2025北京八中高三（上）期中数学试题及答案

高中2025北京八中高三（上）期中数学年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）A. B.1 C. D.23.下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（）A. B. C. D.4.若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.5.设为等差数列的前n项和，若，公差，，则（）A.8 B.7 C.6 D.56.已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知实数，满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.9.已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.510.在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（）A.280 B. C.300 D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.的展开式中的系数______.（用数字作答）12.已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是______.13.等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______14.我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______.15.给出下列四个结论：①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立；②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立；③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个.其中所有正确结论的序号为______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且（1）求证：；（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．18.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.19.如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.（3）在（2）的条件下证明：为定值.20.已知函数.（1）若，求的零点；（2）若，讨论的单调性；（3）若，为自然对数的底数，证明：.21.给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．（1）当时，设，，写出，并求；（2）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；（3）证明：对给定的数阵，总存在，使得．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案AABBDBBDBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由题意有：，令，解得,所以的系数为:,故答案为:.12.【答案】双曲线（，）的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角的范围是，所以，即，所以，所以，即.故答案为：.13.【答案】如图，由于=+，所以，则，所以在等腰直角中，，，所以，即腰长为5，故的面积.故答案为：.14.【答案】如图，平面内，过分别作的垂线，垂足分别为，平面内，过分别作的垂线，与分别交于，将“羡除”分割为两个四棱锥，和直棱柱，由，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.则，，，故所求几何体的体积为．故答案为：4015.【答案】对①：若在上单调递增，由也在上单调递增，则也在上单调递增，故也在上单调递增，又在上单调递减，故不能恒成立，故①错误；对②：例如，该函数在上单调递减，有恒成立，故②正确；对③：令，则，又定义域为，故为偶函数，由为奇函数，故不存在函数，使得恒成立，故③错误；对④：令，其中为任意偶函数，则，由偶函数可有无数种选择，故存在无穷多个，故④正确.故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则17.【答案】（1）因为，，所以，因为，E为AD的中点，所以，所以≌，所以，因为，所以，,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，且PH，平面PEC，所以平面PEC，又平面PEC，．（2）因为，≌，，所以，，因为，，所以∽，所以，所以，，，，因为、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，，，，，，假设线段PC上存在一点F满足题意，因为与共线，所以存在唯一实数，满足，所以，设向量为平面的一个法向量，且，，所以，取，得，同理得平面的一个法向量，因为二面角的余弦值是，所以，由，解得或，观察图象可得当时，二面角的平面角为钝角，与条件矛盾，故，所以，又，所以线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．18.【答案】（1），故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，的可能取值为、、、，，，，，则其分布列为：其期望为：；（3），理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，，，，则，故.19.【答案】（1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，由，，得，又，解得，，∴椭圆的方程为；（2）证明：直线的方程为，即，将其代入，消去，整理得.设，.∴，.记的面积是，的面积是.由题意，，∵，∴，∵，.∴的面积等于的面积；（3）证明：由（2）知，，，，∴，，，.20.【答案】（1）若，则，得或（舍），所以.所以的零点为.（2）若，，函数的定义为，所以，令，得或，即或.①时，即，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.所以函数在上单调递减，在上单调递增.②当，即时，当时，，；当时，，.所以函数在是单调递减.③当时，即，当时，，；当时，，所以；当时，，所以.所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在是单调递减.；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）因，要证，只需证，即，令，，因此只需证即可.，再令，则因，所以，得，即，所以在上单调递增，且，.由零点存在性定理，存在唯一，使得，即.所以在有唯一零点，且当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，且，.所以对，都有成立.所以，成立.21.【答案】（1）由题设，．所以，．（2）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为．经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为．所以．即是的倍数．（3）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为．由（2）可知，．设当时，取得最小值，其中．记每行中的个