数学参考答案山东东营市2026年高三年级4月份适应性测试(东营二模)(4.22-4.24)

2026年高三年级4月份适应性测试数学试题参考答案一、选择题:DBCADCBB选择题：9.AC10.ABD11.ABD填空题：12.；13.；14..第11题解析：A选项，三进制数转化为十进制数为，而，三进制数转化成五进制数，A选项正确；B选项，由二项式定理知，故最后一位数为1，B选项正确；C选项，设（，）.若m为3的倍数，则为3的倍数，又，则，所以，，，则，，，所以当m为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数.，，由,，得，所以都不是3的倍数,是3的倍数,而这2022个数中，有个是3的倍数，在1至2026中任选一个正整数m，共有个正整数，所以由古典概型概率公式得，为3的倍数的概率为．C选项错误；D选项，记第一种颜色卡片上数字之和为，记第二种颜色卡片上数字之和为，则，因为每一个小于等于2026的正整数都可以用唯一表示（二进制），由隔板法知共有种取法，D选项正确.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.解：（1）因为所以………2分因为，故即因为所以…………4分即故；……………5分（2）因为的面积为，所以即，…………7分由余弦定理得，……………10分所以所以的周长.……………13分16.（1）证明：取的中点,连接.在等腰直角中,,则斜边.因为是的中点，所以…………2分同理,在等腰直角中，……………3分因为所以.……………5分又因为,所以.……………6分(2)以为原点，的正方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，所以是二面角的平面角，故=.因为，，是的中点所以，所以.…………8分,设平面的法向量为,,所以.………12分设直线与平面所成的角为,.…………14分故直线与平面所成角的正弦值为.……………15分17.解：（1）函数的定义域为.求导得:.……………2分令,解得，令,解得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为;……………4分（2）设切点坐标为,其中，由（1）知切线斜率，则切线方程为，……………6分因为切线过点，代入整理得：,过点可作两条切线，等价于关于的方程在其定义域内有两个不同的实根,……………7分当时无意义，故，令且,.……8分当时，，在和上单调递减；当时，，在单调递增.……9分又当且时，；当且时，,当,且时，..由图知，要使有两根，需,故的取值范围是;…10分（3）证明：设切点为,由（2）知.切线l的方程为,要证曲线上除切点外的点都在直线l上方，即证：对恒成立.……………12分将代入上式，即证：,令,当时，单调递减；当时，单调递增.所以.…………14分因此，当,即曲线上除切点外的点都在直线l的上方.……15分18.解：（1）设点，由题知，所以，……2分当时，；当时，，无解，舍去；综上，曲线的方程为.……………4分因为为曲线：上一点，所以，……5分（方法一）（i）由题知，直线斜率均存在且不为，设,因为在曲线上，则，……………6分同理可得,,所以，,令，得,,……………8分因为,所以，即，……………9分所以，即直线的斜率为.……………10分（ii）由（i）知，的中点，所以直线的垂直平分线：，即，同理可得直线的垂直平分线：，……………12分由（i）知，所以：，……………13分设圆心，联立，得，，因为，所以，所以，……………15分而，……………16分消去得，即的外接圆的圆心在定直线上.……………17分（方法二）由题知，直线斜率均存在且不为，设，，令，得,,因为，所以，设,，联立，得，有解，所以①，因为，所以，即②，把①代入②式可得，即，因为直线不过点，所以，即，所以,即直线的斜率为.（ii）由（i）知，联立，得③，设的外接圆方程为,因为在圆上，所以,所以，联立，得④，因为③式与④式有相同的解，所以,消去得，所以或，当时，，所以，过点,不成立，所以⑤，设圆心，即，代入⑤式得，，即的外接圆的圆心在定直线上.（方法三）（i）由题知，直线斜率均存在，设，，令，得,,因为，所以，等价于，设并代入上式得，两边同除得，有解，所以，即，所以，即直线的斜率为.（ii）同（方法二）中（ii）解法19.解：（1）设”前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券”为事件,则.……………4分（2），设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件,由全概率公式可得，所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为.……………10分（3）设第位顾客抽完后，第位顾客抽奖前，盒中的红球数为离散型随机变量，则此时盒中的白球数为一共有个球，设离散型随机变量，由题意得……………11分由（2）知：所以……………12分根据参考公式可得所以，