天津市南开中学2025-2026学年高二下学期质量监测数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市南开中学高二（下）质量监测数学试卷（一）一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。1.下列函数求导正确的是（）A.（x3）′=3x3 B.（sinx）′=-cosx

C.（（2x+1）2）′=8x+4 D.2.y=e-2x在x=0处的导数为（）A.-2 B. C. D.23.已知函数，则其在x=1处的切线方程为（）A.2x-y+2=0 B.x-y+2=0 C.x-y+3=0 D.2x+y-2=04.下列函数中，在区间（1，+∞）内单调递增的是（）A.y=sinx B. C.y=x3-x-2 D.y=lnx-x5.函数在区间（0，+∞）上（）A.有极大值，且极大值为27 B.有极大值，且极大值为

C.有极小值，且极小值为 D.有极小值，且极小值为-276.函数f（x）=（x2-3x+1）ex的最小值为（）A.-e B.-e2 C.5e-2 D.e7.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（）A.8种 B.10种 C.12种 D.14种8.函数的图象大致为（）A. B. C. D.9.若f（x）是定义在区间（-3，2）上的函数，其图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为（）A.（-2，-1）∪（1，2）

B.（-1，0）∪（1，2）

C.（-2，-1）∪（0，1）

D.（-3，-2）∪（0，1）10.设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）A.f（x）＞0 B.f（x）＜0 C.f（x）＞x D.f（x）＜x11.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，2） B. C. D.（1，2）12.已知函数f（x）=ex，g（x）=xa（x＞0），若存在直线l既是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，则实数a的取值范围是（）A.（0，1） B.（0，e]

C.（0，1）∪（1，e] D.（0，1）∪[e,+∞）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.若复数z满足z•i=3-i,则|z|=

.14.已知直线l：y=m（x+2），圆M：（x-1）2+（y-1）2=4，若圆M截直线l所得两段弧长之比为3：1，则m=

.15.若函数f（x）=lnx+ax2-4x在区间（1，3）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是

.16.已知圆柱的表面积为18π，则圆柱体积的最大值为

.17.将图中四棱锥P-ABCD的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色.共有

种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有

种不同涂法.

18.已知函数若函数y=f（f（x）-a）恰有4个零点，则实数a的取值范围是

.三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题14分)

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AB=AA1=2，AD=DC=1，M，N分别为DD1，B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M；

（Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；

（Ⅲ）求三棱锥B-B1MC的体积.20.(本小题15分)

已知函数.

（I）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求f（x）在（0，2]上的最值.21.(本小题15分)

已知函数，其中a∈R.

（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围.22.(本小题16分)

已知函数f（x）=ae-x-ln（x+1），a∈R.

（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线经过（-2，0），求a的值；

（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点，

（i）求a的取值范围；

（ii）若m,n∈R满足，f（m）＞0且f（m）=f（n）+1，证明：|n-m|＜1.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】B

12.【答案】D

13.【答案】

14.【答案】或1

15.【答案】（，+∞）

16.【答案】6

17.【答案】7248

18.【答案】

19.【答案】取B1C的中点E，连接NE，ME，

因为N是B1C1的中点，

所以NE∥CC1，NE=CC1，

又M为DD1的中点，

所以MD1∥CC1，MD1=CC1，

所以NE∥MD1，NE=MD1，

所以四边形MD1NE是平行四边形，

所以D1N∥ME，

而D1N⊄平面CB1M，ME⊂平面CB1M，

所以D1N∥平面CB1M

20.【答案】（I）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．

（Ⅱ）最小值为，最大值为．

21.【答案】（I）3x-2y-5=0．

（Ⅱ）．

22.【答案】

（i）a∈（-∞，-1）；（ii）证明：由a＜-1，当x≥0时，ae-x≤a＜-1-l（x+1）≤0，故f（x）＜-1＜0．

因f（m）＞0，故m∈（-1，0）．

由f（m）=f（n）+1，得f（n）=f（m）-1＞-1，结合x≥