2026届新高考数学考前热点冲刺复习指数函数与对数函数

1第1页，共59页2026届新高考数学考前热点冲刺复习指数函数与对数函数R(0，＋∞)(0，1)减增1【例1】

（1）下列函数中，属于指数函数的是(

)

A．y＝2x＋1

B．y＝x3

C．y＝3.2x

D．y＝4－xD【提示】对于选项A，y＝2x＋1＝2·2x，不是指数函数；选项B是幂函数；选项C是一次函数；对于选项D，y＝4－x即为y＝

，是指数函数．【变式1】已知指数函数的图像经过点(2，4)，则指数函数的解析式为________，f(0)＝________.y＝2x1【练习1】下列函数是指数函数的是(

)A．y＝

B．y＝(－2)xC．y＝5x＋1 D．y＝5x【思路点拨】

形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数称为指数函数．y＝5x是指数函数，故选D.D【例2】已知函数f(x)＝a2x＋1(a>0且a≠1)的图像恒过点P，求点P的坐标．【解】∵a0＝1(a≠0)，∴令2x＋1＝0，得x＝－

，即

＝a0＝1.∴点P的坐标为【练习2】函数y＝ax－1＋3(a>0且a≠1)的图像恒过点P，则点P的坐标为________.【提示】

令x－1＝0，得x＝1，则y＝a0＋3＝4.(1，4)6【练习3】比较下列各数的大小：(1)23.1与2π； (2)0.63与0.62.9；(3)0.6－3与3－0.6.【解】(1)∵函数y＝2x在R上是增函数，且3.1<π，∴23.1<2π.(2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，且3>2.9，∴0.63<0.62.9.(3)∵0.6－3>0.60＝1，3－0.6<30＝1，∴0.6－3>3－0.6.7【变式2】已知指数函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是_________________.【提示】

由题意得0<a2－1<1，∴1<a2<2，解得－<a<－1或1<a<.8【例3】求下列函数的定义域：(1)y＝

； (2)y＝【解】(1)由题意得x－4≠0，解得x≠4，∴函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞).(2)由题意得

－2≥0，解得x≤－1，∴函数的定义域为(－∞，－1].9【练习4】求下列函数的定义域：(1)y＝

；解：(1)由题意得≥0，∴又∵<1，∴x≤－2，∴函数的定义域为(－∞，－2].10(2)y＝(2)由题意得3x－2≥0，∴3x≥2，两侧同时取以3为底的对数得log33x≥log32，∴x≥log32，∴函数的定义域为[log32，＋∞).【例4】(2)已知指数函数f(x)满足f(4)＝

，求函数f(x)的解析式；(3)已知对数函数g(x)的图像经过点(8，3)，求

的值．【解】(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1).由题意得a4＝

，解得a＝

或a＝(舍去)，∴f(x)＝.(3)设g(x)＝logax(a>0且a≠1).∵函数图像经过点(8，3)，∴loga8＝3，即a3＝8，解得a＝2，∴g(x)＝log2x，∴

.2．对数函数(填写表13-2)表13-2定义形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数称为对数函数图像续表性质(1)定义域：________(2)值域：________(3)经过点________，即当x＝1时，y＝0(4)在区间(0，＋∞)上是________函数在区间(0，＋∞)上是________函数当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(0，＋∞)R(1，0)减增14【练习1】（1）已知函数y＝logax(a>0且a≠1)，下列说法正确的是(

)A．当a∈(1，＋∞)时，该函数为增函数，图像过点(0，1)B．当a∈(0，1)时，该函数为减函数，图像过点(0，1)C．当a∈(1，＋∞)时，该函数为增函数，图像过点(1，0)D．当a∈(0，1)时，该函数为增函数，图像过点(1，0)C（2）若对数函数f(x)满足f(9)＝2，则

的值为(

)A．2

B．－2

C．1

D．－1B15【例1】比较下列各数的大小：(1)log30.5和log30.6; (2)log0.25和log0.26.【解】(1)∵底数3>1，∴函数y＝log3x为增函数．又∵0.5<0.6，∴log30.5<log30.6.(2)∵底数0.2<1，∴函数y＝log0.2x为减函数．又∵5<6，∴log0.25>log0.26.【练习1】比较大小：(1)log0.5e________log0.52；(2)log3π________log20.8.<>16【例2】已知函数f(x)＝loga(x＋1)－2(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标为__________.【思路点拨】

对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)的图像恒过定点(1，0).令x＋1＝1⇒x＝0，∴f(0)＝loga1－2＝－2，∴点P(0，－2).(0，－2)【练习2】已知函数f(x)＝loga(x2－3x＋3)＋1(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标为______________.【提示】

由题意得x2－3x＋3＝1，解得x＝1或x＝2，此时f(1)＝loga1＋1＝1＝f(2)，∴过定点(1，1)和(2，1).(1，1)和(2，1)【例3】求下列函数的定义域：(1)y＝log2(1－x2); (2)y＝【解】(1)由题意得1－x2>0，解得－1<x<1，∴函数的定义域为(－1，1).(2)由题意得

即

解得

∴函数的定义域为【练习3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝

；

解：(1)由题意得

解得∴函数的定义域为(0，2].(2)f(x)＝(2)由题意得

解得∴函数的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).

【综合1】

求下列函数的定义域．(1)f(x)＝

；

(2)f(x)＝log(x－1)(3－x)；

【解】(1)∵3x－1≠0，∴3x≠1，∴x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}．(2)由

得1<x<3且x≠2，∴函数的定义域为(1，2)∪(2，3).

【综合1】

求下列函数的定义域．(3)f(x)＝

；

(4)f(x)＝.(3)由

－4≥0得≥4，

，∴x≤－2，∴函数的定义域为(－∞，－2].(4)由

得x≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞).【综合2】