2025北京三十五中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京三十五中初三12月月考数学考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．2.考试时间120分钟．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A.圆 B.平行四边形 C.直角三角形 D.等边三角形2.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.3.以下事件为随机事件的是（）A.通常情况下加热到时，水沸腾B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C.平面内任意画一个三角形，其内角和是D.半径为4的圆的周长是4.由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5.某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（）A. B.C. D.6.如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（）A.1 B.2 C. D.47.心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）A.8min B.13min C.20min D.25min8.在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中：①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值；②若时，随的增大而减小，则必有；③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或；④若方程有一根为，且，则必有．所有正确结论的序号是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.①②④二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________．10.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．11.若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为__12.如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为______．13.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．14.圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．15.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径画圆，将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是____．16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.三、解答题（共68分，第17、18、20-23、25题，每题5分，第24、26题，每题6分，第19、27、28题，每题7分）17.解方程：．18.已知：如图，A为上的一点．求作：过点A且与相切的一条直线．作法：①连接OA；②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA．由作法可知．∴点A在以OP为直径的圆上．∴（）（填推理的依据）．∵OA是的半径，∴直线PA与相切（）（填推理的依据）．19.已知二次函数，它的图象过点，并且与x轴负半轴交于点B．（1）求二次函数的解析式和点B坐标；（2）当时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围；（3）若直线经过A，B两点，直接写出关于x的不等式的解集．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．21.如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的度数．22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证:∠BCO＝∠D；（2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．23.甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．24.如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，求的长．25.如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．（1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________；②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围．26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．（1）若对于，，有，直接写出t的值为________；（2）若对于，，都有，求t的取值范围．27.在中，，．点是边=上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．（1）依题意补全图形，求证：；（2）对于任意的点，点的位置是否改变，若不变，请指出点的位置，并证明；若改变，请说明理由．28.在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．（1）如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；（2）如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．

参考答案一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）题号12345678答案ABBDACBA二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点关于原点过对称的点的坐标是．故答案为：10.【答案】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），∴a＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．11.【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：．12.【答案】解：，，，故答案为：．13.【答案】解：连接OC、OD，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案为：50．14.【答案】∵=12π，故答案为：12π．15.【答案】解：∵，将绕点逆时针旋转得到∴A在以O为圆心，为半径的圆上运动，当A转到时，，作轴于点B，∵半径为1，与轴相切，∴，由勾股定理可得：，∴为等腰直角三角形，∴，，即旋转角度为；当A转到时，，作轴于点C，∵半径为1，与轴相切，∴，由勾股定理可得：，∴为等腰直角三角形，∴，，即旋转角度为；故答案为：，16.【答案】∵，∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，∵，，∴点M的坐标为：，半径为1，过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：此时取得最小值，∵直线的解析式为：，∴，∴，∵，∴，∴最小值为，故答案为：．三、解答题（共68分，第17、18、20-23、25题，每题5分，第24、26题，每题6分，第19、27、28题，每题7分）17.【答案】解：，∵，∴，∴．18.【答案】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；（2）证明：连接BA，由作法可知，∴点A在以OP为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角），∵OA是的半径，∴直线PA与相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．19.【答案】（1）解：∵二次函数，它的图象过点，∴，解得：，∴抛物线为：；当时，，解得：，∴；（2）解：如图，画函数图象如下：∵，且，∴当时，函数最大值为，当时，函数值，当时，函数值，∴当时，的取值范围为：．（3）解：如图，直线为，，∴的解集为：或．20.【答案】（1）证明：，该方程总有两个实数根．（2）由题意得：，，，则：，即：，即：，，即：，解得：或．21.【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，由旋转得，，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴的度数是．22.【答案】（1）证明：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×6=3，∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE=DE：BE，

∴AE：3=3：8，解得：AE=，∴AB=AE+BE==，∴⊙O的半径为(cm)．23.【答案】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：第二次第一次3456333343536443444546553545556663646566表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．∴∵∴这个游戏不公平．24.【答案】（1）解：如图；连接，则于点是的半径，且∴是的切线（2）解：如图，连接；∵是的直径，，的半径为5，∴∴在中，根据勾股定理得∴在中，∴的长是．25.【答案】（1）①；②（2）【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．（1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解；②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式；（2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可．（1）①，，∴点的横坐标为1，纵坐标为，故点坐标为．故答案为：．②由题意，点坐标为，点坐标为，设抛物线的解析式为，∵抛物线经过点，∴，解得，喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为．（2）∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，∴可设抛物线的解析式为，∵水流最大竖直高度大于，，当时，，解得，（负值舍去），∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，，，，．当时，，．，，26.【答案】（1）∵，∴点，关于直线对称，∴，∵，，∴，故答案为：；（2）代数法1：解：∵对称轴为∴∴抛物线解析式为∵点，在抛物线上，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴或，∵，，∴，∴或，解得：或，代数法2：解：设抛物线解析式为，∵点，在抛物线上，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∵，∴或．数形结合法：①当时，，位于对称轴两侧，关于的对称点为，∵时，y随x增大而增大，且都有，∴恒成立，∴恒成立，∵，，∴，∴，∴，②当时，∵，∴当时，必有，不合题意，舍去．③当时，，都位于对称轴右侧，∵时，y随x增大而增大，且都有，∴恒成立，∵，，∴，∴，综上