浙江省新阵地教育联盟高三第二次联考数学试题

浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考数学试题卷命题：鄞州中学茹威豪等审题：嵊州中学吕金晶台州一中陈亚菲校稿：李慧华、王军民说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由或，所以.所以2.已知向量，，若，则x的值为（）A.6 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】应用平面向量垂直的坐标运算公式计算求解参数.【详解】因为向量，，且，所以，所以，得.3.已知平面互相垂直，则下列正确的是（）A.若直线，则B.若直线，则C.内有无数条直线与平行D.内的所有直线与都垂直【答案】C【解析】【分析】根据线面平行判定和面面平行判定，以及面面垂直判定，逐项判断，即可求得答案.【详解】选项A：若，可能与相交，也可能在内，不一定有，A错误；选项B：无法推出，可以平行或与相交或者垂直，B错误；选项C：根据线面平行的判定定理，内所有平行于交线的直线都与平行，这样的直线有无数条，C正确；选项D：内平行于交线的直线与平行，并非所有直线都垂直，D错误.由图可知ABD错误.【点睛】4.已知是定义在上的奇函数，满足，，则（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.【详解】将中的替换为可得，则，用替换，即，所以函数是以为周期的周期函数，由，令，则，且是定义在上的奇函数，则，所以，令，则，且，则，令，则，因，所以，所以，则.5.数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先证必要性，由“数列为常数列”出发，得出“数列为等差数列”；再证充分性，由“数列为等差数列”，设公差为，，得出当时，数列不是常数列，即可得出答案.【详解】若数列为常数列，则设，所以，于是，所以为等差数列；即“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要条件；若数列为等差数列，设公差为，，于是，，当时，数列不是常数列，所以“数列为等差数列”不是“数列为常数列”的充分条件；综上所述，“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要不充分条件，故选：B【点睛】注意充分性及必要性的证明，利用等差数列，常数列的相关知识，特别是当时，数列不是常数列.6.一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解.【详解】设甲掌握该知识概率为，记“甲回答正确”为事件，根据题意，，，.根据全概率公式，，代入已知，得：，解得.7.已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】令，因为，所以，所以，所以，所以，选项与此矛盾.8.已知，曲线，则（）A.当，时，曲线C表示两条直线B.当，时，曲线C表示圆C.，曲线C过原点D.，曲线C不能表示抛物线【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项，讨论为奇数和偶数的不同情况，来判断正误；利用反证法判断C选项；根据抛物线的方程特征来判断D选项.【详解】A选项：当时，当为偶数时，，方程化为，即，确实是两条直线；当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示两条直线，因此A错误；B选项：当时，当为偶数时，，方程化为，表示圆；当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示圆，故B错误；C选项：若曲线过原点，代入方程得，即，矛盾，不存在这样的，故C错误；抛物线的方程特征是：仅含一个二次项，另一变量为一次项，而本题方程中，和都是二次项，若要表示抛物线，必须有一个二次项系数为0，若，则，方程为，仅能表示两条直线或无实轨迹；若，则，方程为，也仅能表示两条直线或无实轨迹，因此对任意，曲线都不能表示抛物线，故

D正确.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数，其中，则下列正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误.【详解】选项A，计算得：，，因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误；选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确；选项C，设，则，若，则虚部，得，故，故C正确；选项D，，故，由两边约去得，不一定有，例如满足条件，但，故D错误.10.已知，则下列正确的是（）A.直线为的切线B.若，则C.若在上单调递增，则D.设为曲线在处的两条切线，若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据导数的几何意义可求得

处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确.【详解】已知，求导得选项A：当

时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为，故直线一定是的切线，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，，因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确；选项D：求导得：，切线等价于

，整理得：，因为，两边除以得，即，故D正确.11.已知的面积为，若，，则（）A. B.C.的外接圆半径为1 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项.【详解】在中，，故，代入原式得：

，又，，将其代入式得

，因为三角形中，又由，而在三角形中，故，即为钝角，故，因此只能，即，得，，所以

，，将上述等式代入得，解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误；设外接圆半径为，由正弦定理得，，，面积，得，选项C正确；，选项D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的常数项为_____【答案】【解析】【分析】先出展开式的通项，令指数等于，求得的值，即可求解.【详解】的展开式的通项为，令可得，所以常数项为，故答案为：.13.已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，，则由，可得，所以①．又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，由方程组①②可得，化简得，解得，因为，所以，即，解得．所以该椭圆的离心率的取值范围是．14.已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球与圆锥的侧面、底面均相切．球与球外切，且与圆锥的侧面相切．球心位于圆锥的顶点和之间，则球的体积为________．【答案】【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，利用面积法及相似三角形性质求出球的半径即可.【详解】依题意，圆锥的轴截面截球得球的大圆，且为圆锥轴截面等腰的内切圆，截球得球的大圆，该圆与圆外切，与都相切，设球、球的半径分别为，在等腰中，，则边上的高，由，得，解得，显然圆可视为平行于的中位线截所得小三角形的内切圆，而此小三角形与相似，因此，解得，所以球的体积.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点．（1）证明：平面平面；（2）设直线与平面所成角为，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面.（2）方法1：先确定为直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的取值范围.方法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角正弦的取值范围.【小问1详解】因为，且为线段中点，所以．又因为底面，平面，所以．而，且，因此平面而平面，因此．又因为，所以平面．而平面，所以平面平面.【小问2详解】法一：由（1）可知直线与平面所成角为，因此不妨设，则，所以法二：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．不妨设，设，，则，，，，，，，设平面的一个法向量，，即，令，则，则，因此.16.如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，．（1）当时，求的长度；（2）求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用余弦定理计算求解；（2）先应用正弦定理计算，结合两角和余弦公式化简应用面积公式计算求解最值.【小问1详解】因为，且，所以易知，且，故，所以【小问2详解】因为，所以．又因为，所以．故，因此而．此时．故面积的最小值为17.为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表：场地胜负情况合计胜负主场6040100客场203050合计8070150（1）根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关；（2）用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为．①求；②记，求．附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）认为胜负情况与主、客场有关（2）①；②【解析】【分析】（1）求出卡方，结合独立性检验思想方法判断即可.（2）①根据题意求出，再结合等比数列化简即可.②结合分组求和法、错位相减法求和即可.【小问1详解】零假设：胜负情况与主、客场无关，根据表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为胜负情况与主、客场有关，该推断犯错的概率不超过0.05．【小问2详解】①根据题意，由频率估计概率，可得甲在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为．第场获胜的概率，可能存在两种情况，即第场甲胜或甲负，所以，即，因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以．②，记，则，两式相减得，故，则.18.已知双曲线的离心率为，且过点，O为坐标原点．设点，过P作C的两条切线，（其中直线的斜率小于直线的斜率）．（1）求双曲线C方程；（2）求，的直线方程；（3）平面上一动点，过A作C的两条切线，，与双曲线的左支切于点E，与双曲线的右支切于点F，与交于点M，与交于点N．求直线EF与直线MN的交点Q的轨迹方程．【答案】（1）（2），的直线方程为（3）【解析】【分析】（1）根据离心率可得，代入点可得，，即可得双曲线方程；（2）设过的切线方程为，联立方程结合判别式可得，即可得切线方程；（3）设直线，联立方程结合判别式可得，求交点坐标，以及交点Q的坐标，即可得轨迹方程.【小问1详解】因为，则，将点代入双曲线方程得，解得，，故双曲线方程为.【小问2详解】设过的切线方程为，联立方程，消去y得，则，解得，故，的直线方程为．【小问3详解】已知，设直线，联立方程，消去y得，则，即，且，可得，即，则，切点，且，即当斜率不存在时，切线方程，切点，则，联立方程，解得，联立方程，解得，则，可得．联立方程，解得，故交点的轨迹为．19.已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）当时，设正项数列，其中为函数从小到大的第n个极值点，①证明：数列为等比数列；②证明：．【答案】（1）单调增区间为，无减区间（2）①证明见解析；②证明见