重庆市南开中学2025-2026学年高二下学期数学练习（一）

重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（一）3.8一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数的导函数为，已知，则（）A.2 B.1 C. D.0【答案】B【解析】【分析】先利用对数的运算法则化简原函数，再求导计算求解．【详解】，求导得，，故B正确．故选：B．2.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（）A.11 B.31 C.32 D.121【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质求出，再用公比表示出，求出.由等比数列的前n项和公式即可求得.【详解】由等比数列的性质知，又，所以，设的公比为，则，所以或（舍），所以.故选：B.3.椭圆与直线交于两点，则线段的中点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解.【详解】设，联立得，所以，所以线段的中点的横坐标为，代入得，所以线段的中点为.故选：B4.若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可.【详解】由，所以，因为函数在处取得极大值3，所以，所以，，令，解得或，当变化时，在的变化情况如表所示，012极小值所以根据上表可知，在上的值域为，故选：D5.设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，将不等式转化为，根据单调性求解.【详解】构造，对其求导，，已知，且，因此，即在上单调递增.已知，代入得：，，两边同乘(即)，得：，根据的定义，左边即为，因此不等式等价于：，因为单调递增，所以，解得，又因为中x>0，故解集为.故选：B6.过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围.【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，因切线经过点，则得，化简得，显然，则得，又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点.的定义域为，函数求导得，则当时，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，当时，，当时，，当时，.作出函数的图象如下：由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或.故选：D.7.已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解.【详解】因为是双曲线右支上的两点，且，所以，即，由双曲线性质可知，，所以，又恒成立，所以，所以，所以.故选：B8.已知数列满足：，，下列说法正确的是（）A.数列单调递增 B.存在，使得C.的最小值为 D.【答案】C【解析】【分析】对于A，作差得，构造函数，证明，再说明不符合题意即可证明，即可判断；对于B，利用反证法即可判断；对于C，，构造函数，判断的单调性，结合数列的单调性和的范围即可判断；对于D，利用的单调性即可判断.【详解】选项A，，则，令，，令，解得，当时，，此时函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立，当时，，此时数列为常数列，则，与题干信息不符，故，故，所以数列单调递减，故A错误；选项B，假设存在，使得，当时，，显然不成立，当时，，若，即，解得，同理，，，，，又，所以假设不成立，故B错误；选项C，，令，，令，解得，当时，，此时函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减，由A知，数列单调递减，则的最大值为，由B知，，又，所以，由单调性可知，当时，取得最小值，故C正确；选项D，，，由AB知，，由C知，在上单调递减，所以，即，故D错误.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，若，则下列一定为负数的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列的前项和的基本量运算逐一判断即可.【详解】由可得，故A正确；又，因，，则，不能判断该项的正负，故B不合题意；因，故C正确；对于D，，因，故，即D正确.故选：ACD.10.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（）A. B.当时，C.当且仅当 D.是的极大值点【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD.11.已知函数，若关于的方程恰有三个不同实根且满足，则下列说法正确的有（）A.的极小值为B.C.为定值D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用导数直接求解函数极小值，判断选项A，根据函数图像，利用方程的根与图像交点转化，即可判断选项B，根据三次方程的韦达定理，化简即可判断选项C，构造函数，利用导数即可求出函数值域，判断选项D.【详解】因为，所以，所以或时，，单调递增当时，，单调递减，所以的极小值为，A正确；又，所以可得的图像如下，则要使与图像有三个交点，则，B错误；因为方程恰有三个不同实根且满足，所以是即的三个实根，所以，所以，所以，C正确；由上式知，，且，所以，，令，，所以，所以时，，单调递增，又，所以，即的取值范围为，D正确.故选：ACD三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12.抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则______．【答案】0.5【解析】【分析】利用抛物线的性质和定义，结合两点间距离公式计算求解．【详解】标准形式为，则，抛物线焦点为，准线为，由抛物线的定义可知，又，是等边三角形，设点，则，则，，，，令，方程化为，整理得，解得或（舍去），，，故答案为：．13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可.【详解】函数,则，因为在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以有最大值为，所以，即，实数的取值范围是.故答案为：14.已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由数列为单调递增数列得到，对进行化简，分情况讨论计算即可.【详解】已知，所以.因为数列为单调递增数列，所以恒成立..当为奇数时，不等式变为，即.设（为奇数），需.又，，，已知在奇数项上单调递增，故.当为偶数时，不等式变为，即.设（为偶数），需.又，，，已知在偶数项上单调递减，故.综上，.故答案为：.四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）15.已知函数，其中为常数.（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；（2）若，使成立，求最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.【小问1详解】设切点坐标为，则切线方程为，因为切线经过原点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以的方程为.【小问2详解】，，即成立，则得在有解，故有时，.令，，，令得；令得，故在单调递减，单调递增，所以，则，故的最小值为.16.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，利用直角三角形判定证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小问1详解】在四棱锥中，取中点，连接，因为四边形是等腰梯形，，所以，则四边形是平行四边形，则，是直角三角形，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，由（1）知，，平面，由为等边三角形，得，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得；设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知函数令（1）当时，求的单调区间及最值（2）①讨论在上的单调性；②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？【答案】（1）单调减区间为；单调增区间；最小值为0，无最大值（2）①答案见解析；②【解析】【分析】（1）直接求导得，分析其单调性即可得到最值；（2）①求导得，再对分和讨论即可；②分析的单调性即可得到其最值，则得到关于的不等式，解出即可.【小问1详解】当时，，，，令，当，，单调递减；当，，在单调递增，所以其单调增区间为，单调减区间为，所以，无最大值.【小问2详解】①，，，当，，所以在上单调递增，当，，当时，；当，，故在上单调递减，在上单调递增.②当时，由①可知在上单调递增，且，故当，；当，故在上单调递减，在上单调递增，故，所以.18.过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，.（1）求证:是定值；（2）求证:过点作抛物线的切线为；（3）取，分别过作抛物线的切线交于点，求证:.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设，与抛物线方程联立，根据韦达定理可证；（2）求出的导函数，即可得出切线斜率，再根据点斜式求方程；（3）先求出过点抛物线的切线方程，再设，根据同构思想得出是方程的两根，再结合（1）可得，化简，根据等比数列的求和公式得出，再结合数列的增减性可证.【小问1详解】抛物线的焦点，由题意可知，直线的斜率不为，故设，联立，得，则，故是定值，定值为.【小问2详解】由题意可知，点在函数的图象上，因为，所以在点处的切线斜率为，故过点作抛物线的切线为，即；【小问3详解】由题意可知，点在函数的图象上，因为，所以在点处的切线斜率为，故过点作抛物线的切线为，即，设，则，故是关于的方程的两根，则，得，则，即，因为，所以，则，则，因为，且数列是递增数列，所以，则，命题得证.19.已知函数，（）．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围；（3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值．【答案】（1）答案见解析.（2）（3）1【解析】【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案；（2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数;（3）根据题意得在上恒成立，故