中考数学一轮专项复习（试题汇编）三角形及其全等（原卷版+解析版）

中考数学真题专题分类精选汇编（全国通用）

三角形及其全等

一、选择题

1.（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CDLDE）按如图方

式摆放，若ABIICD,则N1的大小为（）

A.30°B.45。C.60°D.75°

2.（2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含30。角的三角尺和直尺如图放置.，若Nl=50。，则N2的度数

是（）

A.30°B.40°C.50cD.60°

3.（2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程r-10x+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

4.（2024云南省）已知Z尸是等腰底边3c上的高，若点/到直线44的距离为3,则点厂

到直线/C的距离为（）

37

A.-B.2C.3D.一

22

5.（2024安徽省）在凸五边形片中，AB=AE,8C=DE,/是CQ的中点.下列条件中，

不能推出//与CQ一定垂直的是（）

A.Z.ABC=Z.AEDB.NBAF=ZEAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

w

CpD

A

C六D

6.（2024四川广安）如图,在人力AC中,点/）.E分别是力C.AC的中点.若//=45。.

/CED=70°,则NC的度数为（）

一C

//------------------%

A.45°B.50°C.60°D.65°

二、填空题

1.（2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为40。,则它的顶角的度数是________度.

2.（2024重庆市B）如图，在“8。中，4B=AC,N"=36。，BD平分/4BC交AC千点、D.若

BC=2,则4。的长度为________.

C

3.（2024四川凉山）如图，»8c中，ZBCD=30°,/4CB=80。，CQ是边力8上的高，AE

是/。8的平分线，则N/EB的度数是

c

4.（2024四川内江）如图，在“8C中，ZZ）C£=40°,AE=AC,BC=BD,贝|J/ACB的度

数为

AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则2=

6.（2024四川成都市）如图，△彳若/。=35。，N彳C8=45。,则NDCE的度

数为

三、解答题

1.（2024云南省）如图，在18C和△力£。中，AB=AE，/BAE=/CAD,AC=AD.

求证；△/〃。&△/出。.

2.（2024四川乐山）知：如图，48平分NC力。，AC=AD.求证：NC=4D.

AB

D

3.（2024江苏连云港）如图，48与CO相交于点E,EC=ED,AC//BD.

（1）求证：4AEC忠ABED；

（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形。"CN,使得点〃在4C上，点N在8。上.（不写

作法，保留作图痕迹，标明字母）

4.（2024江苏苏州）如图，AJBC中，AB=AC,分别以B,。为圆心，大于长为半径画

2

弧，两弧交于点。，连接BO,CD,AD,AD与BC交于点、E.

（2）若8。=2,ZBDC=\20°f求8c的长.

5.（2024江苏盐城）已知：如图，点4、B、C、。在同一条直线上，AE〃BF,AE=BF.

若,则45=CD.

请从①CE〃DF；②CE=DF；③NE=//这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结

论成立，并说明理由.

6.（2024四川南充）如图，在A/15C中，点力为8c边的中点，过点4作8《〃力C交4）的延长

线于点E.

A

(1)求证：/DE知CDA.

⑵若ADJ.BC,求证：BA=BE

7.(2024四川自贡)如图，在中，DE〃BC,AEDF=ZC.

(1)求证：/BDF=ZA；

(2)若N4=45。，DF、F分NBDE,请直接写出&48c的形状.

8.(2024四川宜宾)如图，点D、E分别是等边三角形边8C、4C上的点，且BD=CE,BE

与力。交于点E.求证：AD=BE.

9.(2024四川内江)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

(1)求证：AABC出ADEF；

(2)若N4=55。，ZE=45°,求/产的度数.

中考数学真题专题分类精选汇编（全国通用）

三角形及其全等

一、选择题

1.（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CD工DE）按如图方

式摆放，若ABIICD,则N1的大小为（）

【答案】A

【解析】本题考查了平行线的性质，由AB"CD,可得NC7）B=60。，即可求解.

VAB//CD,

・•・/CDB=60°，

,:CD上DE,则NCZ）£=90。，

・•・Z1=180°-4CDB-ACDE=30°,

故选：A.

2.（2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含30。角的三角尺和直尺如图放置，若NI=50。，则N2的度数

是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即

可求解.

如图所示，

由题意得N3=/l=50。，Z5=90°,/2=/4,

:.Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故选：B.

3.（2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程/_10工+21=（）的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得

x,=3,X2=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而口一•可求出三

角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程W-10工+21=0得，演=3,x2=7,

•••3+3<7,

・♦•等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

・•・这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

4.（2024云南省）已知力厂是等腰△NBC底边8c上的高，若点尸到直线43的距离为3,则点厂

到直线ZC的距离为（）

37

A.-B.2C.3D.-

22

【答案】C

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形“三线合一”得到力/平分/瓦1C,再角平分线的性质定理即可求解.

VAF是等腰”BC底边BC上的高,

・•・力”平分NB4C,

・•・点尸到直线43,4C的距啕相等，

:点尸到直线48的距离为3,

・•・点尸到直线NC的距离为3.

故选：C.

5.（2024安徽省）在凸五边形48coE中，AB=AE,BC=DE,产是CQ的中点.下列条件中，

不能推出力尸与CO一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.NBCF=NEDFD.N4BD=NAEC

【答案】D

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等

三角形的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据隼腰三角形“三线合一”的性质即可证得

结论.

【详解】解：A、连接4C、AD,

,:/ABC=ZAED，AB=AE,BC=DE，

・•・"C8四"Z)E(SAS),

：,AC=AD

乂丁点尸为CO的中点

/.AF±CD,故不符合题意;

B、连接3"、EF,

VAB=AE^NBAF=/EAF,AF=AF,

.,."4"g"E/(SAS),

・•・BF=EF,△4FB=/AFE

又•••点尸为。。的中点，

:,CF=DF,

•・,BC=DE,

r.„CBF^DEF(SSS),

：.Z.CFB=Z.DFE,

・•・/CFB+乙4FB=ZDFE+ZAFE=90°,

/.AFICD,故不符合题意；

C、连接Bb、EF,

丁点尸为。。的中点，

・•・CF=DF,

VZBCF=ZEDF,BC=DE,

・♦・△C5F^ADEF(SAS),

BF=EF,/CFB=4DFE,

•：4B=4E,AF=AF,

:sABF知AEF(SSS),

・•・/AFB=ZAFE，

・•・/CFBI/AFB=/DFE4/AFE=90°，

/.AFICD,故不符合题意；

D、NABD=NAEC,无法得出题干结论，符合题意：

故选：D.

6.（2024四川广安）如图，在』8C中，点、D,E分别是4C,8C的中点，若乙4二45。，

ZCED=70°，则NC的度数为（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确

识图是解题的关键.先证明QE〃4?,可得NCQE=N4=45。，再利用三角形的内角和定理可得

答案.

【详解】•・•点。，E分别是ZC,8C的中点，

・••DE//AB.

•・,ZA=45°,

・•・NCDE=N4=45。,

•ZZCED=70°,

・•・ZC=180°-45°-70°=65°,

故选D

二、填空题

1.（2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是度.

【答案】100

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求山顶

角度数即可.

【详解】因为其底角为40°,所以其顶角二180。-40入2=100。.

故答案为：100.

2.（2024重庆市B）如图，在“6c中，AB=AC,4=36°,BD平分NABC交AC千点、D.若

BC=2,则力。的长度为

c

a

----------------ZB

【答案】2

【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据

等边对等角和三角形内隹和定理求出ZC=ZABC=72°,再由角平分线的定义得到

ZABD=/CBD=36。，进而可证明N4=N48。，/BDC=/C,即可推出力。=80=2.

【详解】•・•在/8C中，AB=AC,乙4=36。，

・•・NC=/ABC=180°一.'=72°,

2

•・•BD平分NABC,

・•・ZABD=乙CBD=-/ABC=36°,

2

；,/A=/4BD,ZBDC=ZJ4-ZABD=720=ZC,

/.AD=BD,BD=BC,

AD=BC=2,

故答案为：2.

3.（2024四川凉山）如图，ABC中，/BCD=30。,/4CB=80。，CQ是边力B上的高，AE

是NCAB的平分线，则ZAEB的度数是.

【答案】100。##100度

【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出N4CO=50。，结合高

的定义，得ND4C=40。，因为角平分线的定义得=20。，运用三角形的外角性质，即可作答.

【详解】•・・/8CO=30。，ZJC5=80°,

・•・ZACD=50°,

,:CD是边D5上的高,

・•・ZJDC=90°,

・•・/Q/C=40。，

•・・4E是/。3的平分线，

/.Z1CAE=-ZlDAC=20°,

2

・•・Z.AEB=NCAE+/4CB=20°+80°=100°.

故答案为：10（）。.

4.（2024四川内江）如图，在△ABC中，ZDCE=40°,AE=AC,BC=BD,则/NC8的度

数为：

【解析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差.

根据三角形的内角和可得NCOE+NC£O=140。，根据4E=4C,BC=BD得到

/ACF.=/AF.C,/RCD=/RDC,从而//CE+/ACC=140。,根据角的和差有

N4CB=N4CE+NBCD-/CDE,即可解答.

【详解】VZDC£=40°,

・•・NCDE+/CED=180°-ADCE=140。，

VAE=AC,BC=BD,

:・ZACE=ZAEC,4BCD=4BDC,

・•・ZACE+ZBCD=NCDE+ZCED=140°

・•・AACB=ZACE+/BCE=ZACE+/BCD-ZCDE=140°-40°=100°.

故答案为：100。

5.（2024黑龙江绥化）如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则4=°.

【答案】66

【解析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得

N£=NC=33。，根据三角形的外角的性质可得/。。£=66。，根据平行线的性质，即可求解.

【详解】OC=OE,ZC=33°,

:.N£=NC=33。，

・•・NDOE=ZE+ZC=66°，

•・,AB//CD,

：・/A二NDOE=66。,

故答案为：66.

6.（2024四川成都市）如图，AJ8C也△COE,若NQ=35。，4c8=45。，则/QCE的度

数为.

【答案】100。##100度

【解析】本题考查了二角形的内角和定理和全等二角形的性质,先利用全等二角形的件质.求HI

/CED=/ACB=45。,再利用三角形内角和求出的度数即可.

【详解】由△/NO=35。，

・•・NCED=ZACB=45。,

•••/。=35。，

・•・ZZ)CE=180°-ZZ)-ZC£P=180o-35o-45o=100o.

故答案为；100°

三、解答题

1.(2024云南省)如图，在/5C和△/&)+«,AB=AE,/BAE=NCAD,AC=AD.

求证：^ABC^^AED.

A

【答案】见解析

【解析X分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利

用“SAS”证明&1BC9AAED,即可解决问题.

【详解】证明：,•,/B力£=NC4。，

...NB4E+NEAC=/C4D+/EAC,即NBAC=AEAD.

在△力〃。和中，

AB=AE

</BAC=/E4D,

AC=AD

48C丝瓦)(SAS).

2.(2024四川乐山)知：如图，AB平分/CAD,AC=AD.求证：ZC=ZZ).

【答案】见解析

【解析】利用SAS证明AC48段348,即可证明NC=/O.

vAB'I'•分ACAD,

/CAB=/DAB，

在AC48和A/MB中，

AC=AD

</CAB=NDAB,

AB=AB

zX。/这ACM6（SAS）,

:.4C=4D.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角

形的判定方法是解题的关键.

3.（2024江苏连云港）如图，48与C。相交于点E,EC=ED,AC//BD.

（1）求证：LAEC//XBED；

（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形。〃CN,使得点M在力。上，点N在3。上.（不写

作法，保留作图痕迹，标明字母）

【答案】（I）见解析（2）见解析

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到N/=N8,NC=NO,结合EC=ED，利用AAS即

可证明△*EC9/\BED；

（2）作。。的垂直平分线，分别交于点连接DW,CV即可.

【小问1详解】

证明：•••AC//BD,

:"A=/B,NC=/O.

乙4=NB

在△力EC和中，=

EC=ED

:AAECHBED（'阳；

【小问2详解】

解：是CD的垂直平分线，

:.MD=MC,DN=CN,

由（1）的结论可知，/A=/B,AE=BE,

又,：/AEM=/BEN.

则△彳EM岂ziBEN,

:.ME=NE,

•/CD1MN,

.,.C。是MN的垂直平分线，

DM=DN,CM=CN,

：.DM=DN=CN=CM、

二.四边形QMCN是菱形，

【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握

垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键.

4.（2024江苏苏州）如图，“48C中，AB=AC,分别以8,C为圆心，大于白台。长为半径画

弧，两弧交于点。，连接8。，CD,AD，AD与BC交于点E.

（1）求证：△ABDB4ACD；

⑵若BD=2,/8QC=120。，求8C的长.

【答案】（1）见解析（2）8c=2百

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关

键是：

（1）直接利用SSS证明△43。0△4CO即可；

（2）利用全等三角形的性质可求出NBD4=NCr%=60。，利用三线合一性质得山D4_LBC,

BE=CE,在中，利用正弦定义求出8E,即可求解.

【小问1详解】

证明：由作图知：BD=CD.

在△4%）和△力C。中，

AB=AC,

•BD=CD,

AD=AD.

...△/8Q也△力CD.

【小问2详解】

解：;"BDAACD,N5OC=12（）c,

ABDA=ZCDA=60°.

又•・•BD=CD,

：.DALBC,BE=CE.

BD=2,

BE=BDsEZBDA=2X—=43,

2

BC=2BE=20

5.（2024江苏盐城）己知：如图，点力、B、。、。在同一条直线上，AE〃BF,AE=BF.

若,则44=CQ.

请从①CE〃DF；②CE=DF・,③NE=/F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结

论成立，并说明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析

【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出

ZA=/FBD,ND=/ECA,再由全等三角形的判定和性质得出4c=40,结合图形即匕证明；②

得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出户’Q（SAS）,结合图形即可证明：熟练

掌握全等二角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：选择①CE〃OF；

VAE//BF,CE//DF,

・•.ZA=4FBD,ZZ）=/ECA,

•・•AE=BF,

：.AAS）,

；・AC=BD,

:・AC-BC=BD-BC,即.48=。。：

选择②CE=O/：

无法证明△4ECgABFD,

无法得出48=CO：

选择③NE=/F；

VAE//BF,

・••乙4=/FBD,

VAE=BF,ZE=Z.F，

・•・"£C咨AB/T^ASA）,

；・AC=BD,

:.AC-BC=BD-BC,即.44=。。：

故答案为：①或③（答案不唯一）

6.（2024四川南充）如图，在-4〃。中，点。为4C边的中点，过点8作9E〃4c交的延长

线于点E.

（1）求证：ABDEHCDA.

（2）若ADJ.BC,求证：BA=BE

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定却性质：

（1）由中点，得到4Q=CO,由BE〃AC,得到NE=ND4C,NOBE=NC,即可得证;

（2）由全等三角形的性质，得到£。=力。，进而推出3Q垂直平分4E，即可得证.

【小问1详解】

证明：丁。为8C的中点，

BD=CD.

•・•BE//AC,

ZE=ADAC,ZDBE=ZC；

/E=ZDAC

在4BDE和ACDA中，＜/DBE=ZC

BD=CD

.•.△BOE%CDHAAS）；

【小问2详解】

证明：

：.ED=AD

vAD1BC,

.♦.5。垂直平分）E，

BA=BE.

7.（2024四川自贡）如图，在中，DE//BC,/EDF=NC.

A

（1）求证：/BDF=ZA；

（2）若乙4=45。，DF平分NBDE,请直接写出的形状.

【答案】（1）见解析（2）A/