【解析】北京东城65中学高三上学期期中考试数学（理）试题

北京市第六十五中学学年度第一学期期中达标测试题高三数学理科试卷一、选择题：本大题共14小题．每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】∵或，，，故选．2．极坐标方程表示的圆的半径是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】极坐标方程，两边同乘，得，化为直角坐标方程：，整理得，所表示圆的半径，故选．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】、、、均为偶函数，仅有项在单调递增，故选．4．执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】，继续，，继续，，，停止，输出为，故选．5．设，是两个向量，则“”是“且”的（）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”可推出“且”，但反之无法推出，故选．6．若，，，则，，的大小关系是（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴，故选．7．命题“，”的否定是（）． A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】特称命题的否定将改为，故选．8．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】，故选．9．已知偶函数在上递增，且，则实数的取值范围（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】偶函数在递增，由对称性可知，在递减，∵，∴，解出或．故选．10．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【解析】∵，，，∵，∴，∴，为直角三角形，故选．11．函数的图象大致为（）． A． B．C． D．【答案】D【解析】∵当时，，排除，又∵令，，故该函数是奇函数，排除．取特殊值验证，当时，，排除．故选．12．已知函数图象如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（）． A．对称轴方程是 B．对称中心坐标是C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增【答案】D【解析】由图知，，∴．∵图象过点，∴，，∴，∴，由正弦函数的对称轴可得，可得对称轴为，错；由正弦函数的对称中心可得，，可得对称中心为，，错，由正弦函数的性质，当时，即时，函数单调递增，错；当，即时，函数在上单调递减，对．13．光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为：，那么至少通过（）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（，） A． B． C． D．【答案】C【解析】光线经过块玻璃后，强度变为，光线经过块玻璃后，强度变为，光线经过块玻璃后，强度变为．由题意，即，两边同取对数，可得，∵，∴，∵，∴．即至少通过块玻璃，故选．14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数（为函数的导函数），在上有且只有两个不同的零点，则称是在上的“关联函数”，若，是在上的“关联函数”，则实数的取值范围是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】，，∵与在上是关联函数，∴，在上有两个不同的零点，∴，即，解出．故选．二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．将答案填在题中横线上．15．设，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴．16．定积分__________．【答案】【解析】．17．在三角形中，为边上中点，，则__________．【答案】【解析】在平面内找一点，使为平行四边形，则，∴．18．在中，，①__________；②若，则__________．【答案】①；②【解析】①∵，，整理得，∴．②∵，．19．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则__________，__________．【答案】；【解析】由题知，，，且，∴．20．若函数在上递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】∵，在上恒成立，．①当时，，∴，∴．②当时，符合要求．③当时，，∴，∴．综上．21．已知函数的定义域为，，，若此函数同时满足：①当时，有；②当时，有，则称函数为函数．在下列函数中：①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）【答案】①②【解析】∵①②③均为奇函数，，，∴①②在定义域上单调递增，③在定义域上没有单调性．设对于函数①②：时，，，∴，时，，，∴，①②是函数．对于函数③，时，，∵不是增函数，∴得不到，无法得出．22．已知函数．（Ⅰ）当时，满足不等式的的取值范围为__________．（Ⅱ）若函数的图象与轴没有交点，则实数的取值范围为__________．【答案】①；②【解析】①当时，，当时，，解得，当时，，解得．∴的解集为．②函数与轴无交点，当时，与如图，两函数图象恒有交点，当时，与无交点时，，故此时，．当时，与恒有交点，综上所述．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（本题分）已知函数．（）求的值．（）求函数的最小正周期和单调递增区间．（）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（）（）最小正周期为单调递增区间为，（）在上最大值为，最小值为【解析】（）∵．．（）最小正周期，，，，∴单调递增区间为，．（）∵，，，，，∴在上最大值为，最小值为．24．（本题分）在中，角，，的对边分别是，，，，．（）求边的值．（）若，求的面积．【答案】（）（）【解析】（）∵，∴．（）∵，代入，，解出，∴，．25．（本题分）已知函数的极值点为．（）求实数的值．（）求函数的极值．（）求函数在区间上的最值．【答案】（）（）极小值（）最大值最小值【解析】（）∵，且，∴．（）∵，，令，解出，，解出．∴在上单调递减，在上单调递增，极小值．（）∵在当单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴．26．（本题分）已知函数．（）若曲线与直线相切于点，求点的坐标．（）令，当时，求的单调区间．（）当，证明：当，．【答案】（）（）单调增区间为单调减区间为（）略【解析】（）设，