正方形（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

5.3正方形（第二课时）

第5章

特殊平行四边形学

习

目

标123理解正方形的性质定理，掌握正方形在边、角、对角线及对称性方面的核心特征，能准确描述其区别于其他平行四边形的几何属性。掌握正方形性质的应用条件，会根据已知条件（如边长、角度、对角线关系），灵活运用性质定理进行线段计算、角度推导或几何证明。体会正方形性质的综合性，理解正方形是矩形与菱形性质的“集合体”，能初步运用其性质解决简单的几何问题，建立图形间的联系思维。旧知复习正方形的判定判定方法具体条件定义法有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形矩形法有一组邻边相等的矩形菱形法有一个角是直角的菱形对角线法对角线互相垂直且相等的平行四边形对角线法对角线互相垂直、平分且相等的四边形情境引入提问：“这些图形有什么共同特征？我们小学学过正方形，它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么关系？”新知探究用直尺和圆规画一个“有一组邻边相等的矩形”，再画一个“有一个角是直角的菱形”，观察画出的图形，提问：“这两个图形有什么共同点？”学生分组讨论，结合操作结果和旧知，猜想正方形的定义

正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。提问：“正方形是特殊的平行四边形吗？是特殊的矩形吗？是特殊的菱形吗？为什么？”新知探究将平行四边形的一个角边长90°，则为矩形矩形的两个邻边相等时为正方形平行四边形两邻边相同是为矩形菱形的一个角等于90°时为正方形新知探究提出猜想

猜想1（角）：正方形的四个角都是直角。已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：∠A=∠B=∠C=∠D证明：∵正方形是特殊的平行四边形，且正方形有一个内角是直角，设∠A=90°。∵平行四边形邻角互补，∴∠A+∠B=180°,∠B=180°-90°=90°。∵平行四边形对角相等，∴∠C=∠A=90°,∠D=∠B=90°。∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,新知探究提出猜想

猜想2（边）：四条边相等已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：AB=BC=CD=DA证明：∵正方形是特殊的平行四边形，∴平行四边形对边相等，∴AB=CD,AD=BC。又∵正方形定义：有一组邻边相等的平行四边形，设AB=AD。∴AB=AD=BC=CD,即AB=BC=CD=DA。新知探究提出猜想

猜想3（对角线）：正方形的对角线相等已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AC=BD证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,又BC=CB(公共边)△ABC≌△DCB(SAS)∴AC=BD。新知探究提出猜想

猜想4（对角线）：正方形的对角线垂直平分已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AO=CO,BO=DO,AC⊥BD同学们可以自己在草纸上证明一下哟新知探究正方形的对称性对称类型对称中心/对称轴数量特征轴对称对边中点所在直线、两条对角线所在直线4条沿对称轴对折，两边完全重合中心对称两条对角线的交点1个绕交点旋转180∘，与自身重合典例分析例题1.

如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PB、PC、PD,若PB=PD,求证：∠ABP=∠ADP.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°,又∵PB=PD,PC=PC,∴△PBC≌△PDC(SSS),∴∠PBC=∠PDC,∴∠ABC-∠PBC=∠ADC-∠PDC,∴∠ABP=∠ADP.变式训练如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE。求证BE=DF证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°,∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF,Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF.典例分析例题2.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则∠BEC的度数是

。解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD,∴∠BAE=45°.∵AB=AE,∠ABE=∠AEB=（180°-45°）÷2=67.5°又∵∠AEB+∠BEC=180°,∴∠BEC=180°-67.5°=112.5°.变式训练如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边在右侧作菱形BDEF，点E、F分别在AD、BC的延长线上，连接BE，则DBE的度数为

。

典例分析例题3.如图所示是边长为12cm的正方形纸片ABCD,点P为边BC的中点，折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN,则AM的长为

。7.5cm变式训练如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN,再一次折叠纸片，使点B落在MN上的点H处，折痕为AE,则∠HBC的度数为

。15°典例分析例题4.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF，连接DE,AF.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠B=∠BAD=90°,又∵AE=BF,∴△BAF≌△ADE(SAS),∴DE=AF;(1)求证：DE=AF.典例分析例题4.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF，连接DE,AF.(2)解：∵△BAF≌△ADE,∴∠BAF=∠ADE,∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BAF=90°,∴∠EGF=∠AED+∠BAF=90°.(2)求∠EGF的度数.课堂练习1.下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C.矩形的对角线互相垂直平分D.菱形的每条对角线平分一组对角课堂练习2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是()A．BD=CD B．DC=BCC．∠AOB=60° D．OC=CD课堂练习3.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=35°,AF交BD于点E,则∠BEC的度数为

.80°课堂练习4.如图，正方形ABCD的面积为4，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH的面积为____.2课堂练习5.如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC,连接PA,则∠PAB=

。

课堂练习6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE，求证BE=DF证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°,∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF,Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF.课堂练习7.如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点(不与点BC重合)，∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G(1)证明：∵正方形ABCD,∠ABE=90°,∵FG⊥BC,∠EGF=90°,∠ABE=∠EGF,∵∠1=∠2,AE=EF,△ABE≌△EGF(AAS);(1)求证：△ABE≌△EGF;课堂练习7.如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点(不与点BC重合)，∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G(2)证明：∵正方形ABCD,∴∠ABE=90°∴∠1+∠AEB=90°,又∠1=∠2∴∠2+∠AEB=90°∴∠AEF=90°即AE⊥EF(2)求证：AE⊥EF.课堂小结正方形的性质边的性质：①两组对边分别平行(