统计与概率中的递推关系-高考数学二轮复习

考向3a^\=pan^qan.\型

例4(多选)［对称随机游走］棋盘上标有第0,1,2,…，100站，棋子开始位于第。站，棋手抛掷均匀

硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站：若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99

站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第〃站的概率为设尸o=l,则下列结论正确的有()

135

B.数列)(1W99)是公比为3的等比数列

C.2PlOO〈P99Vp98

D.PIOD，

J

答案ABD

解析对于A,根据题意，第。站A=l,硬币掷出正面到达第1站，所以

从第。站硬币掷出反面，或从第1站硬币掷出正面，到达第2站，

「'is2224

从第1站硬币掷出反面，或从第2站硬币掷出正面，到达第3站，

所以*p3=1x^+jx|=1,故A正确；

对于比从第(〃・2)站，硬币掷出正面到达第(〃-1)站，所以七总凡2

从第(，7-2)站硬币掷出反面，或从第(〃-1)站硬币掷出正面，到达第〃站,

所以Pn=^P”24P“.l,

即P^P”.尸士PM-P㈤,

而尸1-。0=1"1=~!/

所以数列仍仍」｝(1，W99)是以《为首项，J为公比的等比数歹J,

所以P『P*(-0(-3T=(-故B正确；

对于C,^99=(/>99-/>98)+(^98-/>97)+，0，+(「2-尸1)+(尸1-尸0)+尸0

=(一7+(-井…+(-3+1

q(i一备)，

而尸99-尸98=(—t

所以*P98=^(1+/),

而当棋子跳到第99站时，游戏停止,

故尸100=|尸98=1(1+薪)/

从而得到2Pioo=|(l+林)，

故八内2凸0。=打8,故c错误；

对于D,Pioo=|尸98=(1+/)3，故D正确.

[规律方法]概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过

渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

⑴当出现an=an.\^m时,构造等差数列；

⑵当出现an=xan.i+y时，构造等比数列；

(3)当出现呢时，用累加法求解;

(4)当出现台=/(〃)时，用累乘法求解.

跟踪演练2(1)(多选)随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试某品牌扫地机

器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在△NBC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，

从三角形的一个顶点等可能地移动到另外两个顶点之一，机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行

一次程序.若开始时，机器人从4点出发，记机器人执行〃次程序后，仍回到/点的概率为2(〃)，则下

列结论正确的是()

A.P(2)=i

B.当心2时,有2尸(〃)=1-尸(〃-1)

C.P⑺或

D.P(«)=1

答案BCD

解析对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到8或。点，故P(1尸0,第二次执行程序后，有;的概

率回到力点，故P(2)=|,故A项错误；

对于B选项，P(〃-1)为执行第(〃-1)次程序后仍回到4点的概率，要想执行〃次程序后仍回到4点，则执行

第(〃-1)次程序后应在B点或。点，且下一次有;的概率回到力点，

故当〃22时,有尸(〃月[1孑(〃/)],

即2P(〃)=1-尸(〃-1),故B项正确；

由B选项知P(〃)=|[l-P(〃-1)],

即尸(")=?〃(〃-

设尸⑺(〃-1)+礼

可得k=^,

于是P（〃方9忸5-1）-J又户⑴呆抑，

所以数列仍5）一寸是首项为一，公比为坐勺等比数列，

故尸（〃）¥$（―3"一：尸（〃）4［1一（一3”,，故D项正确；

对于C选项，由D项可得P⑺=|『-（一丁］言，故C项正确.

5\J64

（2）［非对称随机游走］如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，

若抛出的点数为1,2,飞机向前移一格；若抛出的点数为3,4,5,6,飞机向前移两格.直到飞机移

到第（〃-1）（〃25且〃仁N*）格（失败集中营）或第〃格（胜利大本营）时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率

为,游戏胜利的概率为.

01234♦••〃-1n

答案Fk（一丁2,且

解析记飞机移动到第，格的概率为尸

为争9号，

Pi+l《pgpi」,

所以数列W+衿.1｝是常数列，

所以忆《尸知=尸29Pl=1,

即MH（PT6），

又1

所以数列｛p,-胃是以假为首项，q为公比的等比数列，

所以好也寸W

所以R得

因为第〃格只能由第（小2）格跳到，

n-2

所以游戏胜利的概率上部2磊(号),〃25且〃£N*.

T思维提升拓展练习

1/,B,C,。四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从力开始，5次传球后球回到力手中，

则不同的传球方法种数为()

A.24B.60

C.92D.144

答案B

解析设有攵个人4,A2I…，4互相传球，从小开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第

〃(心2)次传球后球回到小中的方法有如种，

则第(自)次传球后球回到小手中的方法有砧种，且易知。尸睡,则第(〃-1)次传球局共有出1产种方法,

若此时球在小手中，则第〃次传球，球不可能回到小手中，

故数列｛斯｝的递推关系式为a〃=(hl)""s」("23),ai=k-\.

所以“2=3,〃3=(4-1)3/-42=6,«4=(4-1)4*|-«3=21,«5=(4-1)51-«4=60.

2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成()

A.10决B.11块

C.15块D.16块

答案D

解析设〃刀最多能将饼切成小块，前〃-1刀我们已经得到斯一块，对于第〃刀，要使切出的块数最多，

则这一刀的刀痕必须与前〃-I刀的刀痕都相交，在此刀痕上有〃-1个交点，则最多增加〃块，从而得到递

推公式为。产“_1+〃，显然41=2,

从而累加得到〃“=〃+(〃-1)+…+3+2+2=1当〃=5时，。〃=16.

3.(2024・成都模拟)随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打

开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次

给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为附，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买

的概率为士若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为小记第〃次推送时不购买此商品的概率为P”，

43

当“22时，恒成立，则M的最小值为()

A97n31

A-THB.前

Cr，212L0Dn,卫12O

答案A

解析由题意知，根据第(〃-1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第〃次推送时没有购买的概率，

所以R千MPnT-W

由题意知则.号，

所以J一同是首项为2，公比为由勺等比数列，

所以P8

n111112"T'

口

即n尸c二］8［十］11

显然数列仍，｝递减，所以当心2时，尸/尸2*

XXx11LtJLJ乙

所以W的最小值为善.

，J4

4.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的

一方得-1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.

令H表示在甲的累计得分为1•时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5,乙获胜的概率为

0.3,则Pl等于（）

55-3556-36

A.-—B.

2x5$56

CD.

,56-3615^

答案c

解析由题意可知，，’的取值集合为｛0,1,2,3,4,5,6｝,且尸0=0,06=1,

在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.52,

在甲累计得分为I时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P,

在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3B,

根据全概率公式可得PI=0.5P2+0.2PI+0.32,

整理得22号「a0,

变形得乃0=|(Q-凡)，

因为Pdo>O,贝哈木，

P'-Po5

同理可得PLP2_PLP3_P5-PJP6-P5_3

1J1

J在^P2-P1P3-P2P4-P3Ps-P45，

所以{尸“H}(i=0,1,2,…，5)是公比为物等比数列,

所以刖・尸产G)'(P-Po)(i=0,1,2,…，5),

5

2［图（匕-同，

各项求和得£（P+i-Pi尸£

i=1=1

3_/3V

贝！］P6-PI=(PI-PO)-Y¥

部，解得p器.

即\-p\=p\

5.(多选)投能是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的

“射”指的就是“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，

则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为]乙

每次投壶的命中率均为》由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为松贝女)

A.第3次投壶的人是甲的概率为募

B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为普

C.前4次投壶中甲只投1次的概率为2

D.第10次投壶的人是甲的概率为

b1U\o/

答案ABD

解析设第i次投壶的人是甲为事件4,第，•次投壶的人是乙为事件8(后2且i£N)

因为P(4)=|P(4/)咳

所以P(4)=*(4/)弓,

oZ

所以P(4)谷卜(4-1)一|],

而P(小尸|,

故尸(小)・|=击0,

所以｛p(4)-1｝是首项为磊,公比为2的等比数列,

所以P(4)专+＜铲:

所以口4)=法(十，

对于A,P(/3)=1^x工丫上工2^竺故A正确♦

6/536036072'咏"引用，

对于D,尸(40)=|4*(1),故D正确;

O1U\o/

故尸(833尸端2唔磊，故B正确；

对于C,前4次投壶中甲只投1次的概率

1111111111111111_3妨当呈

232222322223222216z人仁

6.（多选）（2024・湖州模拟）有〃（〃金N,,〃210）个编号分别为1,2,3,…，〃的盒子，1号盒子中有1个白球

和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子中任取一球放入2号盒子；再从2号盒子

中任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子中取出的球是白球”为事件40=1,2,3,…，

办则（）

33

A.P（小42）胃

.13~~~

C.P（4+42）=D.P（4）VPG4n）

答案BCD

解析对于A,尸（44）=1x/,所以A错误；

030

对于^^2）4XHXH

所以P（小I甸岑黑4,所以B正确；

对于c,因为P（匹）=1,P（必2）=|XR,

所以p（石+/2）=尸（否）+尸（?12）•尸（而1二）=沿击噌，所以C正确；

对于D,由题意可得尸（小）=1，P（不＞|，

P（4）=13P2（4/）+1[l-P（4M

今即哆

所以p（4）~m0（4-1）一1]，

所以数列核（4）-包是以：为公比，为首项的等比数列，

所以P（4）十+图:

所以响）去（yV，

所以P（4＞1・P（4），，则？（4）＜2（第），所以D正确.

7.（2024•郑州模拟）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为〜反面向上的概率为《记〃次抛掷后得到

偶数次正面向上的概率为小，则数列｛小｝的通项公式如=.

答案i+©n+1

解析根据题意知，抛掷〃次偶数次正面向上的情况由抛掷（〃“）次偶数次正面向上的情况下第〃次反面向

上，或抛掷（〃-1）次奇数次正面向上的情况下第〃次正面向上组成，

可得递推关系为。”耳。”-1也1S-I），

构造数列Z七(即一1-;)，

所

On-l-2

即数列｛斯-芬是以为首项，幼公比的等比数列，

又抛1次硬币，偶数次正面向上为。次，此时④所以•-芸4W，

42424

所以。导(旷■亭铲I

8.(2024,重庆模拟)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各仟取

一个球交换放入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”恰有2个黑球的概率为p“，

恰有1个黑球的概率为夕〃，则X,的数学期望E(X)=.(用〃表示)

答案削1

解析一方面：由题意可知小q,

贝UP2号l+|x%|招；

_22,11\_16

^2V,+UX3+5X5>=57-

另一方面：由题意可知P”+I堂”号)多，帝“，①

夕向多“+(|X|+gX5)^+|(1-p“q尸+耳，②

①x2+②得2〃“+1+上+|=，”弓夕"号弥22"十夕”)+|,

则当“22,〃£N•时，

2〃“+夕”=!(2〃”-1+0”-1)弓，

所以2〃“十4”-1

因为纫+夕川总数列｛2p〃+竹1｝是首项为1公比为抽等比数列，

所以2〃“+夕“/=(§,

即2口+1”=(§+1,

所以E(X,)=2p〃+q”+0x(1-p〃q尸Q)”+1.

9.遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用.已知某种农作物植株有AA,Aa,aa三种基因型，根据遗传

学定律可知，AA个体自交产生的子代全部为AA个体，aa个体自交产生的子代全部为aa个体，Aa个体自

交产生的子代中，AA,Aa,aa个体均有，且其数量比为1：2：1.假设每个植株自交产生的子代数量相等，

且所有个体均能正常存活.

⑴现取个数比为2：4：1的AA,Aa,aa植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，己知该植株

的基因型为aa,求该植株是由aa个体自交得到的概率；

（2）已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种.农科

院研究人员为了获得更多的AA植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根

据植株表现型的差异将其子代中的aa个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第

二次自交后代中的aa个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……以此类推，不断地重

复此操作，从第〃次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为丹（〃22且〃£

N）

①证明：数列｛*｝为等比数列；

②求Pio,并根据Po的值解释该育种方案的可行性.

⑴解由题意得，若对Aa植株进行自交，产生AA,Aa,aa的概率比为1：2：1,

故在个数比为2：4：1的AA,Aa,aa植株个体进行自交时,

其亲代AA,Aa,aa的概率比为£［：］

故所求概率为彳1

2

7X祸

（2）①证明记在不筛选出aa的情况下，第〃代AA的概率为从,

„111

51=-X-=-

224

n11,113

z22248

故可递推出

2n-l

2«+1•

Bn_2"-1

易得P”

2n+2

令£=徵=2〃，而&+产2向，则有瞥=2,

故数列｛债｝为等比数列，得证.

②解由①知由。-：：：；：-；吃,且当，L+8时，PLI,故该方案可行.

10.（2024•聊城模拟）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分