安徽省鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数（i为虚数单位），则（

）A. B. C. D.2.在中，，，，则（

）A.16 B. C.9 D.3.如图所示,某测量人员在高为100m的山顶A处,测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和,则B、C两点的距离为（）

A.100m B.100(-1)m C.m D.50m4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”.某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型,模型上、下底面周长分别为2和4,高为3,则该模型的体积为（）A.7 B.8 C.9 D.105.用斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图是边长为2的正三角形,则原ABC的面积为（）A.2 B.2 C.4 D.46.对于简单凸多面体,满足欧拉公式:顶点数V-棱数E+面数F=2.已知某正多面体的每个面都是正三角形,每个顶点连接4条棱,则该正多面体的棱数E为（）A.6 B.12 C.16 D.207.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（

）A. B. C. D.8.已知非零向量,不共线,给出下列四个结论:若(+)(-),则||=||;若>0,则存在正实数,使得+与垂直;“(+)>”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件;若||=||=1,则“|+|=”是“与的夹角为”的充要条件.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z满足z(1+i)=2-2i(i为虚数单位),且z是关于x的实系数一元二次方程+mx+n=0的一个根,则下列说法正确的有（）A.z的虚部为-2 B.复数z的共轭复数为-2i

C.m=0 D.n=410.如图,已知正三棱柱ABC-的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上,底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有（）

A.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点

B.若底面边长a=,则侧棱长h=2

C.若侧棱长h=2,则该正三棱柱的体积为3

D.该正三棱柱的侧面积的最大值为1211.已知ABC中,=|-|=2,点P为边BC上的动点,满足=+(,为实数),则下列说法正确的有（）A.ABC的面积的最大值为

B.当P为BC中点时,||=

C.若ABP的面积为ABC面积的,则=

D.若BAC=,则的最小值为-1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，，若与共线，则实数

．13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三个侧面的面积分别为1,2,3,则该三棱锥的体积为

.14.在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知，是夹角为的两个单位向量，设，．(1)求证：与垂直；(2)求向量与的夹角的大小．16.(本小题15分)已知复数z满足|z|=,且z的共轭复数满足(1+2i)为纯虚数.(1)求复数z;(2)若复数w=,求w在复平面内对应点的坐标,并判断该点所在的象限.17.(本小题15分)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，求的周长的取值范围．18.(本小题17分)

如图,在直三棱柱ABC-中,底面ABC是直角三角形,ACB=,AC=BC=2,侧棱=3.该直三棱柱内有一个圆柱,圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上,上底面在直三棱柱的上底面上,且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切.

(1)求该圆柱的表面积;(2)求该直三棱柱的外接球O的体积;(3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点,N是圆柱表面上的动点,记|MN|=d,R为外接球的半径,求的最大值.19.(本小题17分)在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)若，解答下列问题：①当的面积为时，求AC边上的中线长；②若点D在边上，且平分，求的取值范围．

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】

/0.5

13.【答案】

14.【答案】6

15.【答案】解：（1）由已知，，所以．因为，是夹角为的单位向量，所以，且，代入得，因此，与垂直（2）设向量与的夹角为，则．先计算．再计算，所以；，所以．于是，因为，故（或）．

16.【答案】解：(1)设z=a+bi,其中a,bR,

由|z|=得+=5,

又=a-bi,

则(1+2i)=(a-bi)(1+2i)=a+2ai-bi-=(a+2b)+(2a-b)i.

因为(1+2i)为纯虚数,

所以a+2b=0，且2a-b≠0.

联立方程解得b=1.

当b=1时,a=-2;当b=-1时,a=2.

所以z=-2+i或z=2-i.

(2)由w=,而=,故w=.

​​​​​​​当z=-2+i时,w===-+i,

w在复平面内对应点的坐标为(-,),且该点位于第二象限;

当z=2-i时,w===-i,

​​​​​​​w在复平面内对应点的坐标为(,-),且该点位于第四象限.

17.【答案】解：（1）由正弦定理，得，代入已知，得．因为，，得，即．又为锐角三角形，所以；（2）由正弦定理得，所以，．因为，所以，即，因为是锐角三角形，所以解得．周长．．由于，则，从而，，所以周长的取值范围是．

18.【答案】解：(1)在直三棱柱ABC-中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,ACB=,

所以AB=2.

ABC的内切圆半径r===2-.

圆柱的高h==3，

​​​​​​​所以圆柱的表面积S=2+2rh=2r(r+3)=2(2-)(5-)=2(12-7)=24-14;

(2)直三棱柱的外接球球心O位于上下底面外心连线的中点.

​​​​​​​底面直角三角形外心是斜边AB的中点D,则CD==，

​​​​​​​=3,所以OD=，

外接球半径R==,

体积V==)==；

(3)由球的几何性质,d的取值范围为|R-|ON||dR+|ON|,

代入得==,

即的最大值,等价于求圆柱表面上的点到球心O的距离|ON|的最大值的平方,

设点N在底面ABC的投影为N',N到底面的竖直距离为h,

​​​​​​​=|ON'+|h-,

当|h-|取最大值(即N在圆柱上底面或下底面的圆周上)时,竖直分量最大,

同时水平分量N'|的最大值出现在底面内切圆圆周上,

因此|ON|的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得,

​​​​​​​在RtABC中,内心I到外心的距离为|=|-|CI|=-r=2-,

N'=|+r=4-2,

=+=-16,