《17.3一元二次方程根的判别式》教案3

一、教学目标1.知识与技能：*进一步巩固对一元二次方程根的判别式（Δ=b²-4ac）的理解和记忆。*能够熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根）。*能够根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。*初步体会根的判别式在解决与一元二次方程相关问题中的综合应用。2.过程与方法：*通过对具体问题的分析和解决，经历观察、思考、推理、归纳的过程，提升逻辑思维能力和分析问题的能力。*在解决含字母系数的一元二次方程根的情况的问题中，体会分类讨论思想的应用。*培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。3.情感态度与价值观：*通过对根的判别式的深入探究和应用，感受数学的严谨性和逻辑性。*在合作与交流中，培养学生主动参与、积极思考的学习习惯，激发学习数学的兴趣。*体会数学在解决实际问题中的价值，增强应用意识。二、教学重难点1.教学重点：*熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。*根据一元二次方程根的情况，确定字母系数的取值范围。2.教学难点：*含字母系数的一元二次方程中，根据根的情况求字母系数取值范围时，对“二次项系数不为零”这一前提条件的把握。*综合运用根的判别式解决相关问题（如与几何图形结合等）。三、教学方法启发式教学法、讲练结合法、小组讨论法四、教学过程（一）复习回顾，引入新课(约5分钟)1.提问：同学们，我们上节课学习了一元二次方程根的判别式。谁能告诉我，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，其根的判别式Δ是如何定义的？它有什么作用？*引导学生回答：Δ=b²-4ac。通过Δ的值可以判断方程根的情况。2.追问：具体来说，Δ的值与根的情况有怎样的对应关系呢？*引导学生回顾并总结：*当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。*当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。*当Δ<0时，方程没有实数根。3.引入：非常好。上节课我们主要学习了如何用判别式判断根的情况。今天这节课，我们将进一步学习如何运用判别式解决更复杂一些的问题，特别是已知根的情况，如何反过来确定方程中字母系数的取值范围，以及判别式在综合题中的应用。（板书课题：17.3一元二次方程根的判别式（3））（二）新知探究与应用(约25分钟)类型一：已知根的情况，求字母系数的取值范围1.例题1：当k为何值时，关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-1=0有两个不相等的实数根？*分析：*提问1：这是一个关于x的一元二次方程，首先要满足什么条件？（引导学生回答：二次项系数不为零，即k-1≠0，所以k≠1）*提问2：方程有两个不相等的实数根，意味着判别式Δ满足什么条件？（引导学生回答：Δ>0）*解答过程：解：∵方程(k-1)x²+2x-1=0是一元二次方程，∴k-1≠0，即k≠1。又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b²-4ac>0。其中a=k-1,b=2,c=-1。Δ=2²-4×(k-1)×(-1)=4+4(k-1)=4+4k-4=4k。令4k>0，解得k>0。综合以上，k的取值范围是k>0且k≠1。*强调：对于含字母系数的一元二次方程，在使用判别式之前，务必先考虑二次项系数不为零这个前提条件，否则容易出错。*学生练习：当m为何值时，方程x²-(m+2)x+4=0有两个相等的实数根？（让学生独立完成，点名板演，教师巡视指导，然后点评）（答案：m=2或m=-6）2.例题2：已知关于x的方程(m²-1)x²+(m+1)x+1=0。(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解。(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并指出此时方程的二次项系数、一次项系数和常数项。(3)若此方程有实数根，求m的取值范围。*分析与解答：第(1)(2)问旨在复习一元一次方程和一元二次方程的定义，为第(3)问做铺垫。第(3)问：“方程有实数根”，这个条件包含哪些情况？*若方程是一元二次方程（m²-1≠0），则需Δ≥0。*若方程是一元一次方程（m²-1=0且m+1≠0），则方程有唯一实数根。所以需要分情况讨论。解：(1)若方程为一元一次方程，则：m²-1=0且m+1≠0由m²-1=0得m=±1。由m+1≠0得m≠-1。∴m=1。此时方程为(1+1)x+1=0，即2x+1=0，解得x=-1/2。(2)若方程为一元二次方程，则m²-1≠0，即m≠±1。此时二次项系数：m²-1，一次项系数：m+1，常数项：1。(3)若方程有实数根，分两种情况：①当方程为一元二次方程时（m≠±1），Δ=(m+1)²-4(m²-1)×1≥0化简：m²+2m+1-4m²+4≥0-3m²+2m+5≥03m²-2m-5≤0解方程3m²-2m-5=0，得m₁=-1，m₂=5/3。不等式3m²-2m-5≤0的解集为-1≤m≤5/3。又∵m≠±1，∴-1<m<1或1<m≤5/3。②当方程为一元一次方程时（m=1），方程有实数根x=-1/2。综合①②，m的取值范围是-1<m≤5/3。*强调：“方程有实数根”这个条件，对于未明确次数的方程，要考虑它可能是一元一次方程（有解）或一元二次方程（Δ≥0）两种情况，不能想当然认为一定是一元二次方程。类型二：根的判别式在综合问题中的应用1.例题3：已知关于x的一元二次方程x²+(2m-1)x+m²=0有两个实数根x₁和x₂。(1)求实数m的取值范围。(2)若x₁²+x₂²=1，求m的值。*分析：(1)方程有两个实数根，即Δ≥0。(2)涉及到两根的平方和，可以利用完全平方公式(x₁+x₂)²-2x₁x₂=x₁²+x₂²，再结合韦达定理（根与系数的关系）来解决。这是判别式与韦达定理结合的典型题目。*解答过程：(1)∵方程有两个实数根，∴Δ=(2m-1)²-4×1×m²≥04m²-4m+1-4m²≥0-4m+1≥0-4m≥-1m≤1/4。(2)由韦达定理，得x₁+x₂=-(2m-1)=1-2m，x₁x₂=m²。∵x₁²+x₂²=1，∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂=1(1-2m)²-2m²=11-4m+4m²-2m²=12m²-4m+1-1=02m²-4m=02m(m-2)=0解得m₁=0，m₂=2。又由(1)知m≤1/4，∴m=2不合题意，舍去。∴m=0。*强调：在利用韦达定理求字母系数的值时，求出的解必须满足原方程有实数根的条件（即Δ≥0），因此要进行检验，舍去不合题意的解。（三）课堂小结(约5分钟)1.师生共同回顾：*运用根的判别式解决问题时，首先要注意什么？（二次项系数不为零，方程是一元二次方程时）*“方程有实数根”包含哪些情况？（一元一次方程有解；一元二次方程Δ≥0）*当已知方程根的情况求字母系数范围时，步骤是什么？（①确定方程类型；②根据根的情况列出不等式或等式；③求解；④综合条件下结论）*根的判别式与韦达定理结合时，要注意什么？（求出字母值后需代入判别式检验）2.教师总结：根的判别式是一元二次方程中的一个重要知识点，它不仅能帮助我们判断根的情况，还能与其他知识结合解决更复杂的问题。在解决问题时，一定要仔细审题，全面考虑，特别是涉及到字母系数时，要注意分类讨论，确保答案的准确性。（四）布置作业(约5分钟)1.基础题：*当k为何值时，方程(k+1)x²-2kx+k-2=0有两个不相等的实数根？*若关于x的一元二次方程x²-4x+m=0没有实数根，求m的取值范围。2.提高题：*已知关于x的方程x²-(k+2)x+2k=0。(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根。(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。*已知关于x的一元二次方程x²+2(m-1)x+m²=0的两个实数根的平方和为16，求m的值。3.思考题：*当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0与x²-4mx+4m²-4m-5=0的根都是整数？五、板书设计17.3一元二次方程根的判别式（3）一、复习回顾Δ=b²-4ac(a≠0)*Δ>0⇨两个不相等实根*Δ=0⇨两个相等实根*Δ<0⇨无实根二、应用探究类型一：已知根的情况求参数范围例1：(k-1)x²+2x-1=0有两个不等实根。解：1.二次项系数：k-1≠0⇒k≠12.Δ=2²-4(k-1)(-1)=4k>0⇒k>0∴k>0且k≠1注意：1.二次项系数≠0(一元二次方程前提)2.“有实数根”⇨分一元一次、一元二次讨论类型二：综合应用（与韦达定理结合）例3：x²+(2m-1)x+m²=0有两实根x₁,x₂，且x₁²+x₂²=1。(1)Δ=(2m-1)²-4m²≥0⇒m≤1/4(2)x₁+x₂=1-2m,x₁x₂=m²x₁²+x₂²=