2025-2026学年北京市第101中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市第101中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（）A.45° B.60° C.120° D.150°2.下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）A. B.

C.y=tanx D.y=cos4x3.下列不等式成立的是（）A.sin23°＜cos66°＜sin155° B.sin155°＜sin23°＜cos66°

C.sin23°＜sin155°＜cos66° D.cos66°＜sin155°＜sin23°4.在边长为4的正三角形ABC中，若，则的值为（）A.-4 B.-12 C.12 D.85.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设=，=，则=（）A.+ B.+ C.+ D.+6.已知角α的终边经过点，则tanα的值可能是（）A. B. C.1 D.7.若向量=（cosα，sinα），=（sinβ，cosβ），则（）A.⊥ B.∥

C.（+）⊥（-） D.（+）∥（-）8.已知，是两个不共线的单位向量，向量=λ+μ（λ，μ∈R）.则“•（+）＜0”是“λ＜0且μ＜0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若函数在区间（0，π）内恰有两个最值点和三个零点，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.10.在△ABC中，AB=AC=4，当λ∈R时，||的最小值为4.若，，其中，则||的最小值为（）A.2 B.1 C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知单位向量，满足•（+）=2，则向量与的夹角为

.12.已知α为锐角，，β是第四象限角，，则sin（α+β）=

.13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为

s.14.已知函数，给出下列四个结论：

①f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠kπ+，k∈Z}；

②f（x）的图象关于点对称；

③若k＞0，则f（x）在区间上单调递增；

④若k＜0，，则f（x）的最小值为-1-k.

其中所有正确结论的序号是

.15.已知平面向量，，满足||=||=•=2，（-）•（-2）=0，则|+|的取值范围是

.三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxf（x）=Asin（ωx+φ）05-50（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）作出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象；

（3）将函数y=f（x）图象上所有的点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到函数y=g（x）的图象.若函数y=g（x）图象的一条对称轴为，求θ的最小值.17.(本小题8分)

已知向量，满足||=1，（+）⊥（2+），求＜，＞的取值范围.18.(本小题10分)

已知向量=（-1，），=（cosθ，sinθ）.

（1）若⊥且θ∈（π，2π），求cosθ的值；

（2）若|+|=||，求的值.19.(本小题15分)

已知函数＜φ＜的部分图象如图所示.

（1）求函数f（x）的解析式，写出f（x）的单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象.

①当时，关于x的方程g（x）-a=0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则实数a的取值范围是______，x1+2x2+x3的值为______；

②已知△ABC的三个顶点均在函数y=g（x）的图象上，且A（x0，1），B（x0-π，5），C（x0+π，5），点D在线段AB上运动，则的取值范围是______.20.(本小题10分)

已知数列A：a1，a2，⋯，an，从A中选取第i1项、第i2项、…、第ik项（i1＜i2＜⋯＜ik）构成数列，B称为A的k项子列.记数列B的所有项的和为T（B）.当k≥2时，若B满足：对任意s∈{1，2，…，k-1}，is+1-is=1，则称B具有性质P.规定：A的任意一项都是A的1项子列，且具有性质P.

（Ⅰ）当n=4时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；

（Ⅱ）已知数列A：1，2，3，…，n（n≥2）.

（ⅰ）给定正整数，对A的k项子列B，求所有T（B）的算术平均值；

（ⅱ）若A有m个不同的具有性质P的子列B1，B2，⋯，Bm，满足：∀1≤i＜j≤m,Bi与Bj都有公共项，且公共项构成A的具有性质P的子列，求m的最大值.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】0

12.【答案】0

13.【答案】10

14.【答案】①②④

15.【答案】

16.【答案】根据表中已知数据，得，数据补全如下表：ωx+φ0π2πxf（x）=Asin（ωx+φ）050-50函数解析式为

大致图像如图所示：

17.【答案】[acrcos（-），π）．

18.【答案】

19.【答案】f（x）=，[kπ-，kπ+]，k∈Z

[4，3+];;[-2π2，16-π2]

20.【答案】解：（Ⅰ）当n=4时，A共有24-1=15个子列，其中具有性质P的子列有4+3+2+1=10个，

故不具有性质p的子列有5个，所以A的具有性质P的子列个数大于不具有性质p的子列个数；

（Ⅱ）（i）若B：，，…，ai是A的项子列，则B'：n+1-ai1，n+1-ai2，⋯，n+1-aik也是A的项子列．

所以，

因为给定正整数，A有个k项子列，所以所有T（B）的算术平均值为；

（ii）设Bk（k=1，2，⋯，m）的首项为xk，末项为yk，记，

若存在j=1，2，…，m,使yj＜，则Bj与没有公共项，与已知矛盾．

所以，对任意j=1，2，…，m,都有yj≥，

因为对于k=1，2，…，m,xk∈{1，2，⋯，}，yk∈{，+1，•••，n}，