高数学复习专项训练：数列中常见的求和问题（原卷版）

专题19数列中常见的求和问题

真陶在

1、（2021年全国新高考团卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时•，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称

轴把纸对折，规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规

格的图形，它们的面积之和S=2405】/,对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm

三种规格的图形，它们的面积之礼S2=180dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数

为;如果对折〃次，那么方耳=dm2.

k=l

2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标团））设｛〃“）是公比不为1的等比数列，4为〃2，%的

等差中项.

（1）求｛《,｝的公比；

（2）若q=1,求数列｛〃勺｝的前〃项和.

3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标附）设等比数列季｝满足4+。2=4,%-4二8.

（1）求｛g｝的通项公式;

（2）记S”为数列｛Iog3而的前〃项和.若s,“+S,"+|=SM+i,求m.

4、（2020年全国统一高考数学试卷（埋科）（新课标团））设数列｛〃｝满足6=3,%+]=3为-4〃.

(1)计算。2,6,猜想｛%｝的通项公式并加以证明;

(2)求数列｛23｝的前，项和Sn.

5、【2021年乙卷文科】设｛q｝是首项为1的等比数列，数列｛〃｝满足么=寸.已知可，3生，9%成等差

数列.

(1)求回｝和他｝的通项公式;

€

⑵记3和，分别为｛%｝和他｝的前〃项和.证明：Tn<^.

%+1,“为奇数,

6、［2021年新高考I卷】已知数列｛4｝满足>=1，

a”十2,〃为偶数.

(1)记a=4"，写出4，K并求数列也｝的通项公式;

(2)求｛%｝的前20项和.

题组一、利用周期性（规律性求和）

2022

1-1、（2022•江苏宿迁•高三期末）记国表示不超过实数4的最大整数，记4，则的值为（）

r=l

A.5479B.5485C.5475D.5482

2、（2022•湖南郴州•高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.

设xeR,用卜］表示不超过x的最大整数，则/（x）=3称为高斯函数.已知数列｛4｝满足4=2,且

（〃+1）47+1q=2〃+l,若〃=［lga"］数列也｝的前〃项和为了“，则4021=（）

A.4950B.4953C.4956D.4959

题组二、裂项相消求和

2-1、（2022・河北张家口•高三期末）已知其是数列｛5｝的前〃项和，Sw=,r.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵求数列一--|的前〃项和Tn.

22（2022•河北深州市中学高三期末）已知数列｛q｝的前。项和为S”，q=3,《川=25”+3（〃£N*）.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）设〃fog/。，若数列二二的前刀项和为1,证明：Tn<\.

23（2022・河北唐山•高三期末）已知工是数列｛qj的前n项和，2s“=（〃+1）%，且q=l.

⑴i正明："为常数列；

n

（2）若向:",一,求数列也｝的前〃项和

勺+1,"”+2

题组三、分组求和

3-1、（2022•山东莱西•高三期末）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，月.卬，勺，S”为等差数列；数列也｝满足

4=6,5=S”+J+4.

⑴求数列也｝的前/?项和7：

3-2、（2022•山东青岛•高三期末）给定数列｛%｝,若满足4=。（。＞0,且4#1）,对于任意的〃都有

%小=品9，则称｛q｝为“指数型数列〃.

⑴已知数列｛4｝的通项公式为。“=3",证明：m｝为“指数型数列”；

⑵若数列｛《,｝满足：4=1"=2%+〃”.q+1；

（I）判断工+1是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

（助若"=5+〃，求数列低｝的前八项和，.

33（2022•山东临沂•高三期末）设数列｛叫的前〃项和为$“，且满足$N=，+勺+2（〃£叱），2*=3（/+缘）.

⑴求数列的通｛4｝项公式：

⑵若bn=4，求数列也｝的前n项和Tn.

题组四、错位相减

4-1、（2022・湖北・恩施土家族苗族高中高三期末）已知｛4｝是公差为1的等差数列，且N，%,%成等比数

列.

（E）求他“｝的通项公式；

谑）求数列七力的前〃项和.

4-2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标团））设｛凡｝是公比不为1的等比数列，©为生，的

的等差中项.

（1）求｛%｝的公比；

（2）若求数列｛〃勺｝的前〃项和.

4-3、（2022・广东汕尾•高三期末）已知等比数列｛为｝满足4=1吗+1是出必的等差中项.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

（2）记2=%log?%,求数列也）的前n项和Sn.

题组五、奇偶项

5-1、（2022•山东烟台•高三期末）已知数列｛q｝满足4=4,=

an-2n,n=Ik

⑴记々=生”-2,证明：数列也｝为等比数列,并求出｝的通项公式；

⑵求数列｛4｝的前2〃项和§2“.

5-2、（2022•江苏新高考基地学校第一次大联考期中）

（10分）己知等差数列但/满足an+an+1=4n,nGN*.

⑴求｛an｝的通项公式；

［即，〃为奇数，

（2）设d=1,+2〃，〃为偶数，求数列｛乩｝的前2〃项和52n.

5-3、（2022•江苏南通海安市期中）

24,〃为奇数，

已知数列｛〃"｝满足"i=1.小■“=

%+3,〃为偶数.

（I）从下面两个条件中选一个，写出力，bl,并求数列｛2｝的通项公式;

①心=。2〃-1+3；②bn—。2〃+1—^2n-\•

（2）求数列｛得｝的前n项和为S„.

讯肝

1、（2022•江苏如东•高三期末）已知数列｛0力的各项均为正数,其前〃页和为5",且6=2,

log2a向=】og2（a“+l）+L

（1）证明:数列｛4+2｝是等比数列;

2-2一2

（2）求数列，的前n项和.

S£x

2、（2022•广东汕尾•高三期末）已知等比数列｛。"｝满足q=1吗+1是。2吗的等差中项.

⑴求数列伍”｝的通项公式;

⑵记5=log2%,求数列也）的前n项和Sn.

3、.（2022虹苏南通市区期中）（本题满分10分）已知数列｛斯｝是公比为正数的等比数列，且为=2,%=。2+4.

⑴求数列他〃）的通项公式；

（2）若勾=log2。”,求数列｛〃“+，,｝的前n项和Sn.

31

4、（2022・广东•铁一中学高三期末）已知数列｛，”｝的前“项和为

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）数列〃=[怆q],国表示不超过X的最大整数，求也｝的前1000项和工皿

5、（2022・河北保定•高三期末）在数列｛q｝中，4=12,且数列是公