2026年通信工程硕士入学数字信号处理试题及答案

2026年通信工程硕士入学数字信号处理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.对离散时间信号x[n]=cos(0.3πn)+cos(0.7πn)以采样频率f_s=1kHz进行理想采样，其奈奎斯特频率为A.0.5kHz B.1.0kHz C.1.5kHz D.2.0kHz答案：B2.已知序列h[n]长度为N，其N点DFT为H[k]。若将h[n]补零至2N点后做2N点DFT，则新DFT在k=0处的值与原H[0]的关系为A.相等 B.2倍 C.0.5倍 D.4倍答案：A3.对实序列x[n]，其8点DFT为X[k]，则下列说法正确的是A.X[k]为实序列 B.X[k]满足X[k]=X[8−k] C.|X[k]|为偶对称 D.arg{X[k]}为奇对称A.X[k]为实序列 B.X[k]满足X[k]=X[8−k] C.|X[k]|为偶对称 D.arg{X[k]}为奇对称答案：B4.线性时不变系统y[n]=x[n]−x[n−1]的群延迟在ω=π/2处为A.0 B.0.5样本 C.1样本 D.−0.5样本答案：B5.采用双线性变换将模拟滤波器H_a(s)=1/(s+1)转换为数字滤波器，设T=1s，则数字系统函数H(z)为A.(1+z^{−1})/(1−z^{−1}) B.(1−z^{−1})/(1+z^{−1}) C.0.5(1+z^{−1})/(1−0.5z^{−1}) D.0.5(1−z^{−1})/(1+0.5z^{−1})答案：D6.对有限长序列x[n]={1,2,3,4}，其4点DFT为X[k]，则∑_{k=0}^3|X[k]|^2等于A.30 B.60 C.100 D.120答案：C7.若x[n]的Z变换收敛域为0.5<|z|<2，则x[n]的性质为A.左边序列 B.右边序列 C.双边序列 D.有限长序列答案：C8.在radix-2DIT-FFT算法中，第m级蝶形运算的复数乘法次数为A.N/2 B.Nlog_2N C.N D.2N答案：A9.对信号x(t)=e^{−t}u(t)以间隔T=0.1s采样，所得序列x[n]的能量为A.1/(1−e^{−0.2}) B.1/(1−e^{−0.1}) C.1/(1+e^{−0.1}) D.10答案：B10.采用窗函数法设计FIR低通滤波器，窗长N增大时，过渡带宽与阻带衰减的变化趋势为A.变窄，增大 B.变窄，减小 C.变宽，增大 D.变宽，减小答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于离散傅里叶级数(DFS)的描述正确的是A.DFS系数具有周期性 B.DFS适用于周期序列 C.DFS与DFT本质相同 D.DFS可用于计算线性卷积答案：ABC12.下列系统中属于线性时不变系统的是A.y[n]=nx[n] B.y[n]=x[n]cos(ω_0n) C.y[n]=∑_{k=−∞}^nx[k] D.y[n]=x[n]−2x[n−1]+x[n−2]答案：CD13.关于IIR滤波器与FIR滤波器的比较，正确的是A.IIR可用较低阶数实现锐截止 B.FIR可做到严格线性相位 C.IIR必然稳定 D.FIR适合自适应滤波答案：ABD14.下列关于采样定理的说法正确的是A.带通信号采样频率可低于2f_max B.欠采样可导致频谱混叠 C.过采样可提高信噪比 D.采样频率必须大于信号最高频率的两倍答案：ABCD15.下列关于快速卷积的说法正确的是A.利用FFT降低计算量 B.需对序列补零至长度≥L+M−1 C.可实时实现无限长卷积 D.可用重叠保留法分段处理答案：ABD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=δ[n]+2δ[n−1]+3δ[n−2]的Z变换为X(z)=________，收敛域为________。答案：1+2z^{−1}+3z^{−2}，|z|>017.已知x[n]的8点DFT为X[k]，则x[((−n))_8]的DFT为________。答案：X[((−k))_8]18.采用汉明窗设计线性相位FIR低通滤波器，窗长N=51，则实际过渡带宽约为________π。答案：0.08π19.对模拟滤波器H_a(s)=1/(s^2+√2s+1)采用双线性变换，T=1s，所得数字滤波器的3dB截止频率为________rad/sample。答案：0.520.序列x[n]=a^nu[n]，|a|<1，其能量为________。答案：1/(1−|a|^2)21.若系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则该系统________（稳定/不稳定）。答案：稳定22.在radix-2FFT中，N=1024点复数乘法的次数为________。答案：512023.信号x(t)=cos(2π·800t)以f_s=1kHz采样，所得序列的周期为________样本。答案：524.线性相位FIR滤波器的冲激响应满足h[n]=±h[N−1−n]，其群延迟为________样本。答案：(N−1)/225.对序列x[n]={1,1,1,1}做4点DFT，则X[2]=________。答案：0四、简答题（每题6分，共18分）26.简述窗函数法设计FIR滤波器的步骤，并说明窗长N对性能的影响。答案：步骤：(1)给定理想频率响应H_d(e^{jω})；(2)求理想冲激响应h_d[n]=\frac{1}{2π}∫_{−π}^{π}H_d(e^{jω})e^{jωn}dω；(3)选窗函数w[n]，得h[n]=h_d[n]w[n]；(4)检验指标，若不满足则增大N或换窗。N增大→主瓣变窄→过渡带变窄，但旁瓣数增加，阻带衰减由窗型决定。27.说明Goertzel算法相对于FFT在DFT计算上的优势与适用场景。答案：Goertzel算法将DFT转化为二阶IIR递归，计算单点k的X[k]只需N次实数乘法和2N次实数加法，无需存储整阵，适合仅需少量频点且N非2的幂的场合，如DTMF解码。28.解释频谱泄漏产生的原因，并给出两种抑制方法。答案：原因：有限长截断相当于加矩形窗，频域卷积sinc函数，主瓣能量扩散。抑制：(1)采用旁瓣低的窗（汉宁、汉明、布莱克曼）；(2)增加数据长度N以减小主瓣宽度；(3)采用分段平均周期图（Welch法）平滑。五、计算题（共45分）29.（8分）已知序列x[n]={1,2,3,4}，h[n]={1,1}，(1)求线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(1)求线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(2)用FFT快速卷积方法，给出补零长度及Y[k]表达式，并计算y[n]。答案：(1)y[n]={1,3,5,7,4}；(2)补零至L=4+2−1=5，取次幂L=8；X[k]=DFT_{8}{1,2,3,4,0,0,0,0}，H[k]=DFT_{8}{1,1,0,0,0,0,0,0}；Y[k]=X[k]H[k]；y[n]=IDFT_8{Y[k]}={1,3,5,7,4,0,0,0}，前5点与(1)一致。30.（10分）系统差分方程y[n]−0.8y[n−1]=x[n]，输入x[n]=cos(0.5πn)，初始静止，(1)求系统函数H(z)；(2)给出频率响应H(e^{jω})；(3)求稳态输出y_{ss}[n]。答案：(1)H(z)=1/(1−0.8z^{−1})，|z|>0.8；(2)H(e^{jω})=1/(1−0.8e^{−jω})；(3)|H(e^{j0.5π})|=1/|1−0.8e^{−j0.5π}|=1/√(1+0.64)=1/√1.64≈0.780，arg{·}=arctan(0.8/1)=0.6747rad，y_{ss}[n]=0.780cos(0.5πn+0.6747)。31.（12分）用双线性变换设计一阶数字低通滤波器，要求3dB截止频率ω_c=0.2πrad/sample，T=1ms，(1)求对应模拟原型H_a(s)；(2)给出数字系统函数H(z)；(3)画出直接Ⅱ型结构图；(4)计算直流增益。答案：(1)预畸Ω_c=tan(ω_c/2)=tan(0.1π)=0.3249，一阶巴特沃斯H_a(s)=Ω_c/(s+Ω_c)=0.3249/(s+0.3249)；(2)双线性s=2/T·(1−z^{−1})/(1+z^{−1})=2000(1−z^{−1})/(1+z^{−1})，H(z)=0.3249/[2000(1−z^{−1})/(1+z^{−1})+0.3249]=[0.3249(1+z^{−1})]/[2000(1−z^{−1})+0.3249(1+z^{−1})]=(0.3249+0.3249z^{−1})/(2000−1999.6751z^{−1})≈(0.0001624+0.0001624z^{−1})/(1−0.9998376z^{−1})；(3)图略（标准直接Ⅱ型：一反馈系数0.9998376，前向两支路增益0.0001624）；(4)直流z=1，H(1)=0.0001624(2)/(1−0.9998376)=1，增益=1（0dB）。32.（15分）序列x[n]长度为N=8，其值为x[n]=sin(πn/4)+0.5sin(3πn/4)，(1)求8点DFTX[k]的闭合表达式；(2)画出|X[k]|的杆状图；(3)若只保留k=1,7两点，其余置零后做IDFT，得x_r[n]，求x_r[n]并解释现象；(4)计算x[n]与x_r[n]的均方误差MSE。答案：(1)sin(πn/4)=1/(2j)(e^{jπn/4}−e^{−jπn/4})，对应DFT系数在k=1,7；0.5sin(3πn/4)=0.5/(2j)(e^{j3πn/4}−e^{−j3πn/4})，对应k=3,5；X[k]=\begin{cases}−4j,&k=1\\4j,&k=7\\−2j,&k=3\\2j,&k=5\\0,&\text{其余}\end{cases}(2)图略：k=1,7高为4；k=3,5高为2；其余0。(3)保留k=1,7：X_r[k]=X[k]·(δ[k−1]+δ[k−7])；x_r[n]=IDFT=sin(πn/4)，原x[n]被截断高频分量；(4)误差序列e[n]=x[n]−x_r[n]=0.5sin(3πn/4)，MSE=1/8∑_{n=0}^7(0.5sin(3πn/4))^2=0.25/8·∑sin^2(3πn/4)=0.25/8·4=0.125。六、综合设计题（共22分）33.（22分）某通信接收机需设计一个线性相位FIR带通滤波器，指标如下：采样频率f_s=16kHz；通带边缘f_{p1}=2.4kHz，f_{p2}=4.8kHz；阻带边缘f_{s1}=1.6kHz，f_{s2}=5.6kHz；通带波纹δ_p=0.01，阻带衰减A_s=60dB。(1)将频率指标转换为数字角频率；(2)选择合适窗函数并估算所需窗长N；(3)给出理想带通冲激响应h_d[n]的表达式；(4)写出实际滤波器系数h[n]的生成公式；(5)用Python伪代码实现系数生成并绘幅频响应；(6)验证通带波纹与阻带衰减是否满足指标。答案：(1)ω_{p1}=2π·2.4/16=0.3π，ω_{p2}=0.6π；ω_{s1}=0.2π，ω_{s2}=0.7π；(2)需窗旁瓣≤−60dB，选布莱克曼窗，主瓣宽Δω=12π/N，过渡带Δω_t=min(0.3π−0.2π,0.7π−0.6π)=0.1π，取Δω≤0.1π→N≥12π/0.1π=120，取N=121（奇数，便于群延迟整数）；(3)理想带通H_d(e^{jω})=\begin{cases}e^{−jω(N−1)/2},&ω∈[0.3π,0.6π]∪[−0.6π,−0.3π]\\0,&\text{其余}\end{cases}h_d[n]=\frac{1}{π(n−α)}[sin(0.6π(n−α))−sin(0.3π(n−α))]，α=(N−1)/2=60；(4)h[n]=h_d[n]·w_{布莱克曼}[n]，n=0,…,120；(5)伪代码：```pythonimportnumpyasnp,matplotlib.pyplotaspltN=121;alpha=(N-1)/2n=np.arange(N)hd=(np.sin(0.6np.pi(n-alpha))-np.sin(0.3np.pi(n-alpha)))/(np.pi(n-alpha))hd=(np.sin(0.6np.pi(n-alpha))-np.sin(0.3np.pi(n-alpha)))/(np.pi(n-alpha))hd[int(alpha)]=0.6-0.3w=0.42-0.5np.cos(2np.pin/(N-1))+0.0