2026年广东省高考数学总复习《计数原理》测试卷-附答案解析

2026年广东省高考数学总复习《计数原理》测试卷

一.选择题（共8小题）

1.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.40个B.42个C.48个D.52个

2.将字母。，a,b,b,c,c,d,d排成四行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的

排列方法共有（）

A.240种B.216种C.160种D.192种

3.把编号为I、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的

编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是（）

A.10B.20C.40D.60

4.若Cf+i-0=或（〃£N*）,则〃等于（）

A.11B.12C.13D.14

5.记者要为3名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

()

A.120种B.48种C.24种D.12种

6.如图要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须

涂不同颜色，则不同涂色方法种数为（)

C.120D.60

7.甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者再传给其他三人中任

一人，这样共传了4次，则第4次仍传回到甲的方法共有（）

A.21种B.24种C.27种D.42种

8.五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程.则不同的承包方案有（）

A.30B.60C.150D.180

二.多选题（共3小题）

（多选）9.关于（a-b）1°的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为1024

B.展开式中第6项的二项式系数最大

C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

（多选）10.下列说法正确的是（）

A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种

B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数

1

C.从集合A={〃，b,c,d}中任取2个元素组成集合8,则集合8中含有元素匕的概率为5

1

D.两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是a

（多选）11.对任意实数X,有（2%-3）9=+Q1（X-1）+。2（%-1）2+-1）3+…+。9（工一1）9.则下列结

论成立的是（）

A.42=-144

B.<70=1

C.。0+。|+。2+…+49=1

—

D.Q.Q_Q]+Q2一+…—Qg—3^

三.填空题（共3小题）

12.4名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛，每人限报一项.报名方法有种；若每个项目均有人参

赛，则报名方法有种.（用数字作答）

21

13.设（x—I）?1=%+即工+H--Fa21xf则4io+aii=.

14.某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须

在另两人之间，则不同的座法共有.

四.解答题（共5小题）

15.已知A={x|lCk）g2xC3,1WN*）,6=3|x-6|C3,xWN*},试问：从集合A和8中各取一个元素作为直角坐

标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

16.某电影院一排有10个座位，现有4名观众就座.

(1)若4名观众必须相邻，则不同的坐法有多少种？

(2)若4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？

(3)若4名观众两两不相邻，且要求每人左右两边至多只有2个空位，则不同的坐法有多少种？

17.如图，一个正方形花圃被分成5份.

(I)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花,

求有多少种不同的种植方法？

(2)若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？

18.（1）设出，〃WN*,且〃22,求证：kCn=；

12n

（2）求满足,C：+泼+…+<100的正整数〃的最大值.

19.函数/（X）=©+近）%（〃为实数并且是常数）

9

（I）已知/（x）的展开式中X5的系数为：，求常数a.

4

（II）已知。>0,是否存在。的值，使4在定义域中取任意值时，/（X）227恒成立？如存在，求出4的值,

如不存在，说明理由.

2026年广东省高考数学总复习《计数原理》测试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.40个B.42个C.48个D.52个

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、若0在个位，

此时只须在1,2,3,4,5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有&=20个没有重复数字的三位偶数；

②、若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，

0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，

此时共有2X4X4=32个没有重复数字的三位偶数；综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；

故选：

2.将字母a,b,b,c,c,d,d排成四行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的

排列方法共有（）

A.240种B.216种C.160种D.192种

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，对于第一列，需要将a、b、c、d全排列，有*=24种排列方法，

②，对于第二列，假设第一列的顺序为a、b、c、d,

。后边的字母有3种情况，假设。后面填的为江则人后面的字母有3种情况，剩下的2个字母有1种填法，

则第二列有3X3=9种排列方法，则有24X9=216种不同的排列方法；故选：B.

3.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的

编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是（）

A.10B.20C.40D.60

【解答】解：由题意知本题需要分类来解，

首先选出两位运动员使得这两位运动员的编号与跑道编号相同，有鬣种结果，

剩下的三位运动员先让一名运动员选跑道，有两种选法，余下的两个人只有一种结果，

共有C25d2=20.故选：B.

4.若4+1=或（〃£N*）,则〃等于（）

A.IIB.12C.13D.14

【解答】解：根据题意，匿+1-百=或变形可得，cM=c触以;

由组合性质可得，酸+加=鬣+1；即以+1=或+］则可得到〃+1=6+7=〃=12；故选：B.

5.记者要为3名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

（）

A.120种B.48种C.24种D.12种

【解答】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，先招3名志愿者排成一列，

再膈2位老人看成一个整体插到3名志愿者形成的2个空中（除去两端的），

然后将2位老人排列，则不同的排法有咫6朗=24种.故选：C.

6.如图要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须

涂不同颜色，则不同涂色方法种数为（）

【解答】解：首先对①进行涂色，有5种方法，然后对②进行涂色，有4种方法，

然后对③进行涂色，有3种方法，然后对④进行涂色，有4种方法，

由乘法计数原理可得涂色方法种数为5X4X3X4=240种.故选：A.

7.甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者再传给其他三人中任

一人，这样共传了4次，则第4次仍传回到甲的方法共有（）

A.21种B.24种C.27种D.42种

【解答】解：由题意第三次传球后球一定不在甲手中，而第四次传球只能传给甲，

若笫二次传球后球在甲手中则不同的传法有3义1X3X1=9种

若第二次传球后球不在甲手中，则不同传法有3X2X2X1=12种

综上第4次仍传回到甲的方法共有9+12=21种

故选:A.

8.五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程.则不同的承包方案有（）

A.30B.60C.150D.180

【解答】解：若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3,1,1,则不同的分法有底=10种，故不同的承包

方案有10心=60种

若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2,2,1,则不同的分法有鼻底4=15种，故不同的承包方案15周=90

种

故总的不同承包方案为60+90=150种

故选：C.

二.多选题（共3小题）

（多选）9.关于（a-b）卬的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为1024

B.展开式中第6项的二项式系数最大

C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

【解答】解：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为2皤=1024,故A正确；

当〃为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故4正确，C错误；

。也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的.

故选：ABD.

(多选)10.卜列说法止确的是()

A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种

B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数

1

C.从集合A={a,b,c,刈中任取2个元素组成集合从则集合8中含有元素〃的概率为5

1

D.两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是5

【解答】佛：对于A，第一个同学可以参加三个课外兴趣小姐任意一个，有3种报名方法，

同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3X3X3X3=81种，故A错误；

对于B：先确定个位可从1,3中任选1个数有2各种取法，十位可从3个数中任选1个数有3种选法，

同理百位也有3种选法，故共有18个奇数，故4错误；

对于C：从集合A={〃，〃，c,由中任取2个元素有〃=鬣二6种取法，

含有元素〃的取法有〃口玛玛=3，・•・集合3中含有元素〃的概率为〃=京另，故C正确.

对于。，两位女生和两位男生站成一排一列，基本事件总数〃=用二24,

两位女生不相邻包含的基本事件个数m=A^Aj=12,

工法位女生不相邻的概率=故。正确.

故选：CD.

(多选)11.对任意实数X,有(2%—3)9=Qo+Q1(X-1)+-1)2+—1)3+…+。9(工一1)，则下列结

论成立的是()

A.a2=~144

B.<70=1

C.。0+。|+。2+…+〃9=1

D.2Q_%+Q?_Q3+…_“9=一§9

【解答】解：对任意实数X,

2399

有(2*—3)9=aQ+a1(x-1)+az(x—l)+a3(x—l)+■­•+a9(x—l)=[-1+2(.x-1)J,

•-CgX22=-144,故A正确；

故令x=\,可得ao=-1,故8不正确；

令X=2»可得的十十42十…十49=L故C正确：

令X=0,可得40-41+42-。9=-3、故。正确；

故选：ACO.

三.填空题(共3小题)

12.4名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛，每人限报一项.报名方法有81种:若每个项目均有人参赛，

则报名方法有^种.(用数字作答)

【解答】解：每个学生报名的方法都有3种，由乘法原理"J得报名方法有34=81种.

若每个项目均有人参赛，先把4个人分成3组，然后把三项比赛分给这3组，则报名方法有ClAl=36,

故答案为81,36.

2i

13.设(x-1)2]=a。+a/+&/H--Fa21xt则mo+aii=-1.

【解答】解：G-1)21的展开式的通项为7；+]

令21-r=1(),即r=\\得%o=C^(-l)11=-%,

令21-r=ll,即r=令得=C货(-2)1。=锣

所以由0+an=-C21+C21=0.

故答案为：0.

14.某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须

在另两人之间，则不同的座法共有1不.

【解答】解：根据题意，分3步来完成：

①、先安排甲、乙、丙三人，甲必须在另两人之间，有2种情况，排好后，包括两端共4个空位；

②、再在每个空位都安排一个空座位，有1种安排方法，排好后，包括两端共8个空位；

③、在这8个空位中，任取5个，插入空座位，有命=56种安排方法；

则共有2X56=112种不同的安排方法；

故答案为112.

四.解答题(共5小题)

15.已知A={x|lVlogzY3,AWN*},B={<V-6|<3,XEN*},试问：从集合A和8中各取一个元素作为直角坐

标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

【解答]解：A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8),

从A中取一个数作为横坐标，从8中取一个数作为纵坐标，有5X5=25(个)，

而8作为横坐标的情况有5种,3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5X5+5+4=34个不同的点.

16.某电影院一排有10个座位，现有4名观众就座.

(1>若4名观众必须相邻，则不同的坐法有多少种？

（2）若4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？

（3）若4名观众两两不相邻，口要求每人左右两边至多只有2个空位，则不同的坐法有多少种？

【解答】解：（1）将四名观众捆绑一起看作一个符合元素，插入到6个空座位排列后所形成的间隔中，故有

曲：=168种;

（2）4人中选2人捆绑在一起，与另外两人组成3个元素，插入到6个空座位排列后所形成的间隔中，故有

力弼=252（）种：

（3）根据题意，由于4名观众每两人都不能相邻，即每两人之间至少要有1个空位，

分2步进仃分析：

第一步，将4人全排列，每两人之间插入一个空位，有题=24种情况，

第二步，再安排剩余3个空位，分两类：①若前后两端存在一组连续2个空位，则先插入这组2个空位，再插

入剩余1个空位，则有6盘=8种情况：

②若前后两端不存在一组连续2个空位，则需将3个空位分别插入不同位置，有底=10种情况.

综上，共有24X（8+10）=432（种）排法.

17.如图，一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，

求有多少种不同的种植方法？

（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？

【解答】解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C

部分种植进行分类:

①若与8相同，。有2种不同的种植方法，£有2种不同的种植方法，共有4X3X1X2X2=48（种）;

②若与3不同，。有2种不同的种植方法，。有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4X3X2

X1X2=48（种）；

综上所述，共有96种种植方法;

（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法:

①若分成2・2・1-1・1的5组，有竽•种分法;

②若分成3-I-1-1-1的5组，有。种分法；

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有（竽+-能=16800种分法.

18.（1）设匕〃£N*,且“22,求证：卜益=n*二；；

（2）求满足7或+7缁+•••+；*V100的正整数〃的最大值.

【解答】解：（1）证明：左式=已扁"=消螳印=〃瑞二；=右式，

原式可证；