角平分线课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5角平分线

第1课时角平分线的性质与判定1.(新教材P40引例)如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1＝∠2.又∵OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD＝PE.角平分线上的点到角两边的距离相等．几何语言：如图，∵________________，

__________，

__________，∴__________．AP平分∠BACPB⊥ABPC⊥ACPB＝PC证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC中点，∴BD＝CD.∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE＝CF.2.(新教材P44T1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.3.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E.求证：AC＝BC.证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA，∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90°.又∵∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD(ASA).∴AC＝BC.4.(新教材P40尝试·思考)如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：OP平分AOB.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP＝∠OEP＝90°.∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1＝∠2.∴OP平分∠AOB.角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上．几何语言：如图，∵_____________，

_____________，

_____________，∴AP平分∠BAC.PB＝PCPB⊥ABPC⊥AC5.(新教材P41例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴AD平分∠BAC.∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴DE＝

AD＝×10＝5.6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵BE＝CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.7.(2025·韶关期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CD＝3，则DE的长为

()

A.1.5B．3C．4D．6B8.(2025·深圳期末)如图，点F在射线OA上，∠EFA＝30°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，EC＝4.如果EF∥OC，那么△OFE的面积是

()A.4B．8C．16D．18C9.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠DFB＝90°.又∵∠CDE＝∠BDF，CD＝BD，∴△DEC≌△DFB(AAS).∴DE＝DF.又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.10.(新教材P44T2)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD.证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD.在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE.∴BD＝2CD.解：当AD与EF满足AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线．理由如下：如图，设AD与EF相交于点G.∵AD垂直平分EF，∴∠EGD＝∠FGD＝90°，EG＝FG.11.(新教材P45T6)如图，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AD，EF.当AD与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？又∵GD＝GD，∴△EGD≌△FGD(SAS).∴ED＝FD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．∴AD是△ABC的角平分线．证明：(1)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°.又∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).∴OC＝OD.12.(新教材P44T4)如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：(1)OC＝OD；证明：(2)由(1)得PC＝PD，OC＝OD，∴点O，P在CD的垂直平分线上．∴OP是CD的垂直平分线．(2)OP是CD的垂直平分线．第2课时三角形中角平分线的性质1.填空：几何语言：如图，∵AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，∴___________．PB＝PC2.填空：几何语言：如图，∵PB＝PC，PB⊥AB，PC⊥AC，∴_______________________．点P在∠BAC的平分线上3.(新教材P43T1改编)如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.(1)求证：PD＝PE＝PF.(1)证明：∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.(2)解：点P在∠BAC的平分线上．理由如下：由(1)得PD＝PF.又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上．(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．证明：如图，过P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.∵BP平分∠CBN，PD⊥AB，PF⊥BC，∴PD＝PF.同理PE＝PF.∴PD＝PE.又∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴点P在∠CAB的平分线上，即AP平分∠BAC.4.如图，CP，BP分别是△ABC的外角∠BCM，∠CBN的平分线．求证：AP平分∠BAC.5.(新教材P45T8)如图，在∠AOB内部作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等．解：如图，点P即为所求．解：(1)如图，点P即为所求．(2)如图，过点P作PD⊥AB于点D.∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，∴PD＝PC.在Rt△ADP和Rt△ACP中，6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在边BC上找一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等．(1)找出点P的位置(用尺规作图)；(2)求BP的长．∴Rt△ADP≌Rt△ACP(HL).∴AD＝AC＝3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝5，∴BD＝5－3＝2.设PC＝x，则PD＝x，BP＝4－x.在Rt△BDP中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22，解得x＝1.5，∴BP＝4－1.5＝2.5.7.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为

()A.5B．6C．7D．8B8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F

为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B＝∠CAD，则BD的长为____．4证明：如图，过点F分别作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AC于点G.∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN.同理FG＝FN.∴FM＝FG.又∵FM⊥AB，FG⊥AC，∴点F在∠DAE的平分线上．9.(新教材P44T3)已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．10.(2025·广州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于D；(不写作法，保留作图痕迹)；解：(1)如图，AD即为所求．解：(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴CD＝ED.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(2)求CD的长．AB＝

＝10.∵S△ACB＝S△ACD＋S△ABD，∴AC·BC＝

CD·AC＋

AB·ED.∴×6×8＝

CD·6＋×10CD，解得CD＝3.11.(新教材P43T1改编)【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.【思考说理】(1)求证：FE＝FD.(1)证明：如图1，连接BF.∵F是△ABC的角平分线的交点，∴BF是角平分线．∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠ECA＝∠ACB＝45°，∠BAC＝30°.在△DNF和△EMF中，