运用短除法求最大公因数的实际应用探究-五年级下册数学教案

运用短除法求最大公因数的实际应用探究——五年级下册数学教案

  一、教学目标

  （一）知识与技能

  1.学生能够熟练运用列举法、筛选法、分解质因数法和短除法求出两个数的最大公因数，并能辨析不同方法的适用情境与优劣。

  2.学生能够理解最大公因数的数学本质是“两个数公有质因数的连乘积”，并以此解释短除法的算理。

  3.学生能够综合运用最大公因数的知识，分析和解决现实生活中涉及“等分”、“分割”、“最大公约”等特征的实际问题，如裁剪正方形、分组活动、分配物资等，建立清晰的数学模型。

  （二）过程与方法

  1.通过创设真实、复杂的问题情境，引导学生经历“发现问题-抽象数学问题-建立模型-求解验证-解释应用”的完整数学建模过程。

  2.在解决实际问题的探究中，通过对比、归纳、概括，深化对最大公因数概念的理解，提升数学抽象和逻辑推理能力。

  3.鼓励合作学习与交流，在小组讨论与方案设计中，培养解决问题的策略意识和优化思想。

  （三）情感态度与价值观

  1.感受数学与生活的紧密联系，体会数学工具在解决实际问题中的威力，增强学习数学的兴趣和应用意识。

  2.在挑战性任务解决中，培养不畏困难、严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

  3.通过解决与集体生活、资源分配相关的问题，渗透公平、效率、优化等社会性观念。

  二、教学重难点分析

  （一）教学重点

  1.短除法求最大公因数的算理理解与熟练操作。这是本节课核心的计算技能，是解决后续复杂问题的基础工具。

  2.从现实问题中准确识别出“求最大公因数”的数学模型。这是将知识转化为能力的关键，也是数学应用的核心环节。

  （二）教学难点

  1.对复杂现实情境的数学抽象与转化。学生需要剥离非数学信息，抓住“等分”、“无剩余”、“最大”等关键特征，将其与最大公因数的概念建立联系。

  2.理解并解释为什么“公有的质因数”相乘得到的就是“最大”公因数。这涉及到对因数集合中“最大”这一序关系的深度理解。

  3.解决涉及三个数或需要多步推理的实际问题时的策略选择与灵活应用。

  三、教学准备

  （一）教具与学具准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含问题情境动画、图形动态分割演示、思维导图框架）；实物投影仪；若干张长24厘米、宽18厘米的长方形彩色卡纸；用于小组展示的白板与记号笔。

  2.学生准备：练习本、直尺、彩笔；预习短除法的基本步骤；回忆列举法求公因数。

  （二）心理与认知准备

  1.学生已牢固掌握因数、公因数、最大公因数的概念。

  2.学生已初步掌握用列举法、分解质因数法求两个数的最大公因数，但对短除法的原理及应用尚不熟练。

  3.学生具备初步的从文字中提取数学信息的能力，但将复杂情境转化为数学模型的经验有待加强。

  （三）环境准备

  教室桌椅按四人合作小组布局，便于讨论与实操。

  四、教学实施过程

  （一）情境导入，孕伏模型（预计用时：8分钟）

  1.情境呈现（多媒体展示）：

  “学校艺术节即将来临，五（二）班准备用一张长24分米、宽18分米的巨幅彩纸，裁剪出大小完全相同的正方形宣传画，用来装饰教室墙面。为了达到最美观的效果，他们希望剪出的正方形尽可能大，并且彩纸没有剩余。同学们，你们能帮他们设计裁剪方案吗？”

  2.问题链引导思考：

   教师提问：“‘大小完全相同’意味着正方形的边长必须满足什么条件？”（引导学生答出：正方形的边长必须能同时整除长方形的长和宽，即必须是长和宽的“公因数”。）

   教师追问：“‘尽可能大’又对应着我们学过的哪个数学概念？”（引导学生答出：最大公因数。）

   教师深化：“那么，我们要解决的这个实际问题，本质上是一个什么数学问题？”（师生共同归纳：求24和18的最大公因数。）

  3.揭示课题与目标：

  教师：“今天，我们就深入探究如何运用求最大公因数，特别是高效的短除法，来解决这一类生活中的实际问题。我们要像数学家一样，学会从复杂的情境中抽丝剥茧，建立模型。”

  （设计意图：选择贴近学生校园生活的真实情境，激发兴趣。通过递进式提问，引导学生自主发现现实问题与数学概念之间的联系，完成初步的数学建模，明确本课学习目标。）

  （二）工具精研，夯实基础（预计用时：12分钟）

  1.方法回顾与对比：

   请学生用自己熟悉的方法（列举法、分解质因数法）独立求出24和18的最大公因数。

   学生汇报结果（6），并简述过程。

  2.引入短除法，聚焦算理：

   教师：“有一种更简洁、更系统的方法，尤其适用于数字较大时，它就是短除法。”

   教师板演短除法过程，并同步进行算理讲解：

   第一步：“我们用公有的质因数2去除24和18，商分别是12和9。这步意味着，我们从24和18中都‘提取’出了一个公有的质因数2。”

   第二步：“继续观察12和9，它们还有公有的质因数吗？有，是3。用3去除12和9，得到4和3。”

   第三步：“现在4和3，除了1以外，还有公有的质因数吗？没有了。这时，短除法停止。”

   核心提问：“那么，24和18的最大公因数是多少？为什么？”引导学生观察左侧的除数（2和3），理解它们就是24和18“公有的质因数”。最大公因数就是这些公有质因数的乘积：2×3=6。

   算理升华：“为什么把‘公有’的质因数乘起来，得到的就是‘最大’的公因数呢？因为我们用短除法，一步一步地把两个数‘公有’的质因数都‘榨取’出来了，这些质因数的乘积，自然就能同时整除原来的两个数，并且是所有能同时整除它们的数（即公因数）中最大的那个。”

  3.对比优化，形成认知：

   将短除法与列举法、分解质因数法并列展示。

   讨论：三种方法各有什么优缺点？（列举法直观但繁琐；分解质因数法清晰但步骤多；短除法步骤统一、书写简洁，尤其适合大数或后续学习。）

   练习巩固：请学生用短除法快速求出36和54的最大公因数。同桌互查，强调书写规范（除到商互质为止）。

  （设计意图：本环节是技能奠基。不将短除法作为孤立的计算技巧传授，而是将其置于方法体系中进行对比，凸显其优越性。重点通过追问“为什么”，深挖算理，将操作程序与数学本质（公有质因数的连乘积）紧密挂钩，为灵活应用扫清理解障碍。）

  （三）分层探究，深化应用（预计用时：18分钟）

  这是本节课的核心环节，通过一组有层次、有梯度的实际问题，引导学生应用最大公因数模型。

  探究活动一：基础模型巩固——“剪正方形”问题

  回到导入问题，学生已求出正方形最大边长是6分米。

  追问：“沿着长边可以剪出几块？沿着宽边可以剪出几块？一共可以剪出多少块这样的正方形？”

  学生计算：24÷6=4（块），18÷6=3（块），4×3=12（块）。

  引导学生归纳此类“分割最大正方形”问题的通用模型：求长和宽的最大公因数作为正方形边长，再用长方形的面积除以正方形的面积（或分别除以后相乘）得到块数。

  探究活动二：模型变式一——“分组”问题（多媒体呈现）

  “五（二）班有男生24人，女生18人，体育老师要分别把男生和女生分成若干小组进行混合训练，要求每个小组的男生人数相等，女生人数也相等，并且小组数要尽可能少。每个小组最多有多少人？一共可以分成几个小组？”

  1.小组讨论：这个问题和“剪正方形”问题一样吗？哪里一样？哪里不一样？

  2.引导抽象：关键信息“男生人数相等”、“女生人数相等”、“小组数尽可能少”意味着什么？将男生24人分到若干组，每组男生数相等，意味着每组男生数是24的（因数）；同理，每组女生数是18的（因数）。而一个小组的总人数=该组男生数+该组女生数。但题目要求“每个小组的男生数相等，女生数也相等”，这实际上要求每个小组的男生数要相同，女生数也要相同。换个角度思考，“小组数尽可能少”等价于“每个小组的人数尽可能多”。那么，小组人数必须同时是男生总数和女生总数的（因数），并且要取（最大的）那个。所以，本质仍是求24和18的（最大公因数）。

  3.解答：小组最多人数为6人。男生组数：24÷6=4（组），女生组数：18÷6=3（组），总组数：4+3=7（组）。注意与剪正方形问题的区别：这里总组数是相加，而非相乘。

  探究活动三：模型变式二——“分配”问题（多媒体呈现）

  “学校采购了一批文具奖励优秀学生。其中笔记本有24本，钢笔有18支。现在要将它们搭配成完全相同的奖品包（即每个包里的笔记本数相同，钢笔数相同）奖励给优秀学生，并且奖品包要尽可能多。每个奖品包里各有多少本笔记本和多少支钢笔？”

  1.独立思考，尝试建模。

  2.辨析讨论：“奖品包尽可能多”对应的是最大公因数吗？引导学生发现，“包数尽可能多”等价于“每个包里的物品数量尽可能少”。但每个包里的物品数必须是24和18的（公因数）。要让包数最多，就找那个最小的公因数吗？最小的公因数是1，如果每个包只放1本笔记本和1支钢笔，包数确实是24和18中较小的那个18吗？验证：若每包1本1支，笔记本可配18包，但钢笔恰好18支，似乎可以。但这是“最多”吗？考虑每包2本1支？不行，因为18支钢笔若每包1支，包数已固定为18包，笔记本若每包2本，需要36本，不够。所以关键是要使奖品包数最多，必须让所有物品刚好分完，即包数必须能整除24和18，即包数是24和18的（公因数）。那么，最大的包数就是24和18的（最大公因数）？验证：最大公因数是6，若分成6包，则每包笔记本24÷6=4本，钢笔18÷6=3支。总包数是6。比较“1本1支”的方案：包数是18。显然18>6，所以“包数最多”不是求最大公因数，而是求最大公因数吗？这里出现了认知冲突。

  3.教师引导深入分析：问题的核心是“搭配成完全相同的奖品包”。在“1本1支”的方案下，包数由较少的物品（钢笔18支）决定，是18包。笔记本24本，每包1本，用了18本，剩余6本没有配成包，这不符合“全部用完”的隐含条件（实际问题中通常要求物尽其用）。所以，必须保证包数能同时整除24和18，即包数是24和18的（公因数）。那么，在公因数集合{1,2,3,6}中，哪个能让包数最多？是最大的公因数6吗？6包显然比1包、2包、3包都多吗？不对，1包是1个包，2包是2个，3包是3个，6包是6个。数字上，6大于1、2、3，所以6包是最多的。但直觉上好像1本1支能分给更多人（18人）？这里混淆了“包数”和“每包物品数”。在“1本1支”方案中，包数是18，但公因数18并不是24和18的公因数（18不能整除24）。所以这个方案不成立。因此，成立的方案中，最大的公因数6对应着最大的包数（6包）。每包物品数量则是总数除以包数。

  4.修正模型：此类“等分物品组成相同套装且套数最多”问题，本质是求两种物品数量的最大公因数作为“套装数”，再用各自数量除以套装数得到每套中的数量。

  （设计意图：通过三个层层递进的问题，引导学生辨析“最大公因数”模型在不同语境下的具体表现。从直观的几何分割到抽象的人口分组、物品分配，模型逐渐内隐，分析难度递增。特别是第三个问题，故意设置认知冲突，引发深度思辨，让学生彻底明白“求最大公因数”是为了满足“等分且无剩余”的条件，而“最大”、“最多”等表述需要结合具体情境转化为对公因数大小的选择。这个过程极大地锻炼了学生的数学建模能力和批判性思维。）

  （四）综合拓展，挑战升华（预计用时：10分钟）

  挑战任务：“小小规划师”

  “社区有一块长60米、宽48米的矩形空地，计划划出一部分区域铺设正方形环保草皮砖，用于居民休闲。要求：

   （1）草皮砖区域必须是完整的正方形（边长为整米数）。

   （2）正方形区域的边长不得超过空地宽度的三分之一（即≤48÷3=16米）。

   （3）为了节约材料，希望铺设的草皮砖块数尽可能少。

   请你设计出所有可能的方案，并确定最优方案。”

  1.任务解读：学生独立阅读，教师辅助厘清约束条件。

  2.小组合作设计：

   第一步：找出满足条件（1）的正方形边长可能值。即求60和48的公因数：1,2,3,4,6,12。

   第二步：根据条件（2）筛选：边长≤16米。符合条件的公因数有：1,2,3,4,6,12。

   第三步：根据条件（3）“砖块数尽可能少”确定最优。“砖块数”如何计算？正方形草皮区域面积÷单块草皮砖面积？这里需要预设草皮砖的大小吗？仔细读题，“铺设正方形环保草皮砖”可能指将划出的正方形区域用标准小正方形草皮砖铺满。但题目未给出小砖的尺寸，因此这里的“砖块数”可能指划分出的“大正方形区域”的“个数”？再读：“草皮砖区域必须是完整的正方形”，并“铺设草皮砖”，所以是整个大区域铺砖。但“砖块数尽可能少”通常指使用的大块草皮砖尺寸越大越好，即大正方形区域的边长越大越好（因为单块砖面积大了，总块数就少）。但前提是必须用同样大小的正方形砖铺满。因此，问题可转化为：在空地内划出一个最大的正方形（以满足砖块数少），其边长是长和宽的公因数，且不超过16米。那么，在{1,2,3,4,6,12}中，边长最大的是12米。

   第四步：方案陈述。所有可能方案是边长为1,2,3,4,6,12米的正方形区域。最优方案是边长为12米的正方形区域（此时需要的大块草皮砖数量最少，计算：区域面积12×12=144平方米，若每块小草皮砖面积是1平方米，则需144块；若边长为6米，区域面积36平方米，则需要36块1平米的砖，但这里比较的是大区域边长，边长越大，所需标准砖块数越多？逻辑矛盾。需要澄清：”砖块数“指的是铺设用的标准小砖的块数。在标准小砖尺寸固定（比如1平米）的情况下，铺设的总面积越大，需要的砖块数越多。而题目要求砖块数尽可能少，意味着铺设的总面积应尽可能小？这与“希望铺设”可能矛盾。这可能是一个歧义点。更合理的解释是：”砖块数“指构成这个正方形区域所用的”大正方形草皮砖“的块数，如果这种草皮砖本身就是一种预制件，尺寸等于我们划出的正方形边长。那么，对于整个空地来说，我们只铺设一块边长为12米的大草皮砖（预制件），这就是砖块数最少（1块）的方案。但边长为12米时，只用一块大砖；边长为6米时，在60×48的空地里可以铺多块6米的大砖，砖块数就多了。因此，最优是选择允许范围内最大的正方形作为单块草皮砖的尺寸，这样整个区域只用一块砖。这符合“节约材料”（可能大块预制件连接缝少）和“砖块数少”的表述。

  3.各组展示方案，重点阐述推理逻辑和条件应用过程。教师点评，强调综合运用约束条件（公因数、范围限制、优化目标）进行决策的思维过程。

  （设计意图：设计一个开放性的综合实践任务，融合了求公因数、范围筛选、方案比较与优化决策。它不再是简单的套用模型，而是需要学生综合运用数学知识、阅读理解能力和逻辑推理，在多个约束条件下寻求最优解。这体现了STEM教育中的工程思维，将数学学习推向更高层次的解决问题层面。）

  （五）总结反思，体系构建（预计用时：7分钟）

  1.知识网络梳理：

   教师引导学生共同构建本节课的思维导图（框架由教师提供核心节点，学生填充内容）。

   核心：求两个数的最大公因数（方法：列举、分解质因数、短除法）。

   应用模型识别关键短语：“等分”、“无剩余”、“尽可能大/多/长”→考虑最大公因数。

   典型情境：①分割最大正方形（几何）；②分成相同小组（人数）；③搭配相同套装（物品）；④规划最优区域（综合）。

   易错点辨析：“最多”有时对应最大公因数（如小组人数最多），有时对应最大公因数作为份数（如奖品包最多），需结合具体情境分析“最多”指的是哪个量的最值。

  2.学习反思与交流：

   请学生分享：“今天这节课，你最大的收获是什么？在解决哪个问题时让你觉得最有挑战性，你是怎么突破的？”

   教师总结：“数学的魅力在于它是一把万能钥匙。今天我们掌握了‘最大公因数’这把钥匙，它不仅能打开计算的大门，更能打开一扇扇连通生活与数学的问题之门。关键在于我们是否拥有发现‘锁眼’——即识别数学模型的眼睛和思维。”

  （设计意图：通过构建思维导图，将零散的知识点与应用情境结构化、系统化，促进长时记忆的形成。学习反思环节关注学生的元认知发展，鼓励他们回顾思考过程，提炼策略，感受成长。）

  五、板书设计（纲要）

  运用最大公因数解决实际问题

  一、核心工具：短除法

    24 18  ……公有质因数相乘

    2  24 18

    3  12  9

      4  3 ……商互质则停

   最大公因数：2×3=6

  二、应用模型识别

   关键词：等分、无剩余、尽可能大（多、长…）

   →转化为求两个数的最大公因数

  三、典型情境

   1.剪最大正方形→(长，宽)→边长

   2.分最多小组→(男生数，女生数)→每组人数

   3.配最多套装→(A物数，B物数)→套装数

   4.综合规划→公因数筛选+条件约束+优化目标

  四、思想方法

   数学建模、优化思想、数形结合

  六、作业设计与评估

  （一）分层作业（学生根据自身情况选择完成）

   A层（基础巩固）：

   1.用短除法求出下列每组数的最大公因数：(56,72)，(45,105)，(64,80)。

   2.解决实际问题：有一块长方形布料，长90厘米，宽60厘米。要把它裁成同样大小的正方形桌布而无剩余，正方形桌布的边长最长可以是多少厘米？能裁出多少块？

   B层（能力提升）：

   1.解决实际问题：幼儿园阿姨给小朋友分水果。苹果有36个，橘子有48个。如果每个小朋友分到的苹果一样多，橘子一样多，且正好分完。小朋友最多有多少人？此时每人分得苹果、橘子各几个？

   2.思考题：如果要把长90厘米、宽60厘米的布料裁成同样大小的正方形，且正方形边长是大于10厘米的整厘米数，有哪些裁法？

   C层（探究拓展）：

   设计一个发生在你身边的、可以用求两个数最大公因数来解决的实际问题情境，并详细写出解答过程。比一比谁的问题更有趣、更贴近生活。

  （二）过程性评估设计

   1.课堂观察：记录学生在小组讨论中的参与度、发言质量（能否使用数学术语、逻辑是否清晰）、在挑战任务中表现出的坚持性与创造性。

   2.练习分析：通过课堂练习和作业反馈，评估学生对短除法算理的掌握程度，以及识别和应用最