《奇偶性》教学课件

第三章

函数的概念与性质3.2

函数的基本性质3.2.2

奇偶性丨必备知识解读知识点1

函数的奇偶性例1-1

［多选题］给出下列结论,其中正确的是(

)

BCD

知识点2

奇、偶函数的图象特征（几何意义）

A

知识点3

函数图象的对称性

AC

图3.2.2-1

方法帮丨关键能力构建题型1

函数奇偶性的判断例4

判断下列函数的奇偶性：

图3.2.2-2

【学会了吗|变式题】

D

B

【学会了吗|变式题】

C

题型2

奇、偶函数图象特征的应用

图3.2.2-3图3.2.2-4

【学会了吗|变式题】图3.2.2-5

AB

题型3

函数奇偶性的应用

4

0

【学会了吗|变式题】

0

A

A

C

【学会了吗|变式题】

1

【学会了吗|变式题】

题型4

函数奇偶性的综合应用

D

C

【学会了吗|变式题】

A

A

0

【学会了吗|变式题】

D

高考帮丨核心素养聚焦考向1

函数奇偶性的判断

①②③

B

考向2

函数奇偶性的综合应用

B

DA.

B.

C.

D.

D

高考新题型专练

BD

（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；

（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；

（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．

练习帮·习题课A

基础练

知识测评1.(河北省唐山市期末)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(

)

D

AA.

B.

C.

D.

AA.0

B.3

C.6

D.9

C

ACD

BCD

0,0

B

综合练

高考模拟

A

B

D

AC

ACD

图D

3.2.2-1

探究一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:解

(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.(方法1)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.反思感悟

判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:变式训练1判断下列函数的奇偶性:(4)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.探究二利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解

(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.反思感悟

利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.延伸探究

若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解

当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为探究三奇偶函数性质的应用1.奇偶函数的图象性质例3已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解

(1)由题意作出函数图象如图,(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).要点笔记

由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.变式训练2(北京西城高三期末)已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(

)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2答案

C解析

由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.2.利用奇偶函数的性质求解析式中的参数例4(湖南五市十校高一联考)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=

.

要点笔记

利用奇偶性求参数的方法:(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.变式训练3(上海嘉定高一期末)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m=

.

答案

±1解析

根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.

素养形成利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(

)A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性解析

令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)<f(x1),所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.答案

B方法点睛

1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.变式训练已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解

(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1