复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3复数的三角表示7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义人教A

版必修第二册主讲人：XXX第七章复数r是复数z的模θ是以

x轴的非负半轴

为始边，向量OZ所在射线

为终边的角，叫作复数z=a+bi

的辐角

规定：在

0≤θ<2π

范围内的辐角θ的值为辐角的主值两个非零复数相等它们的模与辐角主值分别相等复数z=

a的²

示式为a+bi=其

中

，b角ra

r(cosθ+isinθ)

导学聚焦1、掌握复数三角形式的乘法、除法运算法则及其推导过程。2、理解复数乘、除运算的几何意义：旋转与伸缩，能利用几何意义解释或构造复数乘除运算，实现数形结合。学

习

目

标内容索引1

2

3情境导入

新知探究

讲练互动

本课小结这是复数的代数形式的乘除运算。我们学习了复数的三角表示式，比如两个复数Z₁=r₁(cosθ1+isinθ₁),Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂),那么它们的乘除运算有怎样的规律呢?今天我们就来揭开它们的神秘面纱，你们会发现它们蕴含着极其优美的几何规律!回顾旧知：已知两个复数Z₁,Z₂,Z₁=a+bi,Z₂=C+di,

它们的乘积为(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i,情

境

导

入它们的商为C1、复数乘法运算的三角表示设复数z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁),Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂),求z₁Z₂。推导过程：Z₁Z₂=r₁(cosθ₁+isinθ₁)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂(cosθ₁+isinθ₁)(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r2(cosθ₁cosθ₂+icosθ₁sinθ₂+isinθ₁cosθ₂-sinθ₁sinθ₂)=r₁r2[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]复数乘法的三角表示：r₁(cosθ1+isinθ1)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ1+θ₂)+isin(θ1+θ₂)]两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于

各复数的辐角的和。新知

探

究

新

知2、复数乘法运算的三角表示的几何意义复数乘法运算的三角表示：r₁(cosθ1+isinθ1)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ1+θ₂)+isin(θ1+θ₂)]2.22=3.c-+ismy)-³+325,3.=2(c5→

+ism?)Z₁

2.=2(s+isim

台)探

究

两个复数相乘时，先分别画出Z₁,Z₂

对应的

向量0Z¹,OZ₂,然后把向量0Z₁

绕点0按

逆时针方向旋转角θ2,再把它的模变为原来的r₂

倍，得到向量OZ,OZ表示的复数就是积z₁Z₂,

这是复数乘法的几何意义。首先作Z₁,Z₂

对应的向量0Z1,OZ₂,

然后把向量0Z₁绕点0按逆时针方向旋转再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3,

辐角为

的向量0Z,0Z

即

为积Z₁Z₂=3i所对应的向量。请把结果化为代数形式，并作出几何解释。解

：1、已知随

堂

练

习求Z₁Z₂,2、如图，向量OZ

对应的复数为1+i,把OZ

绕点0按逆时针方向旋转120°,得到0Z,

求向量0Z对应的复数(用代数形式表示)。解

：

向量0Z

对应的复数为(1+i)(cos120°+isin120°)复数除法的三角表示：3、复数除法运算的三角表示设复数z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁),Z₂=r₂

(cosθ₂+isinθ₂),

且Z₂

≠0,求Z₁Z₂。两个复数相除，商的模等于被

除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差新

知

探

究推导过程：

再把它的模变为原来的

,得到向量0Z,OZ

表示的复数就是利

G

这是复数除法的几何意义。复数除法的三角表示：两个复数相除时，先分别画出z₁,Z₂

对应的向量0Z₁,OZ₂,然后把向量OZ₁

绕点0按顺时针方向旋转角θ₂

,4、复数除法运算的三角表示的几何意义新

知

探

究随

堂

练

习并把结果化为代数形式。解

：解

：讲

练

互

动1、

计

算

：讲

练

互

动2、

计

算

：解

：(1)求与所得的向量对应的复数。解：3

、在复平面内，把与复数3-

√

3i

对应的向量绕原点0按顺时针方向旋转60°,讲

练

互

动所以所求的复数为-2

√

3i。4、复方程x⁶-α=0的一个根，则α=解

：因为复

方程x⁶-

α=0的一个根，讲

练

互

动5、若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则(

)A.z²不可能为纯虚数B.z²在复平面内对应的点可能位于第二象限C.z²在复平面内对应的点一定位于第三象限D.z²在复平面内对应的点可能位于第四象限答案：D由于复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以其对应辐角范围所以z²对应的辐角范围是(π,2π),所以z²

在复平面内对应的点可能位于第三象限、第四象限、y

轴负半轴，故A,B,C错误。讲

练

互

动为两个复数相乘时，把向量OZ₁

绕点0按逆时针方向旋转

角θ₂

,再把它的模变为原来的r2

倍，得到向量OZ,OZ

表示的复数就是积z₁Z₂,这是复数乘法的几何意义。两个复数相除时，把向量OZ₁

绕点0按顺时针方向旋

转角θ2,再把它的模变为原来的

倍，得到向量OZ,

OZ