北师大版小学三年级数学下册：除法竖式起始位的确定与商的位数估算（教学设计）

北师大版小学三年级数学下册：除法竖式起始位的确定与商的位数估算（教学设计）

  教学设计基本信息

  学科：数学

  学段：小学三年级

  课时：1课时（40分钟）

  教材版本：北师大版小学数学三年级下册

  核心内容领域：数与代数

  相关领域：数据意识、推理意识、应用意识

  设计理念：本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生的核心素养，特别是运算能力和推理意识。设计遵循“具体—表象—抽象”的认知规律，将商的位数判断这一程序性知识，转化为在真实问题情境中主动探索和意义建构的过程。通过引导学生深度理解除法竖式每一步的算理，特别是“从被除数的最高位除起”这一核心法则的本质，使学生不仅掌握判断商位数的方法，更能理解其背后的位值原理和数量级概念，实现从“会算”到“懂理”的跨越，培养初步的估商能力和数感。

  学习内容深度解析

  本课时内容位于北师大版三年级下册第一单元“除法”的第三课时。此前，学生已经学习了两位数除以一位数的笔算除法（包括有余数和没有余数的情况），掌握了除法竖式的基本书写格式和计算步骤，理解了“从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面”的运算法则。然而，对于三位数除以一位数，学生面临一个新的认知挑战：如何确定商的起始位置，进而预判商是几位数？这并非简单的计算技能，而是对除法意义、位值制和数量级关系的深度理解与应用。

  从数学知识的内在逻辑看，“商的位数”问题直接指向除法运算中的核心概念——“商的定位”。在整数除法中，商的位数由被除数与除数的大小关系，特别是被除数最高位上的数字与除数的比较结果决定。当被除数的最高位大于或等于除数时，商的位数与被除数相同；当被除数的最高位小于除数时，商的位数比被除数少一位。这一定律的根源在于十进制记数法下的位值原则。理解这一点，要求学生能够跳出逐位计算的机械流程，从整体上把握被除数与除数的数量级关系，这是培养数感和估算能力的关键契机。

  从学科素养的视角分析，本课是发展学生“推理意识”和“运算能力”的绝佳载体。学生需要通过观察、比较、归纳一系列算例，发现商的位数规律，并用数学语言进行表达和验证，这是归纳推理的过程。而在应用规律进行预判时，又是演绎推理的过程。同时，预判商的位数是提高除法运算正确率和效率的重要策略，是运算能力的重要组成部分。本课的学习，将为学生后续学习多位数除以两位数、小数除法乃至科学记数法中对数量级的理解，奠定坚实的思维基础。

  学习者分析

  三年级的学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期。他们的思维特点是以具体形象思维为主，正逐步发展抽象逻辑思维。对于本课内容，学生的认知基础、潜在困难和发展需求分析如下：

  认知基础：学生已经熟练掌握表内乘除法，能够笔算两位数除以一位数，理解了除法是“平均分”的运算，具备初步的位值概念（知道百位、十位、个位代表不同的值）。在生活经验中，他们对于“多”和“少”、“大约是多少”有直观感知。

  潜在困难：1.思维定势干扰：从两位数除法过渡到三位数除法，学生容易机械迁移“从十位除起”的经验，不理解为何有时要从百位除起，有时要从十位除起。2.概念理解抽象：“商的位数”是一个相对抽象的概念，学生可能只会背诵“比大小”的口诀，而无法将其与除法的意义（“够不够分”）和位值（“百位上的1代表100”）建立实质性联系。3.语言表达障碍：用规范的数学语言清晰地解释判断理由，对学生来说是较高的要求。

  发展需求：学生需要通过大量的操作活动（如小棒分一分、方块图画一画）和算理直观演示，将抽象的定位法则具象化。他们需要在“猜想—验证—解释—应用”的完整探究循环中，主动建构知识，发展归纳和推理能力。同时，设计有层次、有挑战性的问题，能够激发学生的探究欲，满足其思维发展的内在需求。

  学习目标设定

  基于以上分析，设定如下三维学习目标：

  1.知识与技能：探索并掌握三位数除以一位数（商是三位数或两位数）的笔算方法中，确定商的首位位置（即起始位）的规则。能根据被除数的最高位数字与除数的大小关系，准确判断商是几位数，并说明理由。能正确书写除法竖式的起始步骤。

  2.过程与方法：经历“发现问题（商的位置不同）—提出猜想—举例验证—归纳规律—解释应用”的完整数学探究过程。通过操作学具、观察对比、合作交流等活动，理解判断商是几位数的算理，发展归纳概括能力和初步的推理意识。

  3.情感态度与价值观：在探究规律的过程中，体验数学思考的条理性和结论的确定性，增强学习数学的自信心和兴趣。体会预判商是几位数对提高计算正确率的价值，养成估算和反思的运算习惯。

  学习重难点

  学习重点：理解和掌握判断三位数除以一位数，商是几位数的方法。

  学习难点：理解“为什么被除数百位上的数比除数小时，商就是两位数”的算理本质，即从被除数的前两位除起的必要性。

  学习资源与工具

  1.多媒体课件：呈现核心问题、动态演示分小棒或方块图的过程、展示对比性例题、提供即时反馈。

  2.实物学具：小棒（10捆，每捆10根，及零散单根）或计数方块图（百格板、十格条、单个方块）。用于学生动手操作，直观理解分的过程。

  3.学习任务单：包含预学任务、核心探究记录表、分层练习和课后延伸思考题。

  4.交互式反馈工具：如投票器或在线互动平台，用于快速收集全班对“商是几位数”的判断，呈现数据分布，引发认知冲突。

  学习过程设计

  第一阶段：课前预学，激活经验（约5分钟，课始环节）

    师生互动：

    教师出示预学任务单上的两组计算题，请学生独立完成。

    第一组：回顾旧知

    48÷4=（竖式计算）

    65÷5=（竖式计算）

    第二组：尝试新知

    168÷4=（只要求列出竖式，尝试写出第一步，即商的第一位写在哪一位上，并思考为什么？）

    256÷8=（要求同上）

    设计意图：

    第一组题旨在激活学生关于两位数除以一位数笔算的已有经验，特别是“从十位除起”的已有认知。第二组题是本节课新知的“先行组织者”，让学生直面三位数除以一位数时“商的第一位写在哪”的困惑，产生认知冲突和探究需求。学生在尝试中可能产生不同的写法（如168÷4，有的从百位“1”开始想，发现不行；有的直接看“16”），这为课堂上的讨论提供了丰富的原始素材。教师通过巡视，快速诊断学情，明确本节课的起点。

  第二阶段：课中探究，建构新知（约25分钟）

    环节一：情境导入，提出问题

    师生互动：

    课件出示情境：学校图书馆采购了三种不同数量的新书，准备平均分给几个班级。

    情境1：有256本故事书，如果平均分给2个年级，每个年级分到多少本？

    情境2：有256本故事书，如果平均分给8个班级，每个班级分到多少本？

    教师提问：“请同学们先不计算，凭感觉猜一猜，哪个情境下分得的书本数会多一些？为什么？”

    学生基于生活经验（分的份数少，每份就多）进行猜测。教师追问：“在数学上，我们可以用除法来解决。列出算式分别是256÷2和256÷8。那么，它们的商分别会是几位数呢？今天我们就来研究‘商是几位数’这个问题。”

    设计意图：

    从真实、连贯的情境出发，引出两个结构相同（被除数相同）但除数不同的除法算式。通过“猜一猜谁的结果大”调动学生的生活经验和数感，自然聚焦到“商的位数可能不同”这一核心问题上，激发探究兴趣。同时，将“商是几位数”的问题与“商的大小”建立感性联系，为后续理解算理做铺垫。

    环节二：操作探究，理解算理

    师生互动：

    1.聚焦第一个算式：256÷2。

    教师：“我们先来看256÷2。请同学们拿出小棒或方块图，表示出256。想一想，要把这256平均分成2份，你应该怎么分？是从哪一部分开始分最方便？”

    学生动手操作：他们手中有2个百（两捆100根的小棒或两个百格板）、5个十（5捆10根的小棒或五条十格条）、6个一（6根单根小棒或6个单方块）。在分的过程中，学生很自然地会先分“2个百”，因为“2个百正好可以平均分成2份，每份是1个百”。教师请学生上台演示分的过程，并同步用课件动画展示：将2个百平均分成2份，每份1个百；剩下的5个十平均分成2份，每份2个十，还余1个十；将余下的1个十和6个一合起来是16个一，再平均分成2份，每份8个一。

    教师提问：“在竖式计算中，我们是怎么体现这个分的过程的？商的第一位‘1’写在哪一位上？它代表什么？”

    引导学生得出：从被除数的最高位（百位）除起，2个百除以2商1个百，所以“1”要写在百位上。商是三位数。

    2.聚焦第二个算式：256÷8。

    教师：“我们再来挑战256÷8。还是用这些小棒或方块表示256。现在要平均分成8份，你还能像刚才那样，先从2个百开始分吗？试一试。”

    学生动手操作：尝试将2个百分给8份，发现“2个百不够分成8份，每份得不到一个完整的百”。教师引导：“那怎么办？我们可以把这些百‘打开’或‘兑换’成更小的单位吗？”学生思考后，会将2个百兑换成20个十，与原有的5个十合起来，变成25个十。现在，25个十平均分成8份，每份可以得到3个十（30），还余1个十。余下的1个十再兑换成10个一，与原有的6个一合起来是16个一，继续分。

    教师用课件动态演示“兑换”和“合起来再分”的过程。提问：“在这个分的过程中，我们第一次真正分出去，是在分哪一位上的数？在竖式里，我们应该从哪一位开始除起？商的第一位‘3’写在哪一位上？它代表什么？”

    引导学生得出：因为2个百除以8不够商1个百，所以要把2个百和5个十合起来看成25个十来除。第一次分的是“十位”上的数（实际上是前两位代表的25个十），所以商的第一位“3”要写在十位上，它代表3个十。商是两位数。

    设计意图：

    这是本节课最核心的环节。通过两次精心设计的操作活动，将抽象的笔算程序还原为具体的“平均分”物操作。重点对比两次“分”的起点不同：当最高位“够分”时，就从最高位开始分；当最高位“不够分”时，就需要与下一位“合起来”再分。操作活动让“为什么有时商写在百位，有时写在十位”变得可视、可触、可理解。学生不仅记住了规则，更理解了规则背后的“道理”——除法是“平均分”，竖式计算是这一分物过程的简洁记录。这深刻揭示了判断商是几位数的算理本质。

    环节三：观察比较，归纳规律

    师生互动：

    教师将两个算式的竖式起始步骤并列呈现：

    256÷2：先从百位2除起，商1写在百位。

    256÷8：先看百位2除以8不够商1，看前两位25除以8，商3写在十位。

    教师提问：“观察这两个算式，什么情况下商是三位数？什么情况下商是两位数？决定商的首位写在哪一位的关键是什么？”

    引导学生小组讨论，尝试用自己的语言总结规律。学生可能会说“百位上的数比除数大（或等于），商就是三位数”、“百位上的数比除数小，商就是两位数”。

    教师进一步规范数学语言，并板书核心规律：

    三位数除以一位数：

    1.如果被除数百位上的数大于或等于除数，商是三位数。

    2.如果被除数百位上的数小于除数，商是两位数。

    教师追问：“谁能结合刚才分小棒的过程，解释一下为什么百位上的数比除数小，商就是两位数？”引导学生从算理层面解释：因为百位上不够分一个百，所以商不可能在百位，必须看前两位，商就从十位开始，所以商是两位数。

    设计意图：

    在充分感知和理解算理的基础上，引导学生从具体例子中观察、比较、归纳出一般性的规律。这是从特殊到一般，形成数学结论的关键步骤。鼓励学生用自己的语言表达，再逐步规范，体现了知识的内化过程。追问“为什么”，促使学生将规律与算理关联，实现“法理相通”，避免机械记忆。

    环节四：即时应用，巩固内化

    师生互动：

    1.快速判断游戏：教师出示一组算式，如：348÷6、515÷5、294÷7、612÷3。学生不计算，快速用手势（伸出3个手指或2个手指）判断商是几位数，并简要说明理由（“因为百位上的3比6小，所以商是两位数”）。

    2.纠错小医生：课件出示几个有错误的竖式起始步骤，如计算327÷3时，有的学生将商的首位写在十位上。请学生诊断错误原因并改正。

    3.挑战题：□56÷4，要使商是三位数，□里最小填几？要使商是两位数，□里最大填几？引导学生逆向思考，深化对规律的理解。

    设计意图：

    通过层次分明、形式多样的即时练习，巩固新知。手势判断游戏活跃气氛，快速检测全班掌握情况。纠错练习直击学生可能出现的典型错误，在辨析中强化正确认知。挑战题将规律从“判断”提升到“调控”，需要学生逆向应用规律，思维更具挑战性，满足学有余力学生的需求。

  第三阶段：课后延伸，发展素养（约10分钟）

    环节一：分层练习，综合应用

    师生互动：

    学生独立完成学习任务单上的分层练习。

    基础层：根据规律直接判断商是几位数，并完成相应的竖式计算（确保起始位正确）。

    提高层：解决实际问题。如：“一套《百科全书》售价876元，是一本普通故事书价格的6倍。一本故事书多少钱？”学生需要先判断876÷6的商是几位数，再进行计算，并作答。

    拓展层：（1）探索四位数除以一位数，商是几位数的规律。（2）思考：如果除数是两位数，比如256除以32，你能想办法判断商是几位数吗？（不要求计算，只引发思考）

    设计意图：

    分层练习尊重学生差异，让不同层次的学生都能获得成功的体验。基础题巩固技能；提高题将新知融入实际问题，体现数学应用价值；拓展题引导学生将探究的视角从三位数自然延伸到四位数，甚至除数是两位数的情况，建立知识之间的联系，激发持续探究的欲望，培养迁移和类推能力。

    环节二：总结反思，升华认知

    师生互动：

    教师引导学生围绕以下问题回顾本节课：

    1.今天我们学到了判断商是几位数的方法，它的核心规律是什么？

    2.我们是通过什么过程发现这个规律的？（回顾“操作—观察—归纳”的探究路径）

    3.理解这个规律，对我们进行除法计算有什么帮助？（预判位数，检查计算，提高正确率）

    学生自由发言，教师总结升华：“数学中的规律往往隐藏在具体现象的背后。今天我们像数学家一样，通过动手操作、仔细观察、大胆猜想、小心验证，发现了除法中的一个重要规律。更重要的是，我们明白了这个规律不是凭空产生的，它源于‘平均分’的实际需要。希望同学们在今后的计算中，养成先估一估商是几位数的好习惯，让你的计算更有把握！”

    设计意图：

    引导学生从知识、方法、价值三个层面进行总结反思。不仅回顾“学到了什么”，更反思“是怎么学到的”以及“学了有什么用”。这有助于学生将零散的知识点系统化，将探究活动经验化，并将数学学习的价值（如培养严谨习惯、提高效率）内化为自己的认知，实现素养的全面提升。

  学习评价设计

  1.过程性评价：

    观察评价：在操作探究和小组讨论环节，教师巡视观察，评价学生参与活动的积极性、操作的规范性、与同伴交流合作的有效性、语言表达的清晰度。

    提问评价：通过课堂提问，评价学生对算理的理解深度（如能否结合分物过程解释规律）和逻辑表达的条理性。

    即时反馈评价：通过手势判断游戏、在线互动平台的答题统计，实时评价全班对规律掌握的总体情况和个体差异。

  2.形成性评价：

    通过课堂分层练习的完成情况，进行纸笔评价。设计评价量规如下：

    A级（优秀）：能熟练、准确地判断商的位数，并清晰阐述算理依据；能正确、熟练完成竖式计算；能灵活运用规律解决变式问题和实际应用问题。

    B级（良好）：能正确判断商的位数，并能依据规律说明理由；能正确完成竖式计算。

    C级（合格）：在提示下能判断商的位数，对算理理解有些模糊；竖式计算基本正确，但起始位偶有错误。

    D级（需努力）：判断商的位数经常出错，不理解算理；竖式计算错误较多。

  3.发展性评价：

    拓展层练习的完成情况，作为评价学生数学思维深度和迁移能力的参考。课后可布置一项小调查或数学日记：“找一找生活中哪些地方可能会用到‘判断商是几位数’的知识？”，将数学学习与生活实践相联系，评价学生的应用意识。

  教学反思与改进

  （本部分为预设性反思，用于完善教学设计）

  本节课成功的关键在于将“商的位数”这一程序性知识的教学，转化为一个富有挑战性的探究课题。通过“认知冲突—操作感知—算理明晰—规律归纳—应用拓展”的教学主线，引导学生亲历知识的形成过程，实现了对数学法则的深度理解。

  预计可能出现的教学难点及应对策略：

  1.难点：部分学生在操作中可能只关注“分”的结果，而忽略“分”的顺序和“不够分时怎么办”的思维过程。

    策略：教师的课件演示和提问引导要聚焦关键步骤。例如，在演