2025-2026学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若，则=（）A.5 B.20 C.60 D.1202.一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄、蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A.A，B相互独立 B. C. D.3.等比数列{an}前n项和为Sn，S6=48，S12=60，则S18的值为（）A.83 B.108 C.75 D.634.3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（）A.240 B.364 C.432 D.4685.现有10个样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点（1，13）后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（）A.1 B. C. D.26.随机变量ξ的分布列如表：则Dξ的取值范围是（）ξ012P2a-baa+bA. B. C. D.7.在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是2×83+0×82+5×81+1×80=1065.那么八进制数换算成十进制数m,则十进制数m的个位数字为（）A.4 B.5 C.6 D.78.已知直线l与焦点为F的抛物线C：y2=4x相交于M，N两点，且，线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为（）A.1 B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知X～N（80，σ2）（σ＞0），则（）A.P（X＞80）=0.5 B.若σ越大，则P（70＜X＜90）越小

C.P（X＞60）=P（X＜100） D.P（60＜X＜70）=P（100＜X＜110）10.现有一半径为4的圆纸片（A为圆心，B为圆内的一定点），且|AB|=2，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C，M为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的离心率是 B.的最小值为2

C.△MAB外接圆半径的最小值是 D.△MAB内切圆半径的最大值是11.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面积为9，AB=2，A1B1=1，E为AD的中点，点M在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且直线EM与平面BCC1B1所成角的正切值为，则（）A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为

B.动点M的轨迹长度为2π

C.过A1，B1，E三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为

D.若B，E，B1，C1均在同一球面上，则该球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=ex+ln（x+1）在x=0处的切线方程是

.13.圆C：x2+（y-1）2=2上任意一点P（x,y），若|x+y-9|+|x+y+a|的值与x,y都无关，则实数a的取值范围为

.14.已知数列{an}的前n项和，若实数t满足（an-t）（an+1-t）＜0对∀n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：对活动的评价满意不满意合计男生24040280女生12080200合计360120480（1）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；

（2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：，α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82816.(本小题15分)

记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，Sn=nan-n（n-1）.

（1）证明{an}是等差数列，并求an；

（2）记数列的前n项和为Tn，证明：.17.(本小题15分)

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，AD=BC=5，CD=4，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，将△ADE沿DE翻折，将△BCF沿CF翻折，使得点A、B重合为点P.

（1）证明：平面PEF⊥平面DCFE；

（2）求四棱锥P-DCFE外接球的表面积；

（3）求平面PDC与平面PFC夹角的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx+ex-1.

（1）求f（x）的导函数f'（x）的极值；

（2）不等式f（x）≥kx-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，求k的取值范围；

（3）对任意k∈R，直线y=kx+b与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，求b的取值范围.19.(本小题17分)

已知点在双曲线上，A，B是C的左、右顶点，F是C的右焦点，|PB|=|PF|，且|PB|是整数.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设过点F的直线与C的右支交于M，N两点，直线MA与直线NB交于点D.

（i）证明：点D在定直线上；

（ii）若直线MB与直线NA交于点H，求△DFH面积的最小值.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】AD

12.【答案】y=2x+1

13.【答案】[1，+∞）

14.【答案】

15.【答案】与性别有关

X的分布列为：X012PE（X）=1

16.【答案】当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），

则an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-（n-1）n+（n-1）（n-2），

即（n-1）（an-an-1-2）=0，

由于n-1≥1，所以an-an-1=2（n≥2），

S2=a1+a2=2a2-2×（2-1），解得a2=5，a2-a1=2，

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，得证，

即an=3+2（n-1）=2n+1

由（1）知，，

所以，

则

即，

又因为，所以，故得证

17.【答案】证明如下，

在梯形ABCD中，DE⊥AB于点E，因此翻折后DE⊥PE，DE⊥EF，

又由于PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，所以DE⊥平面PEF，

又由于DE⊂平面DCFE，因此平面PEF⊥平面DCFE

18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x+,所以f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=+,

令φ(x)=f'(x)=+，φ'(x)=-,

注意到φ'(x)为增函数,且φ'(1)=0,

所以当x(0,1)时,φ(x)<0,f'(x)单调递减;当x(1,+)时,φ'(x)>0,f'(x)单调递增;

所以当x=1时,f'(x)有极小值2,无极大值.

(2)由题意可知x+kx-1对任意x[1,+)恒成立,

即k对任意x[1,+)恒成立,

设g(x)=,则g'(x)=,

设h(x)=(x-1)-x,则h'(x)=-,

因为h'(x)在区间[1,+)上单调递增,

所以h'(x)h'(1)=0,则h(x)在区间[1,+)上单调递增,

则h(x)h(1)=0,则g'(x)0,

所以g(x)在区间[1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=2,

则k2.

即k的取值范围为.

(3)由题意可知x+=kx+b有唯一解,

设p(x)=x+-kx-b,x(0,+),注意到,当x+时,p(x)+;当x0时,p(x)-;

所以p(x)=0至少有一个解.

因为x+=kx+b有唯一解,

所以k=有唯一解,

设q(x)=,因为kR,所以q(x)为单调函数,

​​​​​​​则q'(x)=0恒成立,

设r(x)=(x-1)-x+1+b,则r(x)0恒成立.

则r'(x)=-，令s(x)=r'(x)=-，

s'(x)=+>0,所以r'(x)在区间(0,+)上单调递增,注意到r'(1)=0,

所以当x(0,1)时,r'(x)<0,r(x)单调递减;当x(1,+)时,r'(x)>0,r(x)单调递增;

故只需r(1)=1+b0即可,所以b-1,

即b的取值范围为[-1,+).

19.【答案】（1）

（2）（i）证明：由（1）知A（-2，0），B（