2025北京一六六中、五十中高三（上）期中联考数学试题及答案

第1页/共1页2025北京一六六中、五十中高三（上）期中联考数学（考试时长：120分钟）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）A. B.C. D.4.双曲线的渐近线为，则的值为（）A. B. C. D.5.平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（）A. B. C.-4 D.46.已知函数在上递增，则的最大值为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.8.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（）年首次突破PF．（参考数据：，）（）A.2032 B.2033 C.2034 D.20359.无穷等比数列的公比为，前项和为，则“”是“，使得对任意的正整数都成立”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知函数和在实数集上的图象均为一条连续不断的曲线，且满足：、，都有．命题若函数在实数集上单调递增，则函数不是减函数；命题若函数在实数集上无最大值，则函数无最大值．则下列判断正确的是（）A.和都是真命题 B.和都是假命题C.是真命题，是假命题 D.是假命题，是真命题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知抛物线：，则抛物线的准线方程为______．12.在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______．13.如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点．（1）若，，则扇形的面积为______；（2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为______．14.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为______，体积为______．15.数列，记（且）．现有如下说法：①若数列为等差数列，则；②若数列为等比数列，且数列单调递增，则公比；③若数列为等比数列，且，则公比；④若对任意的且，都有，则数列单调递增．其中所有正确说法的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.在中，．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①.，．条件②.，．条件③.，．17.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是棱的中点，平面与棱交于点．（1）求证：为棱的中点；（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．18.“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）：2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年2023年2024年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率；（3）若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可）19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆交于、两点，与椭圆交于、两点，、、、四点构成四边形，试问四边形是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由．20.已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，①证明：函数在区间内存在唯一的极值点；②记在区间内的极值点为，设函数，，讨论函数的单调性．21.已知数列：的各项均为整数．（1）设数列：1，2，3，4，5，6，求数列A中任意两项的差的绝对值之和；（2）证明：在数列中，存在连续的若干项（可以只有一项），这些项的和是n的整数倍；（3）设，是n个互不相等的且小于的正整数．证明：从数列中，可以选出若干项（可以只选一项），这些项的和是的整数倍．（备注：若只选一项，这些项的和就是这一项的值；如果和为0，也算做n的整数倍）

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910CBDADDBDAC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．1112131415（只需满足，）（1）；（2）4；①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）由正弦定理可得，在中，，所以，所以原方程变为，因为，所以，所以原方程变为．（2）选择条件①：在中，因为，所以，因为，所以，又，所以，．因为，所以．由知角唯一确定，故存在且唯一确定，所以，由正弦定理，可得，设边上中线为，则由余弦定理得．即边上中线的长为．选择条件②：，．由余弦定理，即，即，可得或，故不唯一，不符合题意；选择条件③：，．由余弦定理，即，即，可得或（舍去），经检验存在且唯一确定，设边上的中线为，由余弦定理得．即边上中线的长为．17.【答案】（1）因为底面是菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，故，在中，因为是棱的中点，所以为棱的中点．（2）取中点，连接、，因为，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．在菱形中，，且，故为等边三角形，所以，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的一个法向量为，，，则，取，则．设直线与平面所成角为，，，直线与平面所成角的正弦值为．18.【答案】（1）2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程，在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程，所以概率为．（2）设事件A：优质工程的个数恰好为2．甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，．（3）变大．去掉2016年的植树数据，则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年，乙林场植树共6年，其中优质工程有4年，丙林场植树共9年，其中优质工程有4年，则.19.【答案】（1）椭圆的离心率为，故，的周长为，解得，，故，所以椭圆的标准方程为.（2）如下图所示：若四边形为等腰梯形，则，设直线、交于点，因为，所以，故，从而，分别取线段、的中点、，则，，故、、三点共线，则，不妨设直线的方程为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，故，故点，设直线的方程为，同理可得点，直线的斜率为，因为，即与不垂直，因此不存在满足题设条件的两条平行直线、，使得四边形为等腰梯形.20.【答案】（1）当时，，则，所以，，故当时，曲线在处的切线方程.（2）①当时，，则，因为，由可得，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，综上所述，当时，函数在上有且只有一个极值点；②由①知，为函数在上的极大值点，且，因为，则，因为，则，所以，，故，所以函数在上为减函数.21.【答案】（1）数列，任意两项的组合有：.计算它们的差值：将这些差的绝对值相加：，因此，数列中任意两项的差的绝对值之和为35.（2）设，即.用除以，得到的余数可能为，共种情况.如果存在某个除以的余数为0，那么就是的整数倍，即是的整数倍，结论成立；如果不存在某个除以的余数为0，那么这个数除以的余数只能是这种情况.根据抽屉原理，个数放入个抽屉中，至少有两个数除以的余数相同，设为和，即.那么是的整数倍，即存在连续的若干项的和是的整数倍，