天津市河东区2025-2026学年高三数学下册质量检测二试题 含答案

/天津市河东区2025-2026学年高三数学下学期质量检测二试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由集合的混合运算可得.【详解】.故选：B2.已知，命题p：，命题q：，则p是q的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】C【分析】由命题间的必要不充分条件判断即可.【详解】命题p：即，命题q：即，所以命题能推出命题，而命题不能推出命题，所以p是q的必要不充分条件.故选：C3.如图所示，图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】函数图象关于轴对称，排除A，C，由排除B，利用排除法即可.【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，对于A，,,,即函数是奇函数，故A错，对于B，，，，是偶函数，当时，，故B错，对于C，，，，是奇函数，故C错，对于D，，，，是偶函数，，符合题意，故D正确.故选：D4.已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案.【详解】因为，，，且，故.故选：A.5.2024年12月26日，DeepSeek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，DeepSeekAPP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（）A.甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱B.乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次C.丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多D.丁小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异【正确答案】C【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可.【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误；对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误；对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确；对于D，，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次有差异，故D错误.故选：C6.已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（）A. B.2 C. D.3【正确答案】A【分析】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可.【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知：.故选：A7.关于函数，下列结论不正确的为（）A.时，的图象关于对称B.时，最小正周期为C.时，在区间内有两个零点D.时，在区间上的最大值为【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，当时，求函数的对称轴，判断A，求函数的最小正周期判断B，当时，求方程在区间内的解，判断C，根据不等式性质及正弦函数性质求函数在区间上的最大值，判断D.【详解】因为，所以，当时，，函数的对称轴方程为，，所以函数的对称轴方程为，，取可得，是函数的图象的一条对称轴，A正确；函数的最小正周期，B正确；当时，，令可得，所以，所以，，所以，，所以函数在内的零点有，，，C错误；由，可得，所以，故，所以时，在区间上最大值为，此时，D正确.故选：C.8.我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（）A.36 B.33 C.32 D.31【正确答案】D【分析】计算的值，由此确定的位数.【详解】∵，∴，∴是31位数.故选：D.9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】先求点到渐近线的距离，再根据可求得、，即可根据三角形面积列出关系式，再根据得出关系式，即可解方程组求出.【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点，则，①，准线方程为，不妨设直线与渐近线垂直，则点到直线的距离，则，因，则，，则②，因，即，则③，联立①②③得，，则双曲线的方程为.故选：B二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.10.i是复数单位，化简的结果为________.【正确答案】【分析】由复数代数形式的乘法、除法运算即可求解.【详解】，故11.在的二项展开式中，含的项的系数是________.（用数字作答）【正确答案】84【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.【详解】根据二项式定理,的通项为:，当时,即时,可得.即项的系数为.故答案为.12.轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为________.【正确答案】【分析】根据条件，得直线方程为，再利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题知直线方程为，即，又圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，所以，故答案为.13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率________；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为________.【正确答案】①.②.【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解.【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法，又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法，所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为，记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，则，，所以，故；.14.《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为________；若点为线段上的动点，则的最小值为________.【正确答案】①.②.【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，，的坐标，根据数量积的坐标运算公式求，，再求的最小值可得结论.【详解】因为多边形为正八边形，所以，，，，，，由正八边形性质可得，由已知，过点作，垂足为，则，又，，故，如图，以点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，，因为，所以，又点在线段上，所以，所以，所以，所以，因为点为线段上的动点，故可设点的坐标为，则，，，所以，且，因为二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，所以当或时，取最小值，最小值为，即当点为线段端点或端点时，取最小值，最小值为，故，.15.设函数，，若存在，使得，则的最小值为________.【正确答案】1【分析】由题意可得在上单调递增，且，所以，由此，通过放缩即可得出答案.【详解】因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，且存在，使得，所以，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以,即,当时取等号.所以（当时取等号，此时满足题意），所以的最小值为1.故1.三、解答题：本题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在三角形中，角所对的边分别为.已知，，.（1）求边c的大小；（2）求的值；（3）求边的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由正弦定理和余弦定理解方程可得；（2）由余弦定理结合同角的三角函数关系可得；（3）由同角的三角函数，二倍角的正余弦公式以及两角差的余弦展开式计算可得.【小问1详解】由已知，，，，解为；【小问2详解】，又，所以；【小问3详解】，，，.17.在多面体中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1.（1）求AD与平面DEF所成角的正弦值；（2）求点A到平面CEF的距离；（3）AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到平面DEF的法向量，利用线面角的计算公式得到答案；（2）求出平面CEF法向量，利用点到平面距离公式进行求解；（3）设，由（1）得平面DEF的法向量为，PG与平面DEF平行，故，从而得到方程，求出答案【小问1详解】EA⊥底面，底面正三角形ABC边长为2，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.所以，，设平面DEF的法向量为，，故，令，则，，故，又，设AD与平面DEF所成角为，；【小问2详解】平面CEF的法向量为，其中，，，故，令，则，故，，所以点A到平面CEF的距离；【小问3详解】由（1）知，平面DEF的法向量为，其中，设，，PG与平面DEF平行，故，即，解得，此时.18.设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，.（1）求数列与的通项公式及；（2）落在区间之内的项的个数为，.（ⅰ）求，及数列的通项公式；（ⅱ）求.【正确答案】（1），，（2）（i），，；（ii）【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和公式计算即可；（2）（ⅰ）根据第一问结论依次表示，即可，利用数字的规律找出区间中整除3余1的个数即可；（ii）利用错位相减法计算求和即可.【小问1详解】设，，，，由已知，，所以，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，，所以；【小问2详解】（ⅰ）由已知，在此区间内，∴，因为，所以即为，∴.，所以即为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（ⅱ）记，①，②，①-②为，，.19.已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为.（1）求椭圆方程及；（2）证明：；（3）点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离.【正确答案】（1），（2）证明见解析（3）【分析】（1）求出点，根据椭圆定义可求得椭圆标准方程，根据离心率公式可求得离心率；（2）设点，根据两点间的距离公式列式化简计算即可得证；（3）由（2）可知，，根据三角形两边之差小于第三边得三点共线时取最大值，得，通过平移当直线与椭圆相切时，两直线间距离即为椭圆上点到直线距离的最值，列式求解计算即可得到最大距离.【小问1详解】由已知，，设椭圆左焦点，则，因为，，由，得，所以椭圆方程为，；【小问2详解】设点，因为点在椭圆上，得，由两点间距离公式得，化简得；【小问3详解】由（2）可知，，所以，根据三角形两边之差小于第三边得,所以当三点共线时取最大值，，设直线：，，得：，，∴，通过图象可得，当直线时，椭圆上任意点到直线的距离最大，即椭圆上任意点到直线的最大距离为.20.已知函数，，.（1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）求函数的极值；（3）函数，若，证明