电磁感应模型的动力学、能量问题【八大模型】（解析版）-2025-2026学年高二物理下学期（人教版选择性必修第二册）

电磁感应模型的动力学、能量问题【八大模型】

【题型归纳】

题型一：线框模型

题型二：单轨模型侑无外力）

【技巧归纳】

技巧一：电磁感应中的能量守恒问题的分析方法

1.等效电路的分析：将产生感应电动势的那部分电路等效为电源，画出等效电路图，分析内外

电路结构，应用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质等知识进行分析.

2.电磁感应现象中涉及收尾速度问题时的动态分析:

周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态.

3.能量转化与守恒的分析：电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化.

如图金属棒Qb沿导轨由静止下滑时•，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中

的电能，最终在R上转化为焦耳热；另一部分转化为金属棒的动能.若导轨足够长，棒最终达到稳定

状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能.

技巧二：电磁感应中的力学问题的分析方法

1.理解电磁感应问题中的两个研究对象及其之间的相互制约关系

电源：£=n空，E=BLv

内电路AtI

I内电阻：，i

(1)电学对象

外电路(R):串、并联关系

电路关系：E=I(R+r)

受力分析：F『BIL

(2)力学对象I—♦-F令

过程分析：i

2.理解力和运动的动态关系

导体运动上电磁感因感应电动势E圈会会察设应电流/

--------------------欧姆定律---——I_

阻碍医菽记.磁场对电流的作用

技巧三；电磁感应中的“杆+导轨”模型

2

单杆水平式（导轨光

滑）

单杆倾斜式（导轨光滑）双杆切割式（导轨光滑）

小MtBtbp

M

PaQ

设运动过程中某时刻MP

杆MN做变减速运动，杆PQ做变

棒的速度为%加速度杆释放后下滑，开始时a=gsina,速

加速运动，稳定时,两杆的加速度

*FB-IJV闩

为a=-〃次，a，v同度v个玲E:BLv个玲1=擀

均为零，以相等的速度匀速运动.

向，随v的增加,a减个->F=BIL个玲a当F=mgsina对系统动量守恒,对其中某杆适

小，当a=0时,v最大，仁时,a=O,v最大用动量定理

常写恒定

见

含“容〃水平光滑导轨（v0=0）

类

空

型

光滑不等距导轨含“源〃水平光滑导轨（v°=0）

丹%广0

年拉力F恒定,开始时a=，速度

Mv个=E=BLv个，经过At速度为

杆MN做变减速运动，S比合,ab杆受安培力F—f,此时

v+Av,此时E=BL（v+Av）,电容器增

杆PQ做变加速运动，

3=:：,速度丫个=£监加的电荷量

稳定时，两杆的加速

AQ=CAU=C（E，-E）=CBLAv,电流1=

=BLv个=1J=F=BILJ=加速度a

度均为零，两杆以不

等;CBL*CBLa,安培力F安

当ES=E时,V最大，且Vm=5

同的速度做匀速运动uL

-BIL-CBLa,F-F安一ma,a-,〃+4电:1,

所以杆做匀加速运动

【题型探究】

3

题型一：线框模型

【例1】.（2025・广西贵港•模拟预测）如图所示，竖直面内质量为〃?、总电阻为汽、边长为心的正方形导线框

由静止释放，〃边与水平虚线平行，距虚线高度为“，虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，重力加速度大小为

g,在W边进入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，而始终保持水平，求：

Q---------'c

xxxx

（1）导线框进入磁场瞬间的速度大小丫；

（2）导线框进入磁场过程中产生的焦耳热。；

（3）匀强磁场的磁感应强度大小B。

【答案】（1）低万

⑵

1ImgR

⑶W腐

【详解】（1）导线框进入磁场前做自由落体运动，有y=2g〃

解得“施瓦

（2）在〃边进入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，说明导线框匀速进场，在进场过程中做匀速直线运动，根据

能量守恒,有。=〃?g£

（3）川边进入磁场瞬间，导线框的加速度恰好为零，有正安=〃吆

其中心=8〃

切割产生的电动势为

E

电流为/一百

R

联立解得

【变式1].（24-25高二下•福建厦门•期末）晓萌同学设计了一个货物缓降模型，其简化结构如图所示，边长为L的

单匝正方形线框而〃总电阻为R,质量为加，通过绝缘细绳跨过滑死与质量为2〃?的货物相连，线框上方有两个矩

形磁场区域I、II,磁感应强度大小均为从方向分别为垂直纸面向里、向外，区域I、H宽度均为人货物由静止释

放，当，力边进入磁场I时，线框恰能匀速运动，不计摩擦，重力加速度大小为g,求：

4

(1)^边刚进入磁场I时线框的速度大小;

⑵时边刚进入磁场n时线框的电流大小和加速度大小;

(3)若〃边刚离开磁场n时的速度大小匕，求线框穿越磁场区域I、n的过程中产生的焦耳热。

【答案】⑴鬻

⑵整g

3"『g2R23〃楂

(3)3mgL+

284r2

P

【详解】(1)而边刚进入磁场I时，线框匀速运动E=7=-

对线框与重物组成的整体2mg=mg+

得哼鬻

E'

(2)而边刚进入磁场II时，线框此时速度大小仍为叭则£=28Lv,r=—

R

得八鬻

对线框2B/Z+mg-T'=ma

对重物T'-2mg=Ima

得〃二g

(3)线框穿越两个磁场的过程中，重物下降3L,线框上升3£,由能量守恒定律

2mg•3L—rng•3L+；；3niv2+0

3Mg2R23〃炉

得。=3mgL+

2BAC2

【变式2].(24-25高二下•江西上饶・期末)如图所示，倾角0=37。的粗糙斜面固定在水平面上，斜面上存在一宽度

为d=L9m、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B=1.5T。质量为〃?=0.2kg、电阻为&=0.9。、边长

为£=Q4m的正方形线框通过轻质细线绕过光滑定滑轮与质量〃?=0.2kg的重物相连，线框与斜面间的动摩擦因数

〃=0.25。初始时，线框上边与磁场下边界有•定距离，重物离地面足够高，细线处于绷直状态，将系统由静止释

5

放，线框恰好能匀速进入磁场。已知sin370=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g=lOm/s?。

(2)求初始时刻线框上边与磁场下边界的距离s；

(3)若线框出磁场的时间为0.2s,求线也通过整个磁场过程中产生的焦耳热

【答案】(1)尸=0.4N

(2)5=0.5m

(3)Q=0.472J

【详解】(1)线框能匀速进入磁场，由受力分析可知丁=叫sinO+F+/,/=〃〃?gcos。

线框匀速则重物也做匀速直线运动，对重物分析可得「=山8

联立可得E=0.4N

(2)线框进入磁场前对线框和重物组成的系统，由动能定理可得(阳g-mgsin"〃〃?gcosO)s=；(〃?+〃?)丫；

解得匕=1m/s

E

线框刚进入磁场时£=8£匕，/=-,F=BIL

R

联立可得s=o.5m

(3)线框匀速进入磁场的过程中运动时间为J=0・4s

匕

则进入遴场的过程线框中流过的电荷量夕=儿

线框全部进入磁场到上边界刚要离开磁场的过程中，对线框和重物组成的系统，由能量守恒可得

(mg-z«gsin0-4mgeos夕),(d—£)=g)—g(〃?+〃?)W?

v2=2m/s

线框出磁场的过程中，对线框和重物组成的系统，由动最定理可得

(nig-阳gsin0-“wgcos夕)/一BiLt=(+m)匕一(m+ni)v2

解得匕=1.8m/s

6

对■线框和重物组成的系统从进磁场到全部出磁场的过程中由能量守恒可得

mg•(6/+L)-mgsin0'(d+L)=；(〃?+—；(〃?+m)v~+jumgcosd•(d+L)+Q

解得。=0472J

题型二：单轨模型(有无外力)

【例2工(25-26高二下•全国•随堂练习)如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁

场中，遨感应强度大小为区在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为凡金属棒的电阻为厂，导轨宽度为乙若棒

分别以初速度出、2V〃向右运动，

(I)请分析棒的运动情况？

(2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过火的电荷量/、力之比为多少？

(3)两种情况，从棒开始运动至棒停止时的位移修、力之比为多少？

【答案】(1)见解析

(2)1:2

(3)1：2

【详解】(1)由于导体棒在磁场中切割磁感线运动，产生感应电流，而通电导体在磁场中受到安培力的作用，根据

左手定则可知，安培力的方向与导体棒的运动方向相反，导体棒做减速运动，感应电流逐渐减小，安培力随之减小,

根据牛顿第二定律可知，导体棒的加速度逐渐减小，综上所述，导体棒做加速度逐渐减小的减速运动。

(2)对导体棒受力分析，当导体棒的速度为％时，根据动量定理可得-8无・4=0-〃八，。

又因为q=T”

联立解得名二鬻

同理当导体棒的速度为2%时，通过定值电阻的电荷量%=警

BL

两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过K的电荷量％:%=1:2

(3)对导体棒受力分析，当导体棒的速度为％时，根据动量定理可得-8无・&=0-6%

根据法拉第电磁感应定律可得左=孚=竽1

ArA/

结合闭合电路的欧姆定律可得7=3=廿三

联立解得耳=竺怨＞

同理当导体棒的速度为2%时，从棒开始运动至棒停止时的位移9=2〃？%，

DL

则两次的位移之比为/：/=1:2

【变式1].（25・26高三上•安徽•开学考试）如图甲所示，两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d,连

接电阻用，边长为〃的正方形区域存在与水平面成30。斜向右上方的匀强磁场，磁感应强度8随时间/变化关系如图

乙所示。，=0时，在距磁场左边界d处，一长为d的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度%向右运动，直至通过

磁场，棒运动至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为火，鸟的阻俏为2R,其他电阻不计，棒与导轨

始终垂百且接触良好。求:

d2d

（2）---------时间内，棒受到的安培力F的大小和方向：

%%

（3）0〜：■时间内，A上产生的热量.

【答案】（1）电流方向为M到N,E=中.

（2）%=28泡飞,,安培力方向斜向左上方与水平方向夹角为60。

3R

⑶。=

18/?

【详解】（I）由图乙可知在0〜5时间段内，磁场均匀增加，根据楞次定律可知«中的电流方向为M到N,根据

法拉第电磁感应定律，这段时间内的感应电动势£=—=她一出30：=与组

MA/2

d2d

（2）在~;-----时间内，根据左手定则可知棒受到的安培力方向斜向左上方与水平方向夹角为60。

%%

回路中的总电阻为R送=2R+R=3R

根据法拉第电磁感应定律，这段时间内的感应电动势E'=28°d%sin30。，F安=2BJd

8

8：_2氏"]

解得心=

&3R

(I/P\2

(3)0〜一时间内4上产生的热量。=—-2Rt

%%

d2d……上产生的热量值=(2),2用

------时间内K

%%

所求热量。=2+3

5琛八。

解得。=

18R

【变式2].(24-25高二下•云南昆明,阶段练习)如图所示，间距为乙=1m的水平导轨右端接有〃=1Q的定值电阻。

虚线0。'与导轨垂直，其左侧有方向竖直向上、大小为8=1T的匀强磁场。一质量，〃=0.9kg的金属棒垂直于导轨

放置在。。'右侧某处，一重物"=01kg通过绕过轻质定滑轮的绝缘轻绳与金属棒连接。，=0时，将金属棒由静止

释放，在4=2s时，金属棒恰好经过。。，边界进入磁场。已知导轨足够长，不计导轨与金属棒电阻，金属棒始终垂

直导轨且与导轨接触良好，重物始终未落地，重力加速度g取10m/sz,不计一切摩擦，求：

(1)金属棒刚进入磁场时，电阻的热功率产：

(2)金属棒在磁场中运动的最小速度大小hin；

(3)若金属棒进入磁场后Z=1s时金属棒速度为v=1.2m/s,则此时金属棒与。0'的距离X。

【答案】(1)4W

(2)1rris

(3)1.8m

【详解】(1)根据牛顿第二定律有=

代入数据得a=lm/s2

运动学公式%=犯

解得％=2m/s

根据法拉第电磁感应定律有E=BL%

9

根据闭合电路欧姆定律有/=?F

根据尸=/2R

联立解得尸=4W

(2)由受力平衡条件可知，最小速度时有,%=8/Z

日「二'"min

R

代入数据解得％n=lm/s

(3)对系统应用动用定理,书Mg母-BIW=(M+m"v-％)

_,.BLx

又q=IXt=-^-

解得x=1.8m

题型三：单轨模型(有电源)

【例3】.(25-26高三上•湖南・月考)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为£,右端

由导线连接电源，电源电动势为笈，内阻为入导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为灰质

量为机的金属棒垂直横跨在导轨上，金属棒在水平向左的拉力作用下，由静止开始以大小为〃的加速度向左

4

做匀加速运动。已知金属棒接入电路H勺电阻为4r，不计导轨电阻，重力加速度为g。

(I)求金属棒开始运动瞬间受到的安培力大小外;

(2)求t时刻水平拉力做功的功率尸:

(3)在/时刻揪去拉力，求从撤去拉力到金属棒向左运动减速到0的过程中金属棒中产生的焦耳热。°。

【答案】(1)外=RI"F

48am+)£2火2”+5〃次2片

Q)P=

80r

⑶。。=鬻+哼

F

【详解.】(1)应用闭合电路欧姆定律可知，电流/=丁

金属棒受到的安培力耳=8〃

解得用=等

10

（2）经过时间/金属棒速度y=m

金属棒切割磁感线产生感应电动势EQ=BLv

应用闭合电路欧姆定律可知，电流八二”"

5厂

金属棒受到的安培力乃2=引/

对金属棒，应用牛顿第二定律有

乂拉力做功瞬时功率尸=石丫

4BELgt+B2I：g2t2+5mg2rt

解得尸=

80r

（3）对金属棒，由动量定理=

其中方=令

对金属蜂和电源，应用功能关系有/+等=0

4

冉根据串联电路特点可知，金属棒中产生的热量&

解得。。=鬻+喑

【变式1].（25-26高三上•河北秦皇岛・月考）如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间距为人

在导轨上垂直导轨放置一质量为〃?、长度略大于2、电阻不计的导体棒次人导轨左侧通过导线连夜电动势为E、

内阻为，•的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为"的匀强磁场中。闭合开关S,导体棒开始运动，最

（I）求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量，/;

（2）求从开始到恰匀速运动过程回路产生.的焦耳热。：

*7“7FY

（3）若导体棒恰达到匀速状态时的位移x=土（，求从开始到恰匀速运动所用的时间/。

BL

【答案】（1）说T

rnE2

⑵28*

3mr

⑶

【详解】（1）第一步：提取关键信息

II

导体棒匀速时，通过导体棒的电流为0,导体棒切割磁场产生的感应电动势等「电源的电动势。

第二步：应用物理规律

设导体棒匀速运动时的速度为％,由法拉第电磁感应定律有E=BL%

设某一时刻通过导体棒的电流为/，可认为之后极短时间加内通过导体棒的电流不变，则加时间内导体棒所受安培

力不=8〃

由动量定理有入&=

△/时间内通过导体棒的电荷量%=/&

累加有8%

rnE

可得夕=

（2）导体棒增加的动能、系统产生的焦耳热之和等于电源释放的能量，结合（1）中的假设和功率知识可得，△/时

间内电源释放的能量E怩=EIM

累加可得，从开始到恰匀速运动过程电源释放的总能最E总二“

则该过程回路产生的总焦耳热0=

（3）设某一时刻导体棒的速度为丫'，并在之后4时间内近似不变，回路中的电动势£'=£-

E-RLv

回路中的电流/'=-

r

之后加时间内通过导体棒的电荷量/=/加=一'BE

r

又必/=△.¥

…Et—BLx

累加可得9=-------

r

结合题给信息可得,=募

【变式2].（25-26高二上•浙江杭州•期中）近日，一段歼35战机在福建舰航母弹射起S的视频在网络爆火，舰载

机与航母弹射技术的“双向赋能”，标志着我国海军进入大航母时代。受此启发，某同学设计了一个如下图所示的电

磁弹射的模型。图中，电源电动势为£=6V,内阻为尸=0.5Q,A7N与为水平放置的足够长的金属导轨，间距

为A=0.5m。战斗机简化为导体棒/，垂直放置在金属导轨上，与阻值为1C的定值电阻R并联在电源两端。整个

导轨平面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度8=1T。闭合开关S,导体棒时在安培力的作用下向右加速运

动，达到电磁弹射的效果。若运动过程中，导体棒他始终与导轨垂直，导体棒接入电路部分的阻值为1C,不计其

他电阻。

12

⑴求开关S闭合瞬间，流过导体棒的电流人；

（2）若导体棒"运动过程中受到的阻力恒定，当导体棒运动稳定时，流过电源的电流为5A,求:

I.导体棒"运动过程中受到的阻力不；

I1•体棒运动的最大速度％；

HL运动过程中，导体棒而可等效为一直流“电动机”，求稳定时“电动机”的效率。

【答案】（1）3A

4

（2）I.0.75N；II.4m/s；IH.y

【详解】（1）导体棒接入电路部分的码值与定值电阻相等，则回路总电阻仆.=〃+9=IQ

Eq

开关S闭合瞬间，回路的干路电流/r总=r=6A

Re

流过导体棒的电流人=；/总=3A

（2）1.根据闭合回路欧姆定律有U=E-"=3.5V

此时通过定值电阻的电流。=E=3.5A

R

则此时通过导体棒的电流〃=/-。=1.5A

稳定时，导体棒所受阻力大小等于安培力，则有々=

解得K=0.75N

II.稳定时，导体棒速度达到最大值，结合上述有=+

解得％=4m/s

III.运动过程中，导体棒必可等效为一直流“电动机”，稳定时“电动机”效率〃=赛

4

结合上述解得

13

题型四：单轨模型(含电容器)

【例4】.(24-25高二卜•・福建宁德・期末)如图所示，水平光滑金属导轨处于竖直向卜.的匀强磁场中，磁感应强度大

小为夙左侧导轨间距为L右侧导轨间距为与，两侧导轨间接有。=含的电容器，a、b杆静止于左侧导轨上,

2B-Lr

两杆质量均为〃?，电阻均为上初始时电容器不带电，现给。杆一水平向右的初速度w，一段时间后6杆以0的速

度无障碍地进入右侧导轨。两侧导轨足够长，整个运动过程中。、b两杆始终与导轨垂直且接触良好，。杆未进入右

侧导轨且不与人杆发生碰撞。已知重力加速度为g,求:

XXXXXXXXXXX

XXXxXXXXXXX

~ARb

XXXXXXXXXXX

JL

TC

XXXXXXXXXXX

(1)/＞杆刚开始运动时的加速度大小;

(2)进入右侧导轨前，6杆中产生的热量;

(3)最终稳定时，电容器所带的电量。

【答案】(1)些k

2mR

3,

(2)石心片

5〃?%

(3)——-

18BL

【详解】(1)匕杆刚开始运动时，。杆产生的感应电动势为E=

F

由闭合电路欧姆定律/=总

2A

b杆刚开始运动时受到向右的安培力大小为F=BIL

由牛顿第二定律尸="以

解得b杆刚开始运动时的加速度大小为。=巨4

2mR

(2)从开始到方杆刚进入右侧轨道的过程中，两杆组成的系统动量守恒，由〃?％=〃?匕

14

解得%=1%

由能量守恒定律=0总+~wvo

由焦耳热分配定律可得进入右侧导轨前，b杆中产生的热量2=3。总

R+R

解得2=

(3)最终稳定时，两杆的速度分别为叫、W，则q匕+Uc

对a杆由动量定理-87/7=/HVj-mva

对b杆由动量定理4弓/=叫-〃令

其中q=7/,q=CUc

联立解得最终稳定时，电容器所带的电量为夕=鬻

I<SDL

【变式1].(24-25高二下•浙江宁波・期末)如图所示，固定于绝缘水平面上的光滑导轨是由倾斜金属导轨和水平足

够长的金属导轨共同组成，倾斜导轨底部G、H用绝缘材料(绝缘材料大小忽略不计)与水平导轨相接，导轨左端

E/间接有一电容器C,导轨右端接有一降压限流器(其作用是：当电路电流大于等于0.2A时能保持电路中电流恒

为0.2A,电流小于0.2A时相当于短路)和一定值电阻心倾斜导轨间有方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场8“

水平导轨间有方向竖直向上的匀强磁场B?，磁感应强度大小4尸8尸。5,现将倾斜导轨上的导体棒MN由静止释放,

导体棒立即做匀加速运动，到达底端G〃时的速度大小为y武8m/s,当MN经过G〃后速度立即减为原来的一半。

整个过程中，导体棒MN与导轨垂直且接触良好。已知电容器的电容C=2F,导体棒MV的质量〃?=0.01kg,导轨宽

度均为仁0.1m,倾斜轨道的倾角437。，定值电阻R=0.5C,其余电阻均不计，不计任何摩擦阻力。

⑴MN在倾斜导轨上运动时，电容器的端电势高(选填或户’)；

(2)MN在倾斜轨道上运动时的加速度a为多大？

(3)〃N越过G”后，还能运动的距离工和通过降压限流器上的电荷量q各为多少？

(4)在MN的整个运动过程中，降压限流器上产生的热量Q为多少？

【答案】⑴尸

15

(2)4in/s2

(3)10m.0.8C

(4)0.02J

【详解】(1)导体棒由静止释放后沿斜面向下运动，由右手定则可知，N端是等效电源的正极，故尸端电势高；

(2)在斜面上运动的过程中，设回路中的电流为八对导体棒受力分析，受到重力，导轨支持力和安培力，如图所

Zjso

由牛顿第二定律可得mgsin8M=ma

又\"=侬竺"C8加

2AZ

则导体棒做匀加速直线运动加速度为1=:漫净=4m/s

(3)导体棒越过G”后速度变为匕=g%=4m/s

此时，若假设降压限流器件的电阻为零，则回路中的电流乙=2善=0.4A>0.2A

A

可见此时回路中的电流应是0.2A。

当降压限流器件的电阻恰好为0,则回路中的电流即将小于0.2A,设此时导体棒的速度为吃，满足空善=0.2A

/\

0.27?▲,

得％=----=2m/s

付2

在导体棒速度从£/减到丫2的过程中，通过导体棒的电流恒为/2=02A,导体棒受到的安培力不变，则导体棒做匀

减速直线运动，设加速度为。/。

由牛顿第二定律可知6=空必=10^^

m

V—V.

导体棒做匀减速直线运动的时间乙=2=25

q

这段时诃内导体棒的位移大小X=以善乙=6m

通过降压限流器上的电荷量为%=0・4C

此后，降压限流器件的电阻为零，导体棒接下来做加速度减小的减速直线运动，直到静止，设这段运动时间为5

位移为足。由动量定理-七/2=4〃

16

可知一有弓々=0-m匕

得/=4m

则导体棒越过GH后的运动距离为工=玉+x2=l0m

设该过程中通过降压限流器上的电荷量/，由动量定理-282服4=-层，@=。

得%=0.4C

则通过驿压限流器上总的电荷展夕=夕：十%=0.8C

（4）降压限流器件仅在力时间内产生热量，由能量守恒可知。

解得g=0.02J

【变式2].（24-25高二下•河北承德・期末）如图所示，光滑平行导轨相距2m,导轨左侧部分位于水平面上，处于

竖直向下的匀强磁场片中，右侧部分位于倾角为53。的斜面上，处于垂直斜面向下的匀强磁场与中，两磁场磁感应

强度大小均为1T，定值电阻农-10。，电容器电容C=0.2F。质量为0.2kg、氏为2m的金属棒与导轨垂直放置，

将开关S与电阻相连，某时刻给金属棒施加一个与金属棒垂直、大小为1.2N的拉力£尸方向始终平行于导轨平面

（水平部分水平向右，倾斜部分沿斜面向上），经过0.4s金属棒运动0.4m到达斜面的最下端，此时把开关S与电阻

R断开（但不与电容器连接），金属棒在尸作用下继续沿斜面向上运动，不计转弯处机械能损失，金属棒和导轨自

身电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，重力加速度g取10m/s2,sin530=0.8。

（I）求金属棒到达斜面底端时的速度大小：

（2）求电阻/?上产生的热量：

（3）当金属棒沿斜面运动最远时，开关S与电容器接通，此时开始计时（拉力厂仍在），求金属棒经过多长时间回到

斜面底端。

【答案】（1）%=L6m/s

⑵。=0.224J

八、,4石

⑶/=-^—s

17

【详解】（1）通过导体棒的电荷量为，7=/。=—

6RR

磁通量变化量为△①=BNS=BLx

联立解得q=华

A

则安培力的冲量为/安=BILt.=BLq=生生

R

金属棒在水平面上运动时，设末速度为%,根据动量定理尸。-/安=，〃%

序/.

解得％=b上t工"m/s

m

（2）金属棒在水平面上运动时，根据能量守恒&二。+；〃，*

解得电皿R上产生的热量。=Fx-^rn^=0.224J

（3）电阻断开后，金属棒沿斜面上升的最大距离为以根据动能定理〃?gssin53。-4=卜近

_1_2

解得.”=0.64m

wgsin53-F

金属棒与电容接通后，电容器充电电流，=半=。半

加Ar

电容器两端电压U=4）

△v

金属棒加速度

Ar

金属棒所受安培力乃=8/

根据牛顿第二定律〃?gsin53-&-F=ma

联立可得好笑薪£=°"/s

金属棒回到斜面底端需要的时间为/=

题型五：单轨模型（竖直方向）

【例5】.（24-25高一下•陕西榆林•期末）如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨"N、”水平固定,其间距

为L=20m,阻值/?=0.50。的电阻接在导轨N、。端，质量〃?=LOkg的导体棒而静止在导轨上，川棒接入电路的

电阻为，・=1.5Q,初始时仍棒离N。距离为xO=2.0m“从0时刻开始，必棒被锁定保持静止，给空间加入方向竖

直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；4=2.0s时，给油棒一个向左的初速度％=4.0m/s,ah

棒向左运动，最终停在导轨上。而棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求：

18

(2)当曲棒的速度V=3.0m/s时，曲两点的电势差；

(3)整个过程流过棒的电荷量夕。

【答案】(l)4.0J

⑵-1.5V

⑶4.0C

【详解】(1)由题意和图知线圈岫。力/的磁场面枳不变，磁感应强度均匀变大，根据法拉第电磁感应定律，有

E二&BLXQ

~Nt

AD

由图乙知磁感应强度的变化率为丁=0.50T/s

Ar

代入数据解得E=2.0V

F

回路中的感应电流/=—

R+r

解得/=L0A

根据焦耳定律。=/2(H+〃M

解得0=4.OJ

(2)由图乙知当金属棒的速度丫=3.0m/s时，磁感应强度4=LOT,金属棒切割磁感线产生的感应电动势七=4八

代入数据解得《=6.0V

根据右手定则，金属棒切割磁感线时方点为高电势‘所以"两点的电势差念七

代入数据解得UM=-1.5V

(3)当0〜2.0s时，流过ah棒的电荷量q=%

解得q=2.0C

当2.0s到金属棒停下时，假设时间为叫平均电流为7,根据动量定理-历，2=0-加％

其中/力=%

解得%=2.0C

整个过程流过血棒的电荷量9=夕1+%

解得夕=4.0C

【变式1].(24-25高二下・北京平谷・期末)如图I所示是依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，具有操作

简单、无需电能、逃生高度不受限制，下降速度可调、可控等优点。该装置原埋可等效为：间距为£的两根竖直导

轨上部连通，人和磁铁固定在一起沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度为8的匀强磁场。人和磁铁所经位置处,

可等效为有一固定导体棒cd与导轨柱连，整个装置总电阻始终为A，如图2所示。在某次逃生试验中，质量为M

的测试者从静止开始下滑，当滑行的距离为x时，该装置开始匀速下滑。已知与人一起下滑部分装置的质量加，重

力加速度为g，忽略本次试验过程中的摩擦阻力。

XXX

X那X

XX才

C

XXXX

XXXX

图2

(1)判断导体棒cd中电流的方向:

(2)求该装置匀速卜滑时的速度V；

(3)求该装置向下滑行x距离的过程中，通过导体棒某横截面的电荷量外

【答案】(1)从d至Ue

(2"=整

82A2

小、BLX

(3)夕=下

【详解】(1)导体棒相对于磁场向上运动，根据右手定则，可知导体棒〃中电流的方向从4到c；

(2)该装置匀速下滑时，有七二〃噌

E

其中"女="〃，/=一,E=BLv

R

解得"鬻

(3)由/=?

得9=/A/

其中丁小鼠等，△①=%

解得9=华

R

20

【变式2].（24-25高二下•浙江宁波・期末）如图1所示，间距为d的平行金属导轨由八足够长，左侧连接一个

电动势为E、内阻可忽略不计的电源。定值电阻阻值、导体棒阻值均为R,导体棒质量为〃?，导体棒运动时始终处

在宽度为d、磁感应强度为8的匀强磁场中，且导体棒运动时金属导轨对其阻力大小恒为起初导体棒静止，求：

（1”=0时刻闭合开关S,导体棒由静止开始运动,

①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小%;

②导体棒达到稳定运动状态时，是匀速直线运动还是匀变速直线运动？若为匀速直线运动，求此时的速度大小七

若为匀变速直线运动，求此时的加速度大小

（2）对图1电路进行修改，将一个电容为。的电容器并联在导体棒两端（电容。较大，且起初电容器不带电），构成

如图2所示电路，其他条件均不变。"0时刻闭合开关S,经过时间。导体棒已达到匀速运动状态。

①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小S；

②0f时间内通过电源的电荷量夕。

【答案】（1）①鬻-』；②匀速直线运动，卷-券

2mRmBdBd

⑵®瓜CmE2mRf"

Q）①0；②EC--^~+的-前+面

F

【详解】（1）①开关闭合瞬间，由闭合电路欧姆定律可得电路中的电流为

对导体蜂由牛顿第二定律8/°d-/=aQ。

EdB

联立解得开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小％=

2mR

②匀速直线运动，当导体棒达到稳定运动状态时，对导体棒受力分圻，由平衡条件％=/=△〃

E-Bdv

由闭合电路欧姆定律/二

2R

联立解得厂方券

（2）①开关闭合瞬间，电容器不带电，故Uc=0

导体棒与电容器并联，故导体棒两端电压也为（），导体棒无电流，故不受到安培力，故6=0

②导体棒达到匀速运动状态时，速度大小与（1）问相同，故妙二£-含

对导体棒由动量定埋87裾一儿=加吁0

21

其中夕]=〃[

解得名二方/mE2mRf।ft.

B~d2B3daBd

稳定时，对电容器

Bd

JRC

其中2=C〃=CE—

~Bd

JRCmEImRf立

故q=2<+?=EC-石广B2d2.B"+而

题型六：单轨模型（倾斜方向）

【例6】.（25-26高二上•江苏南通•月考）如图所示，倾角为。=30。，间距为£=lm的两根足够长的平行金属导轨

MN、P。固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值R=3。的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度8=2T

的匀强磁场。有一质量〃?=2kg,电阻〃=1Q的金属棒从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不

计其他一切阻力的影响。已知金属棒油与导轨间动摩擦因数〃=立，求：（取g=10m/sD

6

（1）当金属棒ab沿导轨向下运动的速度丫=lrn/s时，ah的加速度大小:

（2）金属棒ah沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小；

（3）若金属棒仍下滑距离x=6m时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。

【答案】⑴2m/s2

(2)5in/s

(3)3C

【详解】（1）对金属棒进行受力分析，沿斜面方向安培力是=8〃

BLv

又召=BLv，

R+r

联立可得q=翳

B2UV

根据牛顿第二定律有加gsin0-/"〃gcos。-

R+r

联立解得a=2m/s2

（2）当金属棒的加速度为零时，速度达到最大，则有〃?gsin9=〃〃?gcos0+

R+r

解得喙=5m/s

ZZ.

(3)流经电阻的电量。=小，

—P*—A①

又/=----,E=n,△①=BLx

R+rAr

3AOBLx

联立得q=〃^—=--

R+rR+r

代入数据可解得g=3C

【变式11(25-26高二上•浙江・期中)如图所示，倾角为夕=30。，旬距为L=Im的两根足够长的平行金属导轨

MN、P。固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值R=3C的定值电阻。整个斜而有垂直斜面向上，磁感应强度3=2T

的匀强磁场。有一质量〃z=2kg,电阻r=1。的金属棒而，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余甩阻不计。不

计其他一切阻力的影响。已知金属棒浦与导轨间动摩擦因数〃=正，求：(取g=10m/s2)

NX9-

(1)当金属棒ab沿导轨向卜.运动的速度v=Im/s时，曲的加速度大小：

(2)金属棒时沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率；

(3)若从金属棒必开始下滑至达到最大速度过程中，流经电阻A上的电量为。/=3C,求此过程中电阻R上产生的焦

耳热。

【答案】⑴2m/s2

(2)18.75W

(3)3.75J