2025北京陈经纶中学高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京陈经纶中学高二（上）期中数学（时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（）A.2 B.3 C.4 D.63.若直线被圆截得的弦长为，则（）A. B. C.2 D.4.已知正四面体，点在上，且，点为的中点，则用基底表示为（）A. B.C. D.5.在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）A. B.6 C. D.8.是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（）A. B. C. D.10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.与双曲线有共同的渐近线，并且过点的双曲线的标准方程为________________________．12.已知两直线，，当和垂直时，m＝______；当和平行时，m＝______．13.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为________．14.椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为___________.15.在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线过原点；②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线围成区域的面积大于．则所有正确结论的序号是___．三、解答题共5小题，共85分.16.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程．17.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.18.已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，点为椭圆上一点，求的面积的最大值．19.如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.20.已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．21.给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．（1）判断集合是否具有性质？说明理由；（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：．

参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案DBCDBBAABA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】设所求双曲线为(λ≠0)，把点代入得解得λ=-4，

∴所求的双曲线的标准方程为.故答案为.12.【答案】当和垂直时,若则，,满足,若因为,所以,解得，所以当和垂直时，m＝0或5.因为,所以,即，解得或.经检验时，，则和重合，不满足题意，所以.故答案为:m＝0或5;.13.【答案】联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）.14.【答案】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则，所以该椭圆的焦距为；设点，而，则的面积，解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知，因此，解得，又，则，整理得，而，于是，解得，所以的周长为.故答案为：.15.【答案】设，则，到直线l的距离，由题意可知，，，，当时，，则；当时，，则，，.可作图如下：由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线经过4个点，没有其它整点，故③正确；由，，，四边形的面积，，，多边形的面积曲线W围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共5小题，共85分.16.【答案】（1）设点、，因为点是线段的中点，则，所以，因为点在圆上，则，即，化简得，故点的轨迹方程为.（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.17.【答案】（1）证明：是的中点，，平面平面，平面平面平面，平面平面，.（2）平面，平面，，是正三角形，是的中点，两两垂直.建立如图所示空间直角坐标系.）则，设是平面的一个法向量，则，令，得，轴与平面垂直，是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故.二面角的余弦值为.18.【答案】（1）由题意，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设的方程为，点联立方程组消去得，令，解得，且，则由弦长公式得．又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时取得最大值．所以面积的最大值为．19.【答案】（1）选择条件①：（1）因为平面平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以.选择条件②：解法同上（2）选择条件①：因为平面，平面，所以.又因为，所以.因此，即两两垂直.如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，所以.由（1），得，且为棱的中点，所以点为棱的中点.，故.设平面的一个法向量为，则，取，则，即.所以点到平面的距离.选择条件②：因为平面，平面所以，又因为与相交，平面，所以平面，平面，所以，即两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；（3）选择条件①：设，则.所以.设直线与平面所成角为，所以；化简得，解得，即.选择条件②：解法同上20.【答案】（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为，所以，．所以，．所以．所以椭圆的方程为．（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，．联立方程组，消去，化简得．则，即,设，，所以，．所以直线TM的方程为，直线的方程为．所以，．所以，，所以．所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值．当时，若直线l斜率不存在，不妨设，，所以，．所以．综上，当时，有定值．21.【答案】（1）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质．（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集