高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数拓展培优1同构函数问题

拓展培优1同构函数问题▶对应学生用书P19【考情分析】同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.1.(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2 D.a＜b2解析：选B.由题设知2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log4b2.又log4b2＝log2b＝log2(2b)－1，所以2a＋log2a＝22b＋log2(2b)－1，从而2a＋log2a＜22b＋log2(2b).令函数f(x)＝2x＋log2x，x∈(0，＋∞)，则有f(a)＜f(2b)，显然f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以a＜2b.2.(2020·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna，若f(x)≥1，求a的取值范围.解：解法一：f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx，令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥glnx显然g(x)为单调增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令hx＝lnx－x＋1，则h'x＝1x－1＝1在0，1上h'(x)＞0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)∴hxmax＝h1＝lna≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞).解法二：∵f(x)＝aex－1－lnx＋lna，∴f'(x)＝aex－1－1x，且a＞0设g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝aex－1＋1x2＞∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＝1时，f'(1)＝0，∴f(x)min＝f1＝1，∴f(x)≥1成立.当a＞1时，1a＜1，∴e1a－1＜1，∴f'(1a)f'(1)＝a(e1a－1－1∴存在唯一x0＞0，使得f'(x0)＝aex0－1－1x0＝0，且当x∈(0，x0)时f'(x)＜0，当x∈(x0，＋∞)时f'(x)＞0，∴aex0－1＝1x0，∴ln因此f(x)min＝f(x0)＝aex0－1－lnx0＋lna＝1x0＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋21x0·∴f(x)＞1，∴f(x)≥1恒成立；当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜a＜1，∴f(1)＜1，f(x)≥1不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞).拓展1地位同等同构型含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)－g(x2)＞λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)＞g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)；(2)f(x1)-f(x2)x1-x2＞k(x1＜x2)⇔f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2⇔f(x1)－kx1＜f(x2)－kx(3)f(x1)-f(x2)x1-x2＜kx1x2(x1＜x2)⇔f(x1)－f(x2)＞k(x1－x2)x1x2＝kx2已知f(x)＝alnx＋12x2a＞0，若对于任意两个不等的正实数x1、x2，都有fx1-fx2x1-A.0，1 BC.0，3 D解析：选B.不妨设x1＞x2＞0，可得fx1－fx2＞2x1－2x2，可得fx1－2x1＞fx2－令g(x)＝f(x)－2x＝alnx＋12x2－2x，则gx1＞g所以函数g(x)在0，＋则g'x＝ax＋x－2≥0对任意的x＞0恒成立，所以a≥2x－x2当x＞0时，2x－x2＝－x－12＋1≤1，当且仅当x＝1时所以a≥1.[规律方法]含有地位同等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题.对点练1.已知x，y为不相等的正实数，lnx＋lny＝1y－x，则(A.x＞y B.x＜yC.x＋y＞1 D.x＋y＜1解析：选C.由lnx＋lny＝1y－x得lnx＋x＝－lny＋1y＝ln1y构造函数f(x)＝lnx＋x，则f'(x)＝1x＋1＞0，可知f(x)＝lnx＋x在0，结合lnx＋x＝ln1y＋1y，得x＝1y，即xy由基本不等式可知：x＋y≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y＞1.拓展2指对跨阶同构型1.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值易求.2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝elnx，xex＝elnx+x，x2ex＝e2lnx+x，exx＝elnx+x，lnx＋lna＝ln(ax)，lnx－1＝lnxe，有时也需要对等式两边同时加角度1指对同构与不等式恒成立问题若不等式xeax＋2xlnx＋2a＞2x＋e对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为(A.－∞，－1C.0，1 D解析：选D.由x＞0，不等式xeax＋2xlnx＋2a＞2x＋e，即eax＋2lnx＋2a即eax＋2ax＞2－2lnx＋ex，即eax＋2ax＞e设f(x)＝ex＋2x，则上式为fax＞fln由f'(x)＝ex＋2＞0，则f(x)在R上单调递增，可得ax＞lne由x＞0，得a＞xlnex(x＞0)令ex＝t(t＞0)，则a＞e×lntt(t＞因此xeax＋2xlnx＋2a＞2x＋e对任意正实数x恒成立，即a＞e×lntt(t＞0)令gt＝lntt(t＞0)，则g't＝当t＞e时，g't＜0，gt在(e，＋∞)上单调递减，当0＜t＜e时，g't＞0，gt在(0，e)上单调递增，所以t＝e时，gt取得最大值ge＝1e，则a＞eg(t)max＝ege＝1角度2指对同构与不等式证明问题已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，证明：lnx＋x＋1≤xex.证明：方法一(同构)：lnx＋x＋1＝lnx＋lnex＋1＝ln(xex)＋1，要证lnx＋x＋1≤xex，即证ln(xex)＋1≤xex，令＞0，即证lnt＋1≤t，令φ(t)＝lnt＋1－t，t＞0，∴φ'(t)＝1t－1＝1－tt，当t∈(0，1)时，φ'(t)＞0，当t∈(1，＋∞)时，φ'(t∴φ(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t)≤φ(1)＝0，∴lnt＋1－t≤0，即lnt＋1≤t，即原不等式成立.方法二(隐零点)：设g(x)＝xex－lnx－x－1，x＞0，则g'(x)＝(x＋1)ex－1x－1令h(x)＝(x＋1)ex－1x－1，x＞0则h'(x)＝(x＋2)ex＋1x2＞即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h12＝32e12－3＜0，h(e)＝(e＋1)ee－1故∃x0∈12，e，使得h(x0)＝0，即x0e当x∈(0，x0)时，h(x)＜0即g'(x)＜0，g(x)在(0，x0)上单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0即g'(x)＞0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(x0)＝x0ex0－ln1ex0－x0即g(x)≥0，即xex≥lnx＋x＋1，则lnx＋x＋1≤xex.[规律方法]指对跨阶同构的基本模式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤blnb⇔aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)＝x②同右构造形式：aea≤blnb⇔ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa＜bln①同左构造形式：eaa＜blnb⇔eaa＜elnbln②同右构造形式：eaa＜blnb⇔ealnea＜b③取对构造形式：a－lna＜lnb－ln(lnb)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和差型：ea±a＞b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a＞b±lnb⇔ea±a＞elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±a＞b±lnb⇔ea±lnea＞b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.对点练2.已知当x＞0时，不等式lnxekx+1≤kxx+1恒成立，则实数A.1e B.1 C.2 解析：选A.根据题意，因为lnxekx+1≤kxx+1，所以x+1lnx≤ekx+1kx＝(e设函数hx＝x+1lnx，可得hx≤hekx，h'x＝1＋1x＋lnx＝g(x)，g'x所以x∈0，1时，g'x＜0；x∈1，＋∞时，所以函数h'x在0，1上单调递减，在1所以h'x≥h'1＝2，所以hx在0，＋所以x≤ekx，可得lnx≤kx，则k≥lnx设函数Mx＝lnxx，则M'x＝所以x∈0，e时，M'x＞0；x∈(e，＋∞)时，M'x＜函数Mx在0，e上单调递增，在(e，＋∞)所以函数Mx在x＝e处取得最大值Me＝1e，所以k≥1拓展3零点同构型已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋lnx－2的零点，则e2-x0＋lnx0解：x02ex0-2＋lnx0－2＝0，可得x02ex0-2＝2－lnx02ex0＝2e2－e2lnx0，x0ex0＝2即x0ex0＝e2x两边同取自然对数，lnx0＋x0＝ln(lne2x0)＋所以ln(e2x0)＝x0，即2－lnx0＝x0，即lnx0＝2－x0，所以e2所以e2-x0＋lnx0＝x0＋lnx答案：2[反思感悟]在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构或转化为方程后构造函数，其实质是把函数式简化，以达到研究函数零点的目的.对点练3.已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：f(x)＝xex－a(x＋lnx)＝ex+lnx－a(x＋lnx)，令t＝x＋lnx，t∈R，显然该函数单调递增.由et－at＝0有两个根，即a＝ett，即y＝ett，y可画出函数图象得到a的范围是(e，＋∞).答案：(e，＋∞)[课下巩固检测练(十)]同构函数问题(单选题、填空题每题5分，解答题每题10分)1.若2024x－2024y＜2025－x－2025－y，x，y∈R，则()A.ln(y－x＋1)＞0B.ln(y－x＋1)＜0C.ln｜x－y｜＞0D.ln｜x－y｜＜0解析：选A.由2024x－2024y＜2025－x－2025－y，x，y∈R，可得2024x－2025－x＜2024y－2025－y，由于函数y＝2024x，y＝－2025－x均在R上单调递增，则函数f(x)＝2024x－2025－x在R上单调递增.则2024x－2025－x＜2024y－2025－y⇔f(x)＜f(y)⇔x＜y.A，B选项，y＞x⇒y－x＋1＞1⇒ln(y－x＋1)＞ln1＝0，故A正确，B错误.C，D选项，由条件知｜x－y｜与1的大小关系无法判断，故C，D错误.2.已知实数x，y，z满足ex－e2＝ex－2≠0，ey－e3＝ey－3≠0，ez－e5＝ez－5≠0，其中e为自然对数的底数.则x，y，A.x＜y＜z B.y＜x＜zC.z＜x＜y D.z＜y＜x解析：选D.设ft＝et－et，可知函数ft的定义域为R，且f't＝et－e，因为f't在定义域上单调递增，且f'(1)＝0，若t＞1，则f't＞0；若t＜1，则f't＜0；可得ft在1，＋∞上单调递增，在又因为ex－e2＝ex－2≠0，ey－e3＝ey－3≠0，ez－e5＝e可得ex－ex＝e2－2e，ey－ey＝e3－3e，ez－ez＝e5－5e，即f(x)＝f2，fy＝f3，fz＝f5，且x≠2，y≠3，z≠5，可知f(x)＜fy＜fz，且x＜1，y＜1，z＜1，所以z＜y＜x.3.已知m，n都是正整数，且em＋lnn＜m＋n，则()A.n＞em B.m＞emC.n＜em D.m＞en解析：选A.因为em＋lnn＜m＋n，所以em－m＜n－lnn＝elnn－lnn，令f(x)＝ex－x(x≥0)，所以f'(x)＝ex－1≥0，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由已知得f(m)＜f(lnn)，故m＜lnn，因为m，n都是正整数，即n＞em.4.已知函数f(x)＝ex－ax2的定义域为12，2，且对∀x1，x2∈12，2，x1≠x2，fx1-fx2x1-A.e24－1C.－∞，e2解析：选A.设x1＞x2，因为对∀x1，x2∈12，2，当x1≠x2时都有fx1-fx等价于fx1－fx2＜x12－x22，即fx1－令F(x)＝f(x)－x2＝ex－ax2－x2，则Fx1＜Fx2，所以F(x)在1所以F'(x)＝ex－2(a＋1)x≤0在12，2上恒成立，即exx≤2(a＋1令h(x)＝exx，x∈12，2，则h'(所以函数h(x)在12，1上单调递减，在又h12＝2e，h(2)＝e22，且2e所以hxmax＜h2＝所以e22≤2(a＋1)，解得a≥e25.已知函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝x2.当a＞0时，若对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有fx1－fx2＜｜g(x1)－g(解析：不妨设1≤x1＜x2≤2.因为a＞0，所以f'(x)＝a1+1x＞所以f(x)在1，2上单调递增，即fx1＜又因为g(x)＝x2在1，2所以gx1＜gx所以不等式fx1－fx2＜｜g(x1)－gx2｜即为fx2－即fx2－gx2＜fx1－设F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝ax＋alnx－x2，则Fx2＜Fx1，因此F(x)在1于是F'x＝a＋ax－2x≤0在1，2上恒成立，即a≤2x令ux＝2x2x+1，则u'x＝即ux在1，2上单调递增，因此ux在1，2上的最小值为u1＝1，所以故实数a的取值范围是0＜a≤1.答案：06.已知实数a，b满足a＝e2025－a，2022＋lnb＝e3－lnb，则ab＝.解析：根据题意，显然a，b是正数.由a＝e2025－a，两边取对数得，lna＝lne2025－a＝2025－a，即a－(3－lna)＝2022，又2022＋lnb＝e3－lnb，即e3－lnb－lnb＝2022，利用a＝elna，于是e3-(3－lna)－(3－lna)=2022，e3-lnb－lnb=2022，记h(x)由h(3－lna)＝h(lnb)⇒3－lna＝lnb，于是lnab＝3，ab＝e3.答案：e37.若关于x的不等式aeax+1≥2x＋1xlnx在(0，＋∞)上恒成立，解析：由题设axeax+1≥x2+1lnx2，即axeax＋ax≥x2lnx2＋lnx2＝lnx2·eln令f(x)＝xex＋x，则f'(x)＝(x＋1)ex＋1，令g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝(x＋2)ex，当x＜－2时，g'(x)＜0，g(x)＝f'(x)在(－∞，－2)上单调递减，当x＞－2时，g'(x)＞0，g(x)＝f'(x)在(－2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＝f'(x)≥f'(－2)＝1－1e2＞0，故f(x)在R由f(ax)≥f(lnx2)恒成立，有ax≥lnx2⇒a≥2lnxx在(0，＋∞)令h(x)＝2lnxx，则h'(x)＝当0＜x＜e时，h'(x)＞0，h(x)在(0，e)上单调递增，当x＞e时，h'(x)＜0，h(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(e)＝2e综上，a≥2e，故其最小值为2答案：28.已知a＞1，若对于∀x∈13，＋∞，不等式13x－x＋ln3x≤1aex＋ln解析：不等式13x－x＋ln3x≤1aex＋lna，可化为13x＋ln3x≤1aex＋lna＋x＝1ae令f(x)＝1x＋lnxx≥1，则f'(x)＝x-1x2≥0，所以f因为a＞1，x≥13，所以3x≥1，ex≥e13＞e0＝1，则aex所以不等式13x＋ln3x≤1aex＋lnaex，∴3x≤aex，即a≥3xex对∀x∈令g(x)＝3xex，则g'x当x∈13，1时，g'x＞0，即g(x当x∈1，＋∞时，g'x＜0，即g(x∴g(x)≤g1＝3e，则a≥3即a的取值范围为3e答案：39.已知函数f(x)＝ex－1lnx，g(x)＝x2－x，证明：当x∈(0，2)