西藏自治区拉萨市2025届高三数学下学期第二次联考二模试题【含答案】

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的补集、并集运算即可求解.【详解】由条件：．故选：A．2.复数的实部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算得出复数结合实部定义即可求解.【详解】由题意可得，故的实部为．故选：A．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】必要性可利用不等式的传递性证明，充分性举反例即可.【详解】若，因为，所以成立.即必要性成立.若，取，，则不成立.即充分性不成立.故选:.4.若首项为1的数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据递推公式计算可得.【详解】依题意，.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，将的图象下移1个单位长度，所得函数图象的对称中心为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用图象中的性质来求解析式，再利用相位整体思想结合余弦函数的对称中心来求解即可.【详解】由图可知得，由图可知，即，由，即，则，代入最高点，则，得，又，故，所以，将的图象下移1个单位长度，得到函数的图象，令，得，所以对称中心.故选：A.6.函数的单调递增区间为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.【详解】由且，得，即或，所以函数的定义域为，因为在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数的单调递增区间为.故选：B.7.如图，四边形中，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解.【详解】设，，则，由余弦定理可得，所以，解得．故选：B．8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得点为的中点，即可得的坐标，即可得，即可得解出即可.【详解】由两圆的圆心分别为，.且圆的半径为，，可得点在以为直径的圆内，且两圆内切，所以点为的中点，所以，，所以圆的半径为3，即，所以，解得，，所以的离心率为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：，，则关于这组数据的结论正确的是（）A.极差为24 B.平均数为28C.众数为25 D.中位数为25【答案】ABC【解析】【分析】将数据从小到大排列，分别求出数据的极差，众数，平均数和中位数.【详解】此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为，则极差为，众数为25，平均数为，由题意，所以这组数据的中位数为，故ABC正确，D错误.故选：ABC.10.已知，，均为单位向量，且，则（）A. B.C.当实数变化时，的最小值是 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假.【详解】由.得.解得（舍去）或.因为、均为单位向量.则，故正确.，故错误.，当且仅当时取等号，故正确.由.则，所以，整理得，即.故正确.故选：ACD.11.已知定义在上的函数，满足，，且．则（）A.的图象关于点对称B.是周期函数C.在上单调递增D【答案】ABD【解析】【分析】A变式得，即可得出；B利用对称中心和对称轴即可得出周期；C利用的周期性和对称性计算，再计算得；D先计算，再利用周期性即可.【详解】在①中，用代替，得，因，则②，①②两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确；由A选项可知，又为偶函数，则，所以，可得，则，所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确；对于C，易知，则，又，所以，则，故C错误；对于D，因，则，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边过点，则_____．【答案】【解析】【分析】由任意角正弦的定义及两角差的正弦公式求解即可【详解】因为角的终边过点，所以，，所以．故答案为：13.若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则_____．【答案】或1【解析】【分析】由赋值法求得系数和，构造等式求解即可.【详解】由题知二项式系数之和为，令，系数之和为．取，得，所以，解得或1．故答案为：或114.已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，长为4的正三角形，则三棱锥的体积为________.【答案】##【解析】【分析】应用三棱锥的外接球计算得出，再应用面积公式及三棱锥的体积计算求解.【详解】如图，因为点在上，三棱锥的所有顶点都在球的表面上.所以为球的直径，，则由球的体积为，得.因为.过点作于.连接，又与全等.则，，.所以的面积.因为，，，且平面，则平面，所以三棱锥的体积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）利用导数分析单调性即可；（2）求导后构造函数，将问题转化为在区间上有两个不等的变号零点，结合二次函数的性质分析即可.【小问1详解】依题意，，，，故当时，，当时，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】依题意，，令，得，令，故问题转化为在区间上有两个不等的变号零点，故解得，综上所述，实数的取值范围为．16.如图，正三棱柱的所有棱长均相等，其中为线段的中点，点在线段上，且四点共面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行性质得到，再结合线面平行判断证明平面.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和平面法向量，利用直线方向向量与平面法向量的夹角公式计算即可..【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，平面平面，故.而平面平面，故平面.【小问2详解】取的中点，连接，易知两两相互垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，由于，所以，由为中点，故为中点，故，.设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设直线与平面所成的角为，则.17.记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据：年份代码x12345出生人数y12001062956902954（1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值）（2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望．参考数据与公式：回归方程中，相关系数．【答案】（1），有价值（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./（2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2，根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望.【小问1详解】由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，因为经验回归方程为，所以，所以，所以．因为，所以该经验回归方程有价值．【小问2详解】X的取值依次为0，1，2，，所以X的分布列为X012P所以．18.已知数列满足．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，所以，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，两式相减得，所以．19.已知椭圆，直线经过的上顶点及右焦点．（1）求的方程；（2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点．（ⅰ）若，求直线的方程；（ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（ⅰ）或；（ⅱ）存在，定点为【解析】【分析】（1）由直线方程易得，即可求解；（2）（ⅰ）设直线方程，设，，得到