一轮复习专题2.3 函数的单调性与最值（原卷版）教案

一轮复习专题2.3函数的单调性与最值（原卷版）教案课题：课时：1授课时间：2025课程基本信息1.课程名称：一轮复习专题2.3函数的单调性与最值（原卷版）教案

2.教学年级和班级：高三（1）班

3.授课时间：2023年10月12日第3节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养。学生将深化数学抽象，理解函数单调性与最值的抽象本质；提升逻辑推理，掌握单调性证明和极值推导方法；发展数学建模，应用函数模型解决实际问题；强化数学运算，熟练求导数、求极值计算；培养直观想象，通过图像分析函数行为。通过复习，学生能综合运用核心素养，应对高考挑战。教学难点与重点1.教学重点，①函数单调性的判断方法（导数法与定义法）；②闭区间上函数最值的求解步骤；③单调性与最值在解决实际问题中的应用。

2.教学难点，①复合函数单调性的分析（内外层函数单调性关系）；②含参函数单调性与最值的分类讨论；③单调性证明中的逻辑推理严谨性。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有高中数学必修教材及一轮复习讲义，重点复习函数单调性与最值相关章节。

2.辅助材料：准备函数单调性图像图表、导数应用动画视频、含参函数分类讨论案例集。

3.实验器材：无实验器材需求。

4.教室布置：布置分组讨论桌，支持学生合作探究单调性证明和最值求解。教学过程1.导入（约5分钟）：

激发兴趣：展示2023年高考全国卷理科第21题（函数单调性与最值应用题），提问：“如何利用导数分析函数单调性，进而解决含参零点问题？”引发学生思考。

回顾旧知：引导学生回顾函数单调性的定义（增函数、减函数的数学表述）、导数与单调性的关系（f’(x)>0⇒f(x)单调递增，f’(x)<0⇒f(x)单调递减）、极值的判断方法（导数由正变负为极大值，由负变正为极小值）。

2.新课呈现（约25分钟）：

讲解新知：

（1）函数单调性的判断方法系统梳理：①定义法（取值—作差—变形—定号—下结论，强调变形技巧如因式分解、配方）；②导数法（求导—解不等式—写单调区间，明确定义域优先原则）。

（2）闭区间上函数最值的求解步骤：①求f(x)在区间(a,b)内的导数；②解f’(x)=0，求出极值点；③计算f(x)在极值点及端点a、b处的函数值；④比较大小，最大值为最大值，最小值为最小值。

（3）单调性与最值的应用：①含参函数单调性讨论（参数对导数符号的影响，分类标准如“导数恒正、恒负、有零点”）；②实际应用问题（利润最大、成本最低等，需建立函数模型并求解最值）。

举例说明：

（1）用定义法判断f(x)=x²-2x+3在(1,+∞)的单调性：取x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2，作差f(x2)-f(x1)=x2²-x1²-2(x2-x1)=(x2-x1)(x2+x1-2)，由x2>x1>1得x2-x1>0，x2+x1>2，故f(x2)-f(x1)>0，f(x)单调递增。

（2）用导数法分析f(x)=x³-3x²+2的单调区间：求导f’(x)=3x²-6x=3x(x-2)，解f’(x)>0得x<0或x>2，单调递增区间为(-∞,0)、(2,+∞)；解f’(x)<0得0<x<2，单调递减区间为(0,2)。

（3）含参函数讨论：f(x)=ax²+lnx(a∈R)，定义域为(0,+∞)，f’(x)=2ax+1/x。①当a≤0时，f’(x)=1/x+2ax，若a<0，令f’(x)=0得x=√(-1/(2a))，当x∈(0,√(-1/(2a)))时f’(x)>0，单调递增；x∈(√(-1/(2a)),+∞)时f’(x)<0，单调递减；当a=0时，f’(x)=1/x>0，单调递增。②当a>0时，f’(x)>0恒成立，单调递增。

互动探究：

小组讨论问题：“已知f(x)=x³+ax²+bx+1在x=1处取得极值，且f(0)=f(2)=1，求f(x)的单调区间。”引导学生应用极值条件：f’(1)=3+2a+b=0，f(0)=1，f(2)=8+4a+2b+1=1，解得a=-3，b=3，故f(x)=x³-3x²+3x+1，f’(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²≥0，单调递增区间为(-∞,+∞)。

3.巩固练习（约15分钟）：

学生活动：

（1）基础巩固：判断f(x)=e^x-x的单调性（f’(x)=e^x-1，x>0时f’(x)>0单调递增，x<0时f’(x)<0单调递减）；求f(x)=x+1/x在[1,3]上的最值（f’(x)=1-1/x²，极值点x=1，f(1)=2，f(3)=10/3，最小值2，最大值10/3）。

（2）能力提升：2021年新高考卷“已知函数f(x)=x³-ax²+1，若f(x)在(0,2)单调递增，求a的取值范围”（f’(x)=3x²-2ax≥0在(0,2)恒成立，a≤3x/2，由3x/2在(0,2)的值域为(0,3)，得a≤0）。

（3）高考真题：2022年全国卷“设函数f(x)=xlnx-ax²，讨论f(x)的单调性”（分a≤0、0<a<1/(2e)、a=1/(2e)、a>1/(2e)四种情况讨论）。

教师指导：巡视学生练习，针对易错点进行指导：①含参讨论时忽略定义域（如lnx要求x>0）；②分类讨论标准不统一（如导数有零点时，需比较零点与区间位置）；③最值问题中忽略端点值（如闭区间上最值需比较极值点和端点）。知识点梳理1.函数单调性的定义

（1）增函数：对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)

（2）减函数：对任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2）

（3）单调区间：函数值保持单调递增或递减的区间（必修第一册P33）

2.单调性判断的两种方法

（1）定义法步骤：

①取值：任取区间内x1<x2

②作差：计算f(x2)-f(x1)

③变形：因式分解、通分、配方等

④定号：判断差值符号

⑤结论：确定单调性（必修第一册P34）

（2）导数法核心：

①求导：f'(x)

②解不等式：f'(x)>0（增）、f'(x)<0（减）

③写区间：注明定义域（必修第一册P107）

3.导数与单调性的关系定理

（1）f'(x)>0⇒f(x)单调递增

（2）f'(x)<0⇒f(x)单调递减

（3）f'(x)=0的点可能是极值点（必修第一册P108）

4.极值与最值的区别

（1）极值：局部性质，f(x0)是极值点需满足：

①f'(x0)=0或f'(x0)不存在

②导数在x0左右变号（必修第一册P112）

（2）最值：整体性质，闭区间[a,b]上最值在以下点取得：

①f'(x)=0的点

②区间端点a、b

③不可导点（必修第一册P115）

5.闭区间上求最值的步骤

（1）求f'(x)

（2）解f'(x)=0得驻点x1,x2...

（3）计算f(a),f(b),f(x1),f(x2)...

（4）比较大小确定最值（必修第一册P115例题）

6.含参函数单调性讨论策略

（1）分类标准：

①导数表达式类型（二次/分式/指数）

②参数对导数符号的影响

（2）关键步骤：

①求导得f'(x)含参表达式

②解f'(x)=0求临界值

③按参数范围划分讨论区间

④对每种情况确定单调性（必修第一册P118习题）

7.复合函数单调性法则

（1）同增异减原理：

①内外层函数同增→复合增

②内外层函数同减→复合增

③一增一减→复合减（必修第一册P45）

（2）注意点：必须先求定义域

8.单调性证明的规范书写

（1）定义法证明格式：

"∵x1<x2∈D

∴f(x2)-f(x1)=...

∵...

∴f(x2)-f(x1)>0（<0）

∴f(x)在D上单调递增（减）"（必修第一册P34例题）

9.单调性的实际应用模型

（1）利润最大问题：

建立利润函数L(x)=R(x)-C(x)

求导L'(x)=0，验证极值为最大值

（2）成本最低问题：

建立成本函数C(x)

求导C'(x)=0，验证极值为最小值（必修第一册P120应用题）

10.易错点警示

（1）忽略定义域优先原则

（2）含参讨论时遗漏参数边界值

（3）极值点判断未验证导数变号

（4）闭区间最值遗漏端点值比较

（5）复合函数未分析内层函数定义域（必修第一册P122复习题）课堂1.课堂评价：通过随机提问含参函数分类讨论标准（如导数有零点时的分类依据）检查学生逻辑严谨性；观察小组讨论时对复合函数“同增异减”法则的应用情况；设计5分钟当堂测试（如判断f(x)=x-e^x单调性并证明），即时反馈导数法掌握程度。

2.作业评价：分层批改基础题（定义法证明单调性）和中档题（含参单调区间讨论），重点标注定义域遗漏、分类标准混乱等典型错误；对综合应用题（如利润最大化模型）的解题步骤规范性评分；次日课堂展示典型错题并分析错误根源，要求学生订正并补充同类题型。内容逻辑关系①基础概念与方法链条

重点知识点：单调性定义（增/减函数数学表述）、定义法五步骤（取值—作差—变形—定号—结论）、导数法核心（求导—解不等式—写区间）

关键词：定义域优先、变形技巧（因式分解/配方）、导数符号与单调性关系

②导数与函数性质递进

重点知识点：导数零点与极值判定（导数由正变负为极大值）、闭区间最值三要素（驻点/端点/不可导点）、极值与最值本质区别（局部与整体）

关键词：极值点二阶条件（可选）、端点值必比较、驻点定义（f'(x)=0）

③难点突破与应用延伸

重点知识点：含参函数分类标准（导数表达式类型/参数影响）、复合函数法则（同增异减）、实际建模步骤（建立函数—求导—验证最值）

关键句："参数决定导数符号"、"内层函数定义域是前提"、"利润函数L(x)=R(x)-C(x)"重点题型整理1.定义法证明单调性：证明f(x)=2x-x²在(-∞,1]上单调递增。

答案：任取x1<x2≤1，f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)-(x2²-x1²)=(x2-x1)(2-x2-x1)，由x2>x1且x1,x2≤1得x2+x1<2，故2-x2-x1>0，又x2-x1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，f(x)单调递增。

2.导数法求单调区间：求f(x)=x3-6x2+9x的单调区间。

答案：f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，解f'(x)>0得x<1或x>3，单调递增区间(-∞,1)、(3,+∞)；解f'(x)<0得1<x<3，单调递减区间(1,3)。

3.含参函数单调性讨论：讨论f(x)=x2+ax+1的单调性。

答案：f'(x)=2x+a，当a≥0时，f'(x)<0在(-∞,-a/2)，单调递减；f'(x)>0在(-a/2,+∞)，单调递增。当a<0时，f'(x)<0在(-∞,-a/2)，单调递减；f'(x)>0在(-a/2,+∞)，单调递增。

4.闭区间最值求解：求f(x)=|x2-2x+3|在[-1,3]上的最值。

答案：f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，故f(x)=x2-2x+3，f'(x)=2x-2，驻点x=1，f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，最小值2，最大值6。

5.复合函数单调性：求f(x)=e-x2的单调区间。

答案：设u=-x2，u在(-∞,0]单调递增，在[0,+∞)单调递减；f(u)=eu单调递增，故f(x)在(-∞,0]单调递增，在[0,+∞)单调递减。反思改进措施（一）教学特色创新

1.高考真题情境导入，用真实问题链串联知识点，激发学生解题欲望。

2.分层设计练习题，基础题巩固定义法，中档题突破含参讨论，综合题建模应用，兼顾不同层次学生需求。

（二）