2025-2026学年广东省广州市越秀区培正中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市越秀区培正中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个选项中，为无理数的是（）A.0 B. C.-1 D.3.142.将方程2x+y=4写成用含x的代数式表示y的形式为（）A.y=-2x+4 B.y=2x+4 C. D.3.在平面直角坐标系中，点P（m,4）在第二象限，则m的取值范围是（）A.m＞0 B.m＜0 C.m≤0 D.m≥04.的平方根是（）A.- B.3 C.±3 D.±5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，则∠1与∠2的数量关系一定正确的是（）A.∠2=2∠1

B.∠2-∠1=30°

C.∠1=∠2

D.∠1+∠2=90°6.如图，∠1=∠2，下列说法正确的是（）A.∠3=∠4

B.AD∥BC

C.AB∥DC

D.BD平分∠ADC7.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A. B. C. D.8.如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1=∠3，∠2=∠4，其原理如图2所示，若∠1=46°，则∠2的度数为（）A.44°

B.46°

C.54°

D.56°9.下列命题中，是真命题的是（）A.有理数和数轴上的点是一一对应的

B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等10.如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，AD与AB的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（）A.26

B.25

C.24

D.23二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知m是的整数部分，n是的小数部分，则（m-n）=

.12.如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，PB⊥l,垂足为B，PA=4，PB=3，PC=5，则点P到直线l的距离是

.

13.比较大小：

4．14.如图是中国象棋的一方棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是______.15.现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有

种.16.甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有

千米．三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.解方程组．四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

计算：.19.(本小题8分)

如图，在平面内有A，B，C三点.请按照要求画图.

（1）分别画出直线AC，线段BC，射线AB；

（2）过点A画AD⊥BC，垂足为点D；

（3）尺规作图：在射线AB上作出点E，使AE=2BC（要求保留作图痕迹）.20.(本小题8分)

如图，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（4，4），B（3，2），C（1，3）.将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并求△A1AB的面积.21.(本小题8分)

完成下面的证明并填上推理根据.

如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD∥BC.

证明：∵AB∥CD（______），

∴∠4=∠BAF（______）.

∵∠3=∠4（已知），

∴∠3=∠BAF（______）.

∵∠1=∠2（已知），

∴∠1+______=∠2+∠CAF（______），

即______=∠CAD，

∴∠CAD=______（等式的基本事实），

∴AD∥BC（______）.22.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，5），（3，0）.将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.

（1）直接写出点C、D的坐标；

（2）若点M、N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.若两点同时出发，则几秒后MN∥x轴？23.(本小题12分)

随着交通安全意识的增强，某区居民开始积极购买头盔保障骑行安全.某商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元.

（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；

（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店有哪几种购买方案？

（3）销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？24.(本小题14分)

如图，已知直线BC平分∠ABD交AD于点E，且∠2=∠3.

（1）判断直线AB与CD是否平行？并说明你的理由；

（2）若AD⊥BD于D，∠CDA=α，求∠2的度数（用含α的代数式表示）.

（3）连接AC，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、（2，0），且△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，求点A的坐标.25.(本小题14分)我们知道：关于x,y的二元一次方程ax+by=c有无数个解，每个解记为点P（x,y），称点P（x,y）为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线ax+by=c”.特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”.回答下列问题：（1）已知A（2，-1），B（-5，1），C（-1，3），则是“复兴线”x+6y=-4的“中国结”的是______；（2）“复兴线”2mx-y+n-3=0（m,n是常数且m≠0）是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平面直角坐标系中，D（-6，-1），E（8，-1），若“复兴线”ax-3x+5y=2a-4与线段DE的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】6-

12.【答案】3

13.【答案】＞

14.【答案】（-2，2）

15.【答案】1

16.【答案】4

17.【答案】解：，

①+②得，4x=8，

解得x=2，

把x=2代入①得，2+2y=9，

解得y=，

所以，方程组的解是．

18.【答案】．

19.【答案】解：（1）如图：直线AC，线段BC，射线AB即为所求；

（2）如图，AD即为所求；

（3）如图：点E即为所求作的点．

20.【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求．

△A1AB的面积为=3．

21.【答案】已知

两直线平行，同位角相等

等量代换

∠CAF

等式的性质

∠BAF

∠3

内错角相等，两直线平行

22.【答案】C（-1，3），D（-1，-2）

点M，N同时出发，秒后MN∥x轴

23.【答案】A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元

①购进A种头盔2个，B种头盔10个，

②购进A种头盔4个，B种头盔5个

购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大．最大利润是220元

24.【答案】解：（1）AB∥CD，理由如下：

∵BC平分∠ABD，

∴∠1=∠2，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∵AB∥CD；

（2）由（1）可知：AB∥CD，

∴∠A=∠CDA=α，

∵AD⊥BD，

∴∠ABD=90°-∠A=90°-α，

∵BC平分∠ABD，

∴∠2=∠ABD=（90°-α）=45°-α；

（3）依题意建立直角坐标，过点B作BF⊥x轴于F，设AB交y轴于H，如图所示：

∵点B、C的坐标分别为（-1，）、（2，0），

∴DF=，BH=1，DC=2，

∴S△BDC=CD•BF=×2×=，

由（1）可知：AB∥CD，

∴S△ADC=CD•BF=×2×=，

∴S△ADC+S△BDC=，

∵△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，

∴S△ABD=，

∴AB•BF=，

即×AB×=，

∴AB=4，

∴AH=AB-BH=3，

∴点A的坐标为．

25.【答案】解：（1）A；（2）由题意，当m≠0时，由，消去y,所以（2m-1）x=3-n,显然，此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况．①当2m-1=0，3-n≠0，即，n≠3时，方程无解，不存在“超级中国结”；②当2m-1=0，3-n=0，即，n=3时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（h,h）（h为任意实数）；③当2m-1≠