2025北京东直门中学高三（上）期中数学试题及答案

高中2025北京东直门中学高三（上）期中数学2025.11考试时间:120分钟 总分:150分班级________姓名_________学号_________ 第一部分一.选择题:(本题有10道小题，每小题4分，共40分)1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．若且，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．3．要得到函数的图象，只需将函数的图象(

)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度4．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（

）

A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π5．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则；B．若，则；C．若，则；D．若，则6．直线与圆（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定7．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（

）

A．4 B．3 C． D．8．已知是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．9．教室常常通风，有利于改善高三学习环境.若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（

）分钟.（参考数据）A． B． C． D．10．已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．第二部分二．填空题：(本题有5道小题，每小题5分，共25分)11．不等式的解集为.12．写出一个满足条件①②③的函数．①的定义域为

②的值域为

③为的极值点13．已知菱形的边长为，，（）．当时，；当取得最小值时，．14．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为.15．如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为.三．解答题：(本题有6小题，共85分)16．已知中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)设的面积为边上的高为，求．17．甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立．(1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率；(2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望．18．如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面的夹角的正弦值.19．已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，是否存在使得？说明理由；(3)记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由．20．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)已知有两个极值点，且，（i）求实数a的取值范围；（ii）求的最小值.21．已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；①；

②．(2)若是的3元完美子集，求的最小值；(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．

参考答案题号12345678910答案CDABCCBBCB1．C【分析】解不等式求得集合，进而可求.【详解】由，可得，解得或，所以或，所以.故选：C.2．D【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，但，故A错误；对于B，由于且，则，故，故B错误；对于C，若，此时，不满足，故C错误；对于D，由于，故，因此，由于，故，D正确，故选：D.3．A【分析】由题可得：,利用图像平移的规则求解即可.【详解】由题可得：,所以只需将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象；故选：A4．B【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得.【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面，则.故选：B5．C【分析】利用空间中线、面的位置关系，作正方体，根据正方体的特征结合反例一一判定选项即可.【详解】

作正方体，对于A，不妨设为底面，显然符合条件，，但不成立，故A错误；对于B，不妨设为底面，显然符合条件，但，故B错误；对于C，因为是不重合，所以，又，不重合，所以，故C正确；对于D，不妨设分别为下底面与上底面，显然符合条件，但，故D错误；故选：C6．C【分析】求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可.【详解】圆的圆心的坐标为，半径，直线，由，解得，即直线过定点，由，则位于圆的内部，所以直线与圆相交.故选：C7．B【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.【详解】对抛物线，焦点，准线：.如图：

过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以；过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以.所以，所以.故选：B8．B【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由，根据双曲线的定义，可得，因为，可得，且，在中，由余弦定理得，整理得，所以又由双曲线的离心率，即双曲线的离心率为.故选：B.9．C【分析】根据时求出参数，然后根据题意列出不等式求解即可.【详解】由题知，当时，即，解得，所以，令得，所以要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风分钟.故选：C10．B【分析】将用代替，换元转化即：对函数，若时，恒成立，求实数的取值范围.【详解】法1：当，时，，当时，，此时，所以，不满足当时，，故不符合题意；当，时，，解得，由于时，，故，解得；当，时，恒成立，符合题意；当，时，，解得，由于时，，故，解得.综上.故选：B法2：当时，等价于或者．将看成未知量，变形于或者．所以的取值范围是．故选：B11．【分析】利用对数函数的单调性结合函数的定义域可求解.【详解】由，得，所以不等式的解集为.故答案为：.12．（答案不唯一）【分析】根据题意，结合三角函数的性质即可求解.【详解】，满足定义域为R，值域为，图象如下图：所以是极大值点.故答案为：.（答案不唯一）13．【分析】当时，，根据向量的三角形法则和数量积的运算法则计算可得的值；而，再根据二次函数的性质可得出当取得最小值时的值.【详解】当时，，；，所以所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为：；.【点睛】关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出，从而利用二次函数的性质解决问题.14．1【分析】根据推出，设圆柱底面半径为，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率，求出即可.【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得．设圆柱底面半径为r，则，所以，设椭圆长轴长为，短轴长为，因为离心率为，得，则，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故．故答案为：.15．【分析】根据题意利用点代入法得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可.【详解】因为函数经过点，得，所以，根据题意可知，的最大值为图象上的点到直线的最大距离的两倍，设直线与函数相切，联立，消去，得，则由，解得，则直线与直线间的距离为，故的最大值为.故答案为：.16．(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案；（2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案.【详解】（1）由，可得，即，则,由于，故；（2）由于的面积为边上的高为，故；又，故，则，故.17．(1)(2)分布列见解析，数学期望为1.9【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率；（2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望【详解】（1）记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件．，．（2）的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，所以的分布列为01230.040.260.460.2418．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先取点的四等分点，再证明四边形为平行四边形，进而得出，进而应用线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量及平面的法向量，应用二面角余弦公式计算，最后应用同角三角函数关系计算求解.【详解】（1）取线段的中点，线段靠近点的四等分点，连接，如图，是的中点，，且，即，又，且，，且四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）如图建系，设，则，.设平面的法向量为，则，令，得.取平面的法向量为.设平面与平面的夹角为，则，，即平面与平面的夹角的正弦值为.19．(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)，理由见解析【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明；（3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值．【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点．，解得，，椭圆的标准方程为．（2）不存在直线与椭圆交于、两点，满足．当时，设，由，消去得，，因此，则，，所以，，因为，所以，所以，无解，所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足．（3）为定值．设，由消去得，，因此，则，所以线段的中点为，线段的中点在直线上时，所以，所以；所以.

20．(1)增区间为和；减区间为(2)（i）；（ii）【分析】（1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可；（2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围；（ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值.【详解】（1）当时，，的定义域为，，令，得或，单调递增；单调递减；单调递增.综上，的增区间为和；减区间为.（2）（i），又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根则，解得，经检验，当时，符合题意.所以实数的取值范围为.（ii）由（i）知，则，，，令，则，当时，，则单调递减当时，，则单调递增故当时，取得最小值，所以，即的最小值为.21．(1)不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由见解析(2)12(3)证明见解析；等号成立的条件是且【分析】（1）根据元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值；（3）不妨设，有．是中个不