数学建模进阶：二元一次方程组解复杂调配问题（人教版·七年级下册）

数学建模进阶：二元一次方程组解复杂调配问题（人教版·七年级下册）

一、前端分析与设计理念

(一)课标与教材分析

本节内容隶属于人教版数学七年级下册第八章“二元一次方程组”中的第三课时，是继学生掌握了二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法）之后，对数学模型进行深化应用的关键阶段。课程标准明确提出，要让学生“经历从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合运用已有知识解决问题的过程”，并“增强应用意识，提高实践能力”。本节课以“复杂调配问题”为载体，其核心是将现实世界中涉及多个未知量、多个等量关系的复杂情境，抽象为二元一次方程组这一数学模型。教材编排遵循了从简单到复杂、从直接设元到间接设元的认知规律，本节课的调配问题通常涉及“总量不变”或“比例变化”等核心等量关系，是培养学生分析能力、建模能力及方程思想的绝佳素材。

(二)学情分析

七年级下学期的学生已经具备以下基础：1.熟练解二元一次方程组；2.初步接触了简单的实际问题与方程组的对应关系（如行程、盈亏问题）。然而，他们面临的认知挑战在于：1.复杂关系的剖析：对涉及多个对象、关系交织的复杂文字叙述，信息提取与逻辑梳理能力不足；2.间接设元的策略：习惯于直接设所求量为未知数，当直接设元导致方程复杂时，缺乏灵活转换设元角度的策略意识；3.模型检验与解释：求解后，对解的合理性进行检验，并将数学解回归实际问题进行解释的能力有待强化。因此，本节课的教学设计需着力搭建思维支架，引导学生掌握分析复杂问题的“拆解-关联-建模”方法。

(三)核心素养导向的教学目标

基于对课程标准和学情的分析，确立以下三维目标与核心素养培养指向：

1.知识与技能

1.能准确识别复杂调配问题中的已知量、未知量及关键等量关系。

2.掌握通过列表、图示等方式梳理复杂数量关系的方法。

3.学会根据问题特征灵活选择直接设元或间接设元策略，并列出相应的二元一次方程组。

4.能够规范求解方程组，并对解的实际意义进行合理解释与检验。

2.过程与方法

1.经历“实际问题→数学抽象→模型建立→求解验证→问题解决”的完整数学建模过程。

2.通过小组合作探究，提升分析、综合、比较、概括等逻辑思维能力。

3.体会转化与化归思想、方程思想在解决复杂问题中的应用价值。

3.情感、态度与价值观

1.在解决富有挑战性的调配问题中，获得克服困难、运用数学解决现实问题的成就感。

2.感受数学模型的简洁与力量，增强数学应用意识。

3.培养严谨求实、有条理的思维品质和合作交流的学习习惯。

核心素养聚焦：

1.模型观念：将现实世界中的复杂调配情境抽象为二元一次方程组模型，是本节课最核心的素养培养点。

2.应用意识：有意识地利用数学概念、原理和方法解决现实世界中具有挑战性的问题。

3.运算能力：在复杂情境下确保运算的准确性，为模型求解提供保障。

4.抽象能力：从纷繁的文字描述中，剥离出本质的数量关系和数学结构。

(四)教学重难点

1.教学重点：剖析复杂调配问题中的等量关系；掌握用列表等方法梳理信息、建立二元一次方程组模型的策略。

2.教学难点：灵活选择设元策略（特别是间接设元）；将多个相互关联的条件整合为有效的方程组。

(五)教学策略与方法

1.主导策略：采用“问题驱动，探究递进”的教学主线。以一个核心问题情境贯穿始终，通过层层递进的问题链，引导学生逐步深入。

2.主要方法：

1.3.情境创设法：创设贴近学生认知经验的复杂调配情境（如人力调度、资源分配），激发探究兴趣。

2.4.探究式教学法：将难点分解为若干探究活动，让学生在独立思考、小组协作中自主建构解题策略。

3.5.范例教学法：通过典型例题的精讲与变式训练，提炼方法，形成可迁移的问题解决模式。

4.6.信息技术融合：利用交互式白板动态展示数量关系的变化，或使用表格工具实时生成与调整分析列表，增强直观性。

7.学习方式：倡导自主探究与协作学习相结合，鼓励学生分享不同的分析路径和设元策略，在思维碰撞中优化方法。

(六)教学资源与工具准备

1.教师：多媒体课件（包含核心问题情境动画或示意图）、交互式白板、预设的探究任务单、板书设计。

2.学生：课本、练习本、学案（包含探究活动记录和分层练习题）。

二、教学过程实施

第一环节：创设情境，孕伏模型(预计时间：8分钟)

活动一：情境导入，提出挑战

教师呈现一个经过设计的、贴近生活的复杂调配问题作为本课核心情境：

“研学基地任务调配”：某中学七年级计划在研学基地进行劳动实践。已知基地有甲、乙两种类型的实践区域。若将（1）班的全体学生调往甲区，（2）班的全体学生调往乙区，则共需劳动指导老师12名；若将（1）班的全体学生调往乙区，（2）班的全体学生调往甲区，则共需劳动指导老师13名。又知，甲区每个学生需要配备的老师数是乙区的2倍。请问：（1）班和（2）班各有多少学生？

师生活动：

1.教师朗读或展示问题，要求学生静默阅读，初步感知。

2.教师提问：“这个问题与我们之前解决过的简单分配问题有什么不同？”（引导学生发现：涉及两个班级、两种区域、两种调配方案，且存在一个比例关系，条件交错复杂。）

3.学生自由发言，教师归纳：这是一个“复杂调配问题”，并板书课题关键词。

设计意图：选择与学生校园生活紧密相关的情境，降低陌生感。问题本身整合了“总量变化”和“比例关系”，具有典型的复杂性和挑战性，能迅速激发学生的认知冲突和探究欲望。

第二环节：探究分析，建模策略(预计时间：22分钟)

活动二：信息拆解与关系梳理

教师引导：“面对如此复杂的文字，我们如何才能理清头绪？可以借助什么工具？”

学生可能提出画图、列表等方法。教师聚焦于“列表分析法”，因其在处理多条件、多对象问题时尤为清晰。

师生活动：

1.明确对象与属性：师生共同确定，问题涉及两个对象——（1）班和（2）班；每个对象在两种不同调配方案下，与不同区域（甲区、乙区）关联，最终影响所需老师总数。区域本身有一个属性：单位学生所需老师数的比例（甲区是乙区的2倍）。

2.构建分析框架：教师在黑板上或利用电子表格，引导学生共同构建如下表格框架：

调配方案

涉及班级

前往区域

该区域生师比关系

所需老师数贡献

方案一

(1)班全体

甲区

甲区生师比=2×乙区生师比

?

(2)班全体

乙区

?

合计

12

方案二

(1)班全体

乙区

同上

?

(2)班全体

甲区

?

合计

13

1.符号化与深度分析：这是突破难点的关键步骤。

1.2.教师提问：“我们最终要求的是两个班的人数。设谁为未知数最直接？”学生答：“设（1）班人数为x，（2）班人数为y。”

2.3.教师追问：“那么，‘所需老师数’如何用x和y表示？障碍在哪里？”学生发现：直接障碍是不知道“乙区每个学生需要多少老师”。这个量在题目中也没有直接给出。

3.4.教师引导：“这个未知的量，我们是否需要设出来？”引出“引入辅助未知数”的思路。设乙区每个学生需配老师数为a

（人/生），则甲区每个学生需配老师数为2a

（人/生）。

4.5.学生小组合作，尝试用x,y,a

填充上表中的“所需老师数贡献”。

1.5.6.方案一：（1）班去甲区，需老师x*(2a)

=2ax

；（2）班去乙区，需老师y*a

=ay

。合计：2ax+ay=12

。

2.6.7.方案二：（1）班去乙区，需老师x*a

=ax

；（2）班去甲区，需老师y*(2a)

=2ay

。合计：ax+2ay=13

。

8.观察与转化：教师提问：“现在我们得到了两个方程：2ax+ay=12

和ax+2ay=13

。但这里有三个未知数x,y,a

，这超出了我们二元一次方程组的能力范围。怎么办？”

引导学生观察，两个方程都含有公因子a

。设x'=ax

,y'=ay

。则原方程组变形为：

2x'+y'=12

x'+2y'=13

这是一个关于x'

,y'

的二元一次方程组。这里，x'

和y'

的物理意义是：x'=a*x

表示（1）班学生按乙区生师比计算所需的“标准老师数”，y'

同理。

设计意图：本活动是本节课的思维核心。通过列表将杂乱信息结构化；通过设元讨论，暴露直接设元面临的困难（多出一个参数a

），自然引出“辅助未知数”和“整体换元”的策略。让学生亲历“山重水复”到“柳暗花明”的思维过程，深刻体会转化思想的威力。

活动三：模型建立与求解

1.求解过渡模型：学生独立或合作求解关于x'

,y'

的方程组。

1.2.解法示例（加减消元法）：①2x'+y'=12

；②x'+2y'=13

。

2.3.①×2-②得：4x'+2y'-(x'+2y')=24-13

=>3x'=11

=>x'=11/3

。

3.4.代入①得：2*(11/3)+y'=12

=>y'=12-22/3=14/3

。

5.回溯原问题：得到x'=ax=11/3

,y'=ay=14/3

。教师提问：“我们现在能得到班级人数x

和y

的具体值吗？”（不能，因为a

未知。）

6.挖掘隐含条件，求解最终答案：教师启发：“人数x

和y

必须是正整数，a

是生师比（通常是一个简单的分数或小数，如0.2,0.5等）。x'

和y'

是a*x

和a*y

，也都是正数。从x'=11/3

,y'=14/3

以及x,y

为正整数，我们可以对a

做出什么推断？”

学生思考：因为x=x'/a=(11/3)/a

,y=y'/a=(14/3)/a

，且x,y

为正整数，所以a

必须是11/3

和14/3

的公约数（的倒数倍）。更实际地，因为生师比a

通常是一个“简单”的数，我们可以从x'

和y'

的比值x':y'=11:14

推断，两个班的人数比也是11:14

。但题目并未说人数互质，我们需要更精确的条件。

1.7.关键点拨：教师提示：“回顾我们的假设，a

是‘乙区每个学生需要多少老师’，它是一个确定的数。那么，对于同一个班级，比如（1）班，无论它去甲区还是乙区，它的人数x

是固定的。我们能否利用这个‘固定性’，不求出a

而直接求出x

和y

呢？”

2.8.另辟蹊径：从原始方程2ax+ay=12

和ax+2ay=13

来看，如果我们把这两个等式看成关于ax

和ay

的方程组，已经解出了ax=11/3

,ay=14/3

。但我们也可以从这两个方程直接解出x

与y

的关系。

1.3.9.将两式分别除以a

（a≠0

）：①2x+y=12/a

；②x+2y=13/a

。

2.4.10.这仍然包含a

。但如果我们用①+②：(2x+y)+(x+2y)=12/a+13/a

=>3x+3y=25/a

=>x+y=25/(3a)

。

3.5.11.用②×2-①：2(x+2y)-(2x+y)=2*(13/a)-12/a

=>(2x+4y-2x-y)=26/a-12/a

=>3y=14/a

=>y=14/(3a)

。

4.6.12.同理，①×2-②可得x=11/(3a)

。

5.7.13.由此，我们再次得到x:y=11:14

。为了得到具体整数解，一个合理的假设是生师比a

使得人数为整数。最简单的，令3a=1

，则a=1/3

（即乙区每3个学生需要1名老师，甲区每3个学生需要2名老师）。此时，x=11

,y=14

。

6.8.14.检验：当x=11

,y=14

,a=1/3

时，代入原题：

方案一：11人去甲区需师11*(2/3)=22/3≈7.33

，14人去乙区需师14*(1/3)=14/3≈4.67

，合计12

名（吻合）。

方案二：11人去乙区需师11*(1/3)=11/3≈3.67

，14人去甲区需师14*(2/3)=28/3≈9.33

，合计13

名（吻合）。

人数为整数，符合实际。

设计意图：求解过程本身也是一次深度探究。引导学生认识到，数学模型有时不能一次性给出所有未知数的确定值，需要结合实际情况（如人数为整数）进行推理和筛选。这体现了数学建模的完备性和应用的灵活性。

第三环节：方法提炼，变式巩固(预计时间：12分钟)

活动四：策略归纳与模型升华

教师引导学生回顾整个解题过程，共同提炼解决此类复杂调配问题的策略流程：

1.审题与梳理：通读问题，明确所有涉及的对象、属性、变化方案和最终目标。善用列表、图示工具厘清关系。

2.设元策略选择：

1.3.直接设元：求什么，设什么。当关系直接时优先使用。

2.4.间接设元（引入参数）：当直接设元导致关系复杂或出现新的关键未知量时，大胆引入辅助参数（如本题中的生师比a

）。

5.等量关系挖掘：从“调配方案变化导致总量变化”中找等量关系。注意挖掘隐含的比例关系、倍数关系。

6.建立方程：用代数式准确表达等量关系。注意单位的统一。

7.求解与转化：求解过程中，注意观察整体换元的机会（如本题中将ax

,ay

视为整体）。

8.检验与解释：将数学解代入原题验证其合理性，并结合实际背景（如人数、物资数为非负整数等）确定最终合理解。给出符合题意的答案。

教师板书策略关键词：列表梳理→灵活设元→挖掘关系→建立模型→巧解验证→回归实际。

活动五：变式训练，迁移应用

出示变式问题，学生分组讨论，应用提炼的策略尝试解决。

变式：“车间产能调配”：某厂有甲、乙两个车间，生产同一种产品。若甲车间先生产全部订单的30%，然后由乙车间单独完成剩下的部分，则总耗时为24天；若乙车间先生产全部订单的20%，然后由甲车间单独完成剩下的部分，则总耗时为28天。已知甲车间工作效率是乙车间的1.5倍。问：甲乙两车间单独完成全部订单各需多少天？

师生活动：

1.学生小组合作，模仿核心例题的分析过程，尝试列表、设元、建立方程。

2.教师巡视指导，重点关注学生是否设“工作总量”为单位1，是否设乙车间工作效率为w

（则甲为1.5w

），是否将“完成全部订单所需天数”与“工作效率”的关系理顺。

3.请小组代表展示他们的分析表格和方程组。可能的正确模型：

1.4.设乙车间单独完成需y

天，则其工作效率为1/y

；甲车间单独完成需x

天，则其工作效率为1/x

。且1/x=1.5*(1/y)

。

2.5.等量关系：第一种方案总工作量=1=甲做0.3的工作量+乙做0.7的工作量。即(1/x)*(0.3x甲工作时间?)

，这里时间未知，需要根据“总耗时24天”来设。设甲在第一种方案中工作了t1

天，则乙工作了(24-t1)

天。工作量方程：(1/x)*t1=0.3

，(1/y)*(24-t1)=0.7

。

3.6.此方法会引入新未知数t1

，较复杂。更好的间接设元：设乙工作效率为w

，则甲为1.5w

。设订单总量为1。

方案一：甲完成0.3的工作量，用时0.3/(1.5w)

；乙完成0.7的工作量，用时0.7/w

。总时间0.3/(1.5w)+0.7/w=24

。

方案二：乙完成0.2的工作量，用时0.2/w

；甲完成0.8的工作量，用时0.8/(1.5w)

。总时间0.2/w+0.8/(1.5w)=28

。

4.7.得到两个关于w

的分式方程，实质是二元方程组（将1/w

视为整体）。求解可得w

，进而得到单独所需天数。

8.对比两种设元思路，体会间接设元（设工作效率）的优越性。

设计意图：通过变式训练，将方法从“研学人数调配”迁移到“工程效率调配”，巩固策略。变式问题同样包含比例、效率、多阶段合作等复杂关系，检验学生能否举一反三。

第四环节：分层演练，内化提升(预计时间：5分钟)

教师提供A、B两组分层练习题，学生根据自身情况选择完成。

1.A组（基础巩固）：侧重于关系相对直接，但需要仔细列表分析的调配问题。例如简单的劳动力分配、原料混合问题。

2.B组（能力拓展）：涉及更隐晦的等量关系或需要创造性设元的问题。例如与百分比增长率结合、与几何图形面积周长结合的实际问题。

学生在课堂练习本上独立完成，教师进行个别辅导，收集典型解法或错误。

第五环节：课堂小结，反思评价(预计时间：3分钟)

活动六：总结与展望

1.知识网络构建：师生共同总结，本节课我们在“实际问题与二元一次方程组”的知识树上，增添了解决“复杂调配问题”这一重要分支，并掌握了以“列表分析”和“灵活设元”为核心的具体策略。

2.思想方法升华：我们再次体验了数学建模的全过程，深刻感受到转化与化归思想（将复杂转化为简单，将多元通过换元转化为二元）、方程思想在破解难题中的核心作用。

3.反思与提问：教师提问：“通过本节课的学习，你认为解决复杂应用题，最关键的一步是什么？你还有什么疑惑？”给予学生简短反思和交流的时间。

4.布置作业：（见下文作业设计部分）

三、板书设计

主板（左侧）：

课题：数学建模进阶——解复杂调配问题

核心策略流程：

1.审题梳理→列表/图示

2.设元选择→直接设元或间接设元（引入参数）

3.挖掘关系→总量不变、比例、倍数

4.建立模型→列二元一次方程组

5.求解转化→消元法、整体换元

6.检验解释→回代验证、结合实际

副板（中部）：

例题分析区：

1.已知：（1）班x人，（2）班y人；乙区生师比a，甲区生师比2a。

2.列表（简略）

3.方程组：

2ax+ay=12

ax+2ay=13

4.整体换元：令X=ax

,Y=ay

2X+Y=12

X+2Y=13

5.解得：X=11/3

,Y=14/3

6.推理得：x:y=11:14

，取a=1/3

，则x=11,y=14

。

7.检验：（略）

副板（右侧）：

关键点与易错点：

1.“列表法”清晰化复杂条件。

2.“间接设元”破解隐藏参数。

3.“整体换元”实现降维求解。

4.检验！解需符合实际意义。

四、作业设计（分层、弹性）

必做题：

1.（基础建模）课本对应章节的2-3道基础调配问题练习题，要求用列表法分析并完整书写过程。

2.（策略应用）自编或改编一道类似本节课例题的复杂调配问题，并写出详细的解题分析思路（不要求完全求解）。

选做题：

1.（综合应用）一道融合了调配与利率、调配与行程等跨背景的综合应用题。

2.（探究挑战）提供一段更开放的、信息不完全的实际情境材料，要求学生自己提出合理的假设，构建一个可求解的二元一次方程组模型，并求解。例如：“学校图书馆采购文学和科技两类图书，经费有限，根据学生借阅倾向的统计数据，请你设计一个采购方案，使两类图书的借阅能满足大部分同学的需求……