1),

由丽二赤+"砒

得(l+2cos0,2+2sinO)=X[-\,0)+〃[0,1)=(-2,〃)，

贝IA=-1-2cos仇〃=2+2sin0,

得2+〃=2sin6/-2cos>l=2V5sin(。—；)+l,

所以,l+4的取值范围为[1-2或，1+2近].

方法二(等和线)

设“(X,J，)，则，(x+i)2+v_或,

Vx2+(y-i)2

整理得xZ+y2-2i4yH=0,

即(x・1)2+62)2=4,

由丽=疝?+丽=(U,〃)，

得尸U,尸"，则7+"=*号，

因为直线的斜率为1,

设斜率为I且与圆(无-1)2+(”-2)2=4相切的直线方程为六P小=0,

所以三彗2,所以6=1+2五，

所以,1+"的取值范围为[1-2近，1+2V2].

微点二求向量模、夹角及最值（范围）

4.（2025•合肥模拟）已知非零向量〃与力不共线，且满足冏=2同，2。/与人的夹角为与，则向量与向量

力的夹角为（）

A5B寻

D招

6

答案A

解析设向量。与向量力的夹角为仇夕石(0,兀),

设|〃|=2同=2,

则ab=a\臼cosQ2cos6,

则|2a-〃=J(2a—6产

=j4|a，-4a-b+网2

=V8—8cos0,

又2a-b与b的夹角为年,

Pr2n(2a-b)b

所以COS『|2a-b||b|，

则之翟瑞

即十靠急

可得2cosW-3cos火1=0,

解得COS归1（舍去）或cos0=^,

贝IJ%.

5.已知向量小力满足同=4,〃在a方向上的投影向量为方，且人（29），贝加+目的值为（）

A.4B.4V3

C.16D.48

答案B

解析由题意可知，|a|=4,

因为。在a方向上的投影向量为爆“=^“三”，可得〃协=8,

又因为b_L(2a—b),贝U/r(2a—b)=2a•力-"=16/2=0,可得|b|=4,

则|a+b\2=a2+2ab+b2=4S,

所以|a+b|=4百.

6.在△/AC中，ZJCB=120°,|而|=3,|前|=4,比•丽=0,则|而+而|的最小值为()

A.6V3-2B.2V19-4

C.3V3-1D.V19-2

答案A

解析由题意，以C为坐标原点，C8所在直线为X轴，过。垂直C6的直线为y轴建立如医所示的平面直

角坐标系，

贝Ui(一表苧)，8(4,0),由求D启=0,可得Z)是以BC为直径的圆上一点，

所以D的轨迹方程为。-2)2+俨=4,

取班)的中点为A/,设M(x,y),Z)(xu,%)，

_%o+4

可得；:赢'所晦：羡T，

所以Qx-6)2+(2y)2=4,

所以点A1的轨迹方程为(工4尸卜/勺，圆心为“(3,0),半径为1.

由版+而=2就

所以湎而|二2丽，

所以|荏+而嬴=2|前嬴，

所以|询|min=|而卜1

=1(->3)2+(苧-0)2-1=3后1.

所以必的7dmm=68-2.

7.(2025•苏州模拟)已知向量a在向量6上的投影向量为2b,若血=1,则向量2〃+b与〃+26夹角余弦值

的最小值为_______.

解析设向量6=(1,0),

因为向量〃在向量方上的投影向量为26

所以群=2从

即a6=2,故可设〃=(2,6),

所以2〃+〃=(5,2w),〃+2b=(4,m).

(2a+b)-(a+2h)

所以cos〈2“+6a+2b)=

|2a+如Q+2bl

.20+2m2

、4?M+25Mn2+16

,2(m2+10)_________

\/4(泊+10)2+9(加2+10)-90

由二次函数的性质，当时，cos〈20力，a+2b)取最小值，最小值为2二

m^+10/u、J4+--------143T

N2040

微点三求数量积及最值(范围)

8.(2025・商洛模拟)已知向量a,6满足⑷=网=2,10sl=2总则〃力等于()

A.-2B.-2V3

C.2V3D.6

答案A

解析因为|a—力|=2遍，所以(a-6)2=12,

所以a2+b2-2ab=\2,

又所以”Z--2.

9.在Zx/AC中，AB=AC=2,BC=2瓜点P在线段4。上.当西•而取得最小值时，4等于()

A渔B.日

A.2

JDZ

答案B

解析如图，以8C所在直线为工地，以6C的垂直平分线为y抽，建立平面直角坐标系,

由48=4C=2,BC=2®

则0<22_(g)2=i,

所以,4(0,1),B(-V3,0),C(V3,0),设尸(x,0),

则方=(-x,1),PB=(-V3-xt0),

2

则苏方=*(-V5-X)=X2+VJX=(X+亨)彳，

当尸苧时，丽丽取得最小值，此时瓦片俘，1),均=［厚)'+1咚

10.点尸是边长为1的正六边形48CDE/边上的动点，则丽•丽的最大值为()

A.2B二

C.3D.苧

4

答案C

解析方法一取48的中点。，连接P。，QD,BD,如图,

Q

则由题意得加=。84,

BD=、3,

所以QD=dQB?+BD2飞+3型，

由图可知当尸运动到。或E时，P0最大,

所以西•丽二质+西♦(所+而)

=(PQ^QA)(PQ-QA)

-->2-->2-->21--*21

=PQS=PQ六Q。・尸，

所以西•丽的最大值为3.

方法二取48的中点。，连接PO,QD,BD,利用极化恒等式,

PAPB=PQ-泮=PQ

如图，由图可知当P运动到。或E时，PQ最大,

因为QD7QB?+802=云+3型，

所以西•丽在而之.}?.

［总结提升］

平面向量中有关最值问题的求解思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何恚义将问题转化

为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向

量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函

数、不等式、方程的有关知识来解决.

专题突破练

［分值：62分］

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2024•新课标I卷)已知向量。=(0,1),6=(2,x),若皿狂㈤，则x等于(

A.-2B.-1

C.1

答案D

解析因为〃J_(〃-4a),

所以b(〃-4°)=0,

所以"-4〃6=0,

即4+.F-4x=0,解得尸2.

2.若平面向量m。满足同=V2,网=1,|a+d|=V5,则向量。，。大角的余弦值为（）

答案A

解析设向量〃，、的夹角为仇

\a+b|=V^两边平方得a2+b2+2ab=5,

又|a|=V^,|b|=l,

即2+l+2X&XlXcosG5,解得cosT.

3.（2025•宜昌模拟）已知△力8c是边长为1的正三角形，点N在AC上旦丽寺后，P是6N上一点目而=〃?

4%4C（〃?WR）,则APA8等于（）

.1n2

A9B9

44D.1

答案C

解析•.•丽=1枇，

・,•丽而，

•:B,P,N三点共线，

：.AP=rnAB+(\-m)AN

=niAB+(\-ni)X^AC

=nlAB-^AC,

，(1-〃?)X髯，

・，・〃7=1.

J

：.AP=^AB-^AC,

JAPAB=(^AB+汨)•柏

=^AB2-^ABAC

4X帝X1X1X".

4.(2025•呼和浩特模拟)已知平面向量满足|a-b|=l,b=(l,V3),则“，〃夹角的取值范围为()

也不B.[0,总

C[。，7]哺，3

答案B

解析因为依旬=1,所以(a-。)2=1,

即同2-2〃力+|砰=1,

因为|句=>/1+3=2,

所以间2-4|〃|cos(a,b)+3=0,

所以侬“，b)哨，嘿邛，

因为(*b)e[0,7t],

所以〈明力〉的取值范围为|o,3

5.(2025•北京模拟)已知△力BC中，.48=4,AC=2,且R而+(2-2外正履£R)的最小值为2百，若P为边力4上

任意一点，则丽•玩的最小值为()

3

A.O

C，D

=4u'2

答案C

解析如图，延长4C至点。，使潺CO=4C=2,连接B。，点£为448。所在平面内的点，连接力反

贝U2万+(2・2#芯=2荏+(1U)而,

令说+(1力；而=荏，

则点E在直线B。上，

由区丽+(2-22)位i的最小值为2百，

得|荏京=2通，

当且仅当力七」8。时，|荏|取得最小值,

则sinN48。岑萼，

4N

又N”。是锐角，则/48g,

而4D=4B=4,即△48。为正三角形，

于是/比ICW，ABAC=4X2cos^=4

J3f

..*.**

令P8=x48(0WxWl),^\AP=(\-x)AB,

因此而•无三丫而(而-Q)

------------->2

=xABAC-x(\-x)AB=16x2-12x

=（4x-j）-白卷

当且仅当昌时取等号，

所以两近的最小值为.

6.（2025•昆明模拟）已知m〃是单位向量，«,力的夹角为60。，若向量c满足|c・a・b|=l,则|c|的最大值为

（）

A.V3-1B.V3

C.3D.V3+1

答案D

解析同=网=1,且用力的夹角为60。，

在平面直角坐标系中，令所（1,0）,b=Q,当）,

设c=\x,y),

则c-〃-b=（%—|,y-苧），

得（x-J+（y-等=1.

因此点a,刃的轨迹是以（I，亨）为圆心，1为半径的圆,

所以图的最大值为JgfZ（ff+i=Q+i.

7.（2023•全国乙卷）已知OO的半径为1,直线/<4与。。相切于点4直线P3与OO交于8,C两点，。为

8c的中点，若/。|=企，则曲•丽的最大值为（）

A1+V21+2V2

A—D

c.i+鱼D.2+V2

答案A

解析连接。4（图略），由题可知|。4|=1,OALPA.因为|尸0|=近，

所以由勾股定理可得则NPO4三.

设直线尸。绕点P按逆时针旋转夕后与直线尸。重合，贝「白/《，N4PO苧仇

444

且|/Y）|=J^cos0.

所以nP5=伊旬必臼cosg+6）

=V2cos〃cos（：+6）=&cos〃（苧cos。—苧sin。）

=cos2t?-sinOcos^=^+1cos26-|sin20

斗挈os(26+》，

所以当公吃时，

刀•而取得最大值为吟2

8.已知/为△N8C的内心，cosA=^,若万=x48+y4C,则x+y的最大值为（）

A3

A4

V,6

答案D

解析点。是平面48c上任意一点，点/是△48C内心的充要条件是加赞;二

其中BC=a,AC=b,AB=c,

将0点取作4点代入得到

万=b

a+b+c而心而，

故"产黑七£1a

由余弦定理得到8s力上修弁2s和=*

入b+cNb2+c2+2bcIg+"2'

又因为当22（当且仅当b=C时取等号）,

1515,

所以1-巾

所以士=1展2+&1，故x+y/

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

9.已知向量。=(sin0,cos。)，6=(1,百)，c=(3,V3),贝1」()

A.若a.Lb,则tan^=-V3

B.c在方方向上的投影向量为，

C.存在（）,使得a在c-h方向上投影向量的模为1

D.|a-b|的取值范围为[1,3]

答案ACD

解析对于A,若a_Lb,则ab=s\n例VJcos%2sin（8+々）=°，

贝U什;E（kWZ）,即外左兀?（k£Z）,所以tan6Man（Hr—?）=-、G（kWZ）,故A正确;

对于B,c在方方向上的投影向量为瞳6专力乏力，故B错误；

对于C,〃在c-〃方向上的投影向量的模为粤等工_堂吧——笔组|sind|,

ilJ（3_1）2+汨③22

所以存在小E,A£Z,使得"在c-力方向上的投影向量的模为1,故C正确；

对于D,|〃/|=J（sin8—I）2+（cos0—75）?=，5—2sin6—2百cos6=j5-4sin（0+,）,

因为-lWsin（®+々）W1,

所以-4W-4sin（。+々）W4,

所以1W5-4sin（。+/）W9,

所以IW|〃」|W3,故D正确.

10.（2025•衡水模拟）在边长为3的等边三角形"。中，CD=2DB,BE=2EA,则下列结论正确的是（）

而4荻

B.而CE=^

C.\DE\=y/3

D.DECE=\DE\2

答案BCD

解析而=丽+丽=丽亨5=而《（而-而）=|而与行，故A错误；

CE=AE^AC=^AB-ACf

所以而•而=G而+g而）@而-4C）

君而+|而2_|而.而

=|x9-1x9-1x3X3xl=-p故B正确；

因为刀二族-赤与通偿而+