2025北京育才学校高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京育才学校高三（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）A. B.C. D.3.已知等差数列，，，则等于（）A. B.0 C.2 D.54.已知，则函数的最小值为（）A. B.0 C.1 D.5.已知向量，，若，则等于（）A. B. C. D.6.已知是的内角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（）A.12里 B.24里 C.48里 D.96里8.在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（）A. B. C. D.9.已知函数若存在最小值，则的最大值为（）A. B. C. D.10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数满足，则_________________.12.若向量满足，且的夹角为，则___________，___________.13.在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答）14.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.15.已知函数，给出下列四个结论：①当时，对任意，有1个极值点；②当时，存在，使得存在极值点；③当时，对任意，有一个零点；④当时，存在，使得有3个零点.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.已知函数.（1）求的单调递减区间（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.17.已知函数在处有极值-1.（1）求实数a，b的值;（2）求函数的单调区间.18.在中，，，分别为角，，的对边，，，且.（1）求角的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：，为锐角；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.19.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.20.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线的方程；（2）当时，求证：；（3）讨论函数（且为常数）零点的个数.21.有穷数列中，令，当p=q时，规定.（1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；（2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；（3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DDCBABCDAB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】因为，所以，故答案为：.12.【答案】，.故答案为：1；.13.【答案】由二项式系数的和等于，则，；通项公式为，令，所以的系数为.故答案为：；.14.【答案】∵，∴数列时一个增数列；∵，∴∴故答案为：（答案不唯一）15.【答案】对①：当时，，，则时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故对任意，有1个极大值点，故①正确；对②：当时，，若存在极值点，则有变号零点，则必须有解，令，则，故当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减，又时，，，即恒成立，故当时，无解，故②错误；对③：当时，，当时，，此时函数无零点，故③错误；对④：当时，若存在，使得有3个零点，则直线与曲线有三个不同交点，由直线过点，曲线过点，又，是偶函数，且在上单调递减，故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点，同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点，过点作曲线的切线，设切点为，则切线方程为，即，则，由，则，即，即，即，故当时，存在，使曲线有过点的切线，且切点为，当时，切线斜率，则当时，有，又，则存在，使，此时函数单调递减，而恒成立，故存在，使，即当时，存在，使得有3个零点，同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④正确.故答案为：①④.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.【答案】（1），令，解得，所以的单调递减区间为；（2）由题，恒成立，即，，因为，所以，由正弦函数性质可知当即时，，所以，即实数的取值范围是.17.【答案】（1）已知函数，则，由题意，解得，当时，，，当或时，，当时，，所以在上均单调递增，在上单调递减，所以在处有极小值，满足题意，综上所述，符合题意；（2）由题意，则，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.18.【答案】（1）在中，因为，所以，所以，.因为，所以，所以.（2）选条件①：，为锐角.由（1）知，所以.又，，由余弦定理可得，即，解得或.当时，，为钝角，不符合题意，舍去；当时，，为锐角，符合题意.综上，满足条件的存在且唯一确定，此时的面积为.选条件②：.由（1）知，所以.因为，所以.结合余弦函数在上的单调性可知.因为，所以或，从而角可能为锐角，也可能为钝角，所以不唯一，故不能选条件②.选条件③：.由（1）知，所以.因为，由正弦定理可得，所以，.由正弦定理可得.又，所以的面积为.19.【答案】（1），故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，的可能取值为、、、，，，，，则其分布列为：其期望为：；（3），理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，，，，则，故.20.【答案】（1）由题意得，，，∴，∴切线的方程为：.（2）当时，要证，只需证，令，则，令，则，由得，，由得，，∴在为减函数，在上为增函数，∴，∴在上为增函数，∴，∴，即.（3）由得，.令，则，由得或，由得，∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，当时，，当时，，当，.∵时，取极小值，∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点，当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点，当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点，当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点.综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.21.【答案】（1）、、、（2）（3）证明见解析【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得，，可得当时，有，当时，，结合，即可得解；（3）将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证.（1）为时，，为时，，为时，，为时，，故，且使得的有序数对有、、、；（2）由题意可得，，又为整数，故，，则，同理可得，即有，同理可得，当时