河南省高三普通高等学校招生全国统一考试押题卷(二)理数试题(含答案)

数学（理）第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知i是虚数单位，若复数 -3i(a+i)(a ∈R）的实部与虚部相等，则 a=（）A．-1 B ．-2 C ．1 D ．22.已知集合M x2x2 5x 0,x Z,N 0,a，若M N

，则a=（）A．-1B．2C．-1或2D．-1或-23.已知随机变量服从正态分布N(1,2)，若P(2)0.8，则P(02)（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.64.已知平面向量a与b的夹角为，且a2b23,b1，则a（）3A．1B．3C．2D．35.执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A．17B．36C．52D．726.将函数f(x)sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得的图象经过点34，则的最小值是（）(,0)4A．1B．1C．5D．23 37.已知数列an满足an82n7(nN).若数列an的最大项和最小项分别为M和2nm，则M+m=（）A．11B．27C．259D．4352232323xy30,8.若x,y满足约束条件3xy30,则当y1取最大值时，x+y的值为（）y0,x3A．-1B．1C．3D．39.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n),B(0,n)(n0).命题P：若存在点P在圆(x3)2(y1)21上，使得APB，则1n4log3x3；命题q：函数f(x)2x在区间(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（）A．p(q)B．pqC．(p)qD．(p)q10.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体E-FMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则V1（）V2A．1B．1C．1D．不是定值，随点M的变化而变化43211.已知双曲线和离心率为sin的椭圆有相同的焦点F1,F2，P是两曲线的一个公共点，若4cosF1PF21，则双曲线的离心率等于（）2A．2B．5C6D72．．2212.已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1)，且当x[2,3]时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）A．(0,2)B．(0,3)C．(0,5)D．(0,6)2356第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.某高中共有学生

1000

名，其中高一年级共有学生

380人，高二年级男生有

180人.如果在全校学生中抽取

1名学生，抽到高二年级女生的概率为

0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取

100人，则应在高三年级中抽取的人数等于

_____.14.设某双曲线与椭圆x2y2271有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为36(15,4)，则此双曲线的标准方程是______.15.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a,b,c，且a=bcosC+csinB，则角B为________.16.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1,f(0)4，则不等式xf(x)ex3e（其中e为自然对数的底数）的解集为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分12分）已知等差数列an满足：an1an(nN),a11，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且an2log2bn1.1）求数列an，bn的通项公式；2）求数列anbn的前n项和Tn.（本小题满分12分）在一次突击检查中，某质检部门对某超市 A、B、C、D共4个品牌的食用油进行了检测，其中A品牌抽取了

2个不同的批次

.（1）若从这

4个品牌共

5个批次中任选

3个批次进行某项检测，求抽取的

3个批次中至少有1个是

A品牌的概率；2）若对这4个品牌共5个批次的食用油进行综合检测，其检测结果如下（综合评估满分为10分）：若检测的这 5个批次的食用油得分的平均值为 a，从这5个批次中随机抽取 2个，设这2个批次的食用油中得分超过 a的个数为 ，求 的分布列及数学期望 .（本小题满分12分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 AC 1,BC 2,AB 3，M是棱B1C1的中点，N是对角线 AB1的中点.1）求证：CN⊥平面BNM；2）求二面角CBNB1的余弦值.（本小题满分12分）已知椭圆C1:x2y21的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1作垂直于x轴的直线l1，直84线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）过点F2作两条互相垂直的直线 AC、BD，且分别交椭圆于 A、C、B、D，求四边形 ABCD面积的最小值.（本小题满分12分）1 3 2 2 2已知函数h(x) x ax 1，设f(x) h(x) 2alnx,g(x) ln x 2a，其中x 0,a R.（1）若f(x)在区间(2, )上单调递增，求实数 a的取值范围；（2）记F(x)f(x)g(x)，求证：F(x)1.2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线 PA与圆O相切于点 A，PBC是过点O的割线， APE= CPE，点H是线段ED的中点.（1）证明：A、E、F、D四点共圆；（2）证明：PF2 PBPC.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为x2cos,(为参数),过点P(1,0）的直线l交曲线C于A，Bysin两点.1）将曲线C的参数方程化为普通方程；2）求PAPB的最值.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x) x 2 x 1，g(x) x.1）解不等式f(x)>g(x)；2）对任意的实数x，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.2016届高三模拟考试数学试卷参考答案（理科）3.D∵随机变量服从正态分布N(1,2)，∴正态曲线的对称轴为1，∴P(1)P(1)0.5，又P(2)0.8，∴P(12)0.3，根据对称性得P(01)0.3，∴P(02)0.6.4.C由题意知ababcosa,b1a，∴2a2b(a2b)224ab2a2412，解得aa4b2a2或-4（舍去）.5.D根据程序框图可知k=1,S=0，进入循环体后，循环次数、S的值、k的值的变化情况为所以输出的S的值为72.6.D将函数f(x)sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，得到的图象4(3,0)，所以的函数解析式为ysin(x)sin(x)，因为该函数图象经过点444sin(34)sin20，4所以k(kZ)，即2k(kZ)，因为0，所以的最小值为2.27.Danan1,911，因为nN259由则n，所以，最大项为Ma5.anan1,2232当n4时，an8，又a111，且a1a2a38，所以最小项ma111，故M+m=435.2y1的几何意义是过定点2328.D作出可行域如图中阴影部分所示，M(-3,-1)与可行域内的x3点(x,y)的直线的卸料车，由图可知，当直线过点A(0,3)时，斜率取得最大值，此时x,y的值分别为0，3，所以x+y=3。9.A 命题P：因为 APB ，则以AB为直径的圆必与圆 (x 3)2 (y 1)2 1有公2共点，所以n12n11n3，命题p为真命题；，解得命题q：因为f(4)1log340,f(3)4log330，且f(x)在上是连续不断的曲线，3所以f(x)在(3,4)内有零点，命题q为假命题，故选A.10.B由直观图和三视图可知，多面体ADF-BCE是以等腰直角三角形ADF为底面的直三棱柱，不妨设AD=DF=a=2，高DC=2，体积V2(122)24；AB∥平面EFC，所以点M到平面2EFC的距离就是点B到平面EFC的距离，又BC⊥平面EFC，且BC=2，所以四面体E-FMC的体积V1VMEFCVBEFC1SEFCBC1(122)24，故V11.3323V2311.C设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m,PF2n，且不妨设m>n，由m+n=2a1，m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2，又cosF1PF21，∴24c2m2n2mna123a22，∴a123a224，设双曲线的离心率为e，则134，解得e=6.c2c2(2)2e22212.B∵f(x+2)=f(x)-f(1)，且f(x)是定义域为R的偶函数，令x=-1可得f(-1+2)=f(-1)-f(1)，又f(-1)=f(1)，可得f(1)=0，则有f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为2的偶函数.当x[2,3]时，f(x)2x212x182(x3)2，函数f(x)的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线.∵函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，令g(x)loga(x1)，则f(x)的图象和g(x)的图象在(0,)上至少有三个交点，作出函数的图象，如图所示.∵f(x)0,g(x)0，可得0<a<1.要使函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则有g(2)>f(2)，即loga(21)f(2)2，∴loga32,313a3a3a2，解得，又0<a<1，∴0.33313.25因为高中共有学生1000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1000×0.19=190人，则高二年级共有学生180+190=370人，所以高三年级有1000-370-380=250人，则采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，250应在高三年级中抽取的人数为 100 25.100014.y2x21易知椭圆x2y21的焦点坐标是(0,3).设双曲线的方程为452736y2x21(a0,b0)，则a2b29①，因为双曲线过点(15,4)，所以16151a2b2a2b2②，联立①②，解得a24,b25，故所求双曲线的标准方程为y2x21.4515.因为a=bcosC+csinB，由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCcosB①，4在△ABC中，A=π-(B+C)②，由①和②得sinBsinC=cosBsinC，而C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以sinB=cosB，又B∈(0,π)，所以B=.416.(0,)设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exex[f(x)f(x)1]，∵f(x)f(x)1,f(x)f(x)10,g(x)0，∴g(x)在R上单调递增，∵exf(x)ex3，∴g(x)>3，又g(0)e0[f(0)1]413,g(x)g(0),x0.17.解：（1）设d为等差数列an的公差，且d>0，由a11,a21d,a312d，分别加上1,1,3后成等比数列，所以(2d)22(42d)，因为d>0，所以d=2，所以an1(n1)22n1，又an2log2bn1，所以log2bnn，即n1.b2n（2）由（1）知anbn2n1，所以Tn1352n1,①2n222232n11352n1Tn223242n1,②2211①-②，得111112n11222(12n1)2n12Tn22(22232n)2n12112n121112n132n3.22n12n122n1所以Tn32n32n.解：（1）记“抽取的3个批次中至少有1个是A品牌”为事件A，从这5个批次中任选 3个批次的不同选法共有 C53 10种，其中3个批次中没有A品牌的情况有C331种，故所求概率P(A)119.888.89.69.81010（2）由表中数据可得，a58.84在这5个批次的食用油中得分超过a的有2个，所以的所有可能取值为0,1,2，P(0)C323,P(1)C21C313,P(2)C221，C5210C525C5210故的分布列为E3314012.10510519.解：（1）因为AC=1，BC2,AB3，所以AC2BC2AB2，即AC⊥BC.又ACCC1,BCCC1C，所以AC⊥平面BCC1B1，连接CA1,NA1，则B、A1、N三点共线，则CA12CB，所以CA1B是等腰三角形，又N是BA1的中点，所以CNBA1.连接A1M，则RTBB1MRTA1C1M,A1MBM，所以BA1M是等腰三角形，所以MNA1B.因为BM1(2)26,BN1A1B1，222由勾股定理得MN2C1MMN2.，即22在△MCN和CC1M中，CN1A1B1C1C,C1MMN,CMCM，2所以MCNMCC1，因为CC1M90，所以CNM90，即CN⊥MN，又BN∩NM=N，所以依据线面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM.（2）依题意CB⊥平面ACC1A1，连接AC1交CA1于点H，因为侧面ACC1A1是正方形，所以AC1CA1，所以AH⊥平面BCA1，即AHBA1.取线段NA1的中点Q，连接HQ、AQ，则HQ是CA1N的中位线，HQ∥CN，由（1）知CNA1B，所以HQBA1，所以BA1平面AHQ，则∠AQH是二面角ABA1C的平面角.因为CN=1，所以HQ1，在BA1A中，A1A1,AB3,A1B2,A1A2AB2A1B2，2所以BA1A为直角三角形，则AQ3，2所以cosAQHQH3，又二面角CBNB1的平面角是∠AQH的补角，AQ3所以二面角CBNB1的余弦值是3.320.解：（1）∵MPMF2，∴点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2(2,0)的距离，∴点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线.∴点M的轨迹C2的方程为y28x.（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1,y1),C(x2,y2)，则直线BD的斜率为1，直线AC的方程为y=k(x-2).kx2y21，得(12k2)x28k2x8k280，联立84yk(x2)∴x1x28k22,x1x28k2812k12k2，AC(1k2)(x1x2)2(1k2)[(x1x2)24x1x232(1k2).12k2由于直线BD的斜率为1，用1代换上式中的k可得kkBD32(1k2)，∵AC⊥BD，k22∴四边形ABCD的面积S1ACBD16(k21)2.2(k22)(12k2)由于(12k2)(k22)[(12k2)(k22)]2[3(k21)]2，22∴S64，当且仅当12k2k22，即k1时取等号.9易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8.综上，四边形ABCD面积的最小值为64.921.解：（1）函数h(x)1x3ax21，h(x)x22ax，3函数f(x)h(x)2alnx，所以f(x)x22ax2alnx，因为f(x)在区间(2,)上单调递增，所以f(x)2x22ax2a0在区间(2,)上恒x成立，所以ax2在x(2,)上恒成立.x1令M(x)x2(x)2x(x1)x2x22x，，则M(x1)2(x1)2x1当x(2,)时，M(x)0，所以M(x)x24，1M(2)x3所以实数a的取值范围为(,4].3（2）F(x)x22ax2alnxln2x2a22[a2(xlnx)ax2ln2x]，2令P(a)a2x2ln2x(xlnx)a2，则P(a)(axlnx)2(xlnx)2x2ln2x(axlnx)2(xlnx)2(xlnx)2222244.令Q(x)=x-lnx，则Q(x)11x1，xx显然Q(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间[1,)上单调递增，则Q(x)minQ(1)1，则P(a)1，故F(x)211.44222.证明：（