平面向量的概念+高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用第六章

平面向量及其应用6.1平面向量的概念章前导读

在现实生活照中，我们会遇到许多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量则不是这样，如图中小船的位移。

如图所示，小船由A地向东南方向航行15nmile到达B地(速度为10nmile/h)．如果仅仅给出指令：“由A地航行15nmile”，小船能否到达B地？给出指令：“向东南方向航行”呢？小船不一定能到达B地东西北南45o也不一定能小船的位移大小：15nmile方向：东南方向方向和距离缺一不可对于这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的对象。【问题1】在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？【向量的物理背景】

在物理学中，如力、位移、速度等既有大小，又有方向的量，称为矢量；如质量、长度等只有大小的量称为标量.OBAGFF新知探究6.1.1向量的物理背景新知探究6.1.1向量的实际背景与概念像引言中的位移一样，物理中的力、速度、加速度也是这样的量.例如G物体受到的重力方向是竖直向下（如图），物体的质量越大，它受到的重力越大F物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（如图），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大问题1这些量有怎样的共同特征？既有大小，又有方向“一支笔、一棵树、一本书......”抽象出数量“1”，因此可以用实数表示年龄、身高、长度、面积的等.对“既有大小、又有方向”的量抽象出向量，因此可以用向量表示诸如力、速度、加速度、位移等量.新课导入

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量既有代数研究对象，也有几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究数学其他领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系。在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。概念生成在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量。向量数量只有大小没有方向的量称为数量.比如：长度、面积、质量等等.思考：数量与向量的联系与区别是什么呢？①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；②向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，

故向量不能比较大小.知识链接：物理学中常称向量为矢量，数量为标量。

你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？动量是向量，时间、路程、功是数量.向量两要素：大小，方向向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.6.1.2向量的几何表示新知探究问题2由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？

以位移为例，小船以A为起点,B为终点，线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.A(起点)B(终点)

受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向.

在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向．思考：有向线段包含了哪些要素？起点、方向、长度AB具有方向的线段叫做有向线段(directedlinesegment)．（起点）（终点）概念生成有向线段通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作

，线段AB的长度也叫做有向线段

的长度，记作

．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。概念生成向量的几何表示法向量可以用有向线段

来表示，我们把这个向量记作向量

.有向线段的长度

表示向量的大小.用有向线段表示向量，使向量有了直观形象.向量的大小称为向量的长度（或称模），记作：向量的符号表示法①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如

，

...②用小写字母表示，例如

...印刷用黑体a，书写用a.两个特殊向量

长度：长度为

的向量，即

；方向：方向为

的向量.0任意

1不确定长度：长度为

的向量，即方向：方向

的向量.

概念生成

思考2零向量与单位向量有没有方向，方向是怎样的？②规定零向量的方向是任意的每个单位向量的方向视具体情况而定.例3：任取不共线的三个点，观察能构成哪些向量？分别用有向线段和字母表示这些向量BAC

典例解析6.1.3相等向量与共线向量新知探究下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量.

思考：观察右图,你有什么发现？概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(parallelvectors)．符号表示：向量

与

平行，记作：图形表示：规定：零向量与任何向量平行，即对于任意

，都有平行向量相等向量概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equalvector)．图形表示：说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.符号表示：向量

与

相等，记作：新知探究任一组平行向量都可以平移到同一条直线上OABCl

如图，是a,b,c一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出

.

平行向量也叫做共线向量(collinearvectors)．新知探究共线向量

新知探究向量间的关系问题：你能用充分条件、必要条件等来描述平行向量、相等向量、共线向量之间的联系吗？相等向量共线向量平行向量（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？不一定不一定零向量平行向量长度相等且方向相同不一定零向量回答下列问题：概念辨析巩固练习典例解析例2

如图示，设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)写出图中的共线向量;(2)分别写出图中与

，相等的向量.解:巩固练习巩固练习课本P43.指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5)4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.

(1)当

与

是相等向量时，判断终点M与N的位置关系;

(2)当

与

是平行向量，且

时，求向量

的长度，并判断

的方向与

的方向之间的关系.巩固练习定义1.长度（模）表示有向线段字母表示零向量单位向量3.向量间的关系相等平行(共线)向量向量的有关概念2.特殊向量课堂小结一、学习向量的必要性：

（2）在后续学习的必要性：高中、大学、终身（3）在数学发展的重要性

“我发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能表达思想、表达事物的本质，通过一个确定的程序，给出几何要素的位置、度量和几何的证明。”（新特点的元素指的就是本章我们要研究的向量！）

——伟大数学家莱布尼兹

（莱布尼兹:德国伟大的数学家、哲学家，与牛顿齐名）（1）生活中的必要性“通过一个确定的程序”这个确定的程序就是“向量的代数运算”（运算就是程序化的步骤），也就是通过“程序化”的方式，解决几何中的问题！

有了向量以后，就有了沟通几何和代数的桥梁，就可以利用程序化的代数运算解决几何问题！这是一个伟大的思想！！

例如：吴文俊先生！去年11月《数学通报》发表的文章等人工智能应用！莱布尼兹为何如此激动呢？向量在数学中有怎样神奇的作用呢？可见向量有着巨大的作用，那我们怎样学习呢？

“我发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能表达思想、表达事物的本质，通过一个确定的程序，给