菱形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.2

菱形

第1课时菱形的性质定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：除具有平行四边形的性质还具有如下性质：①菱形的四条边都相等；②每一条对角线平分一组对角(菱形是轴对称图形)；③菱形的两条对角线互相垂直菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．

根据下图填一填：(1)已知菱形ABCD的周长是20cm，那么它的边长是____cm；(2)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则∠BAC＝____°；(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的边长是_____cm，周长是_____cm.5601352解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∠BCD＝2∠ACD＝60°. ∴∠ABC＝180°－∠BCD

＝180°－60°

＝120°. (RJ八下P73例3·改编)如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6.(1)求∠ABC的度数；

解：(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，

∴AC⊥BD，BO＝DO＝3，AO＝CO. ∵∠ACD＝30°，∴CD＝2DO＝6. ∴CO＝. ∴AC＝2CO＝. ∴菱形ABCD的面积为.(2)求AC的长和菱形ABCD的面积．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C. 又∵AM＝CN，

∴△DAM≌△DCN(SAS). ∴DM＝DN.∴∠DMN＝∠DNM.如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB和BC上的点，且AM＝CN.求证：∠DMN＝∠DNM. 证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BCE＝∠DCE，BC＝DC，AB∥CD. ∴∠AFD＝∠CDE. 又∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS). ∴∠CBE＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.

如图，四边形ABCD是菱形，F是边AB上一点，DF交AC于点E.求证：∠AFD＝∠CBE.1.如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为6和8，则菱形的周长为_____；面积为_____．20242.已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为()A．24B．47C．48D．96 D3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两顶点A，B的坐标分别是(3，0)，(0，2)，则菱形ABCD的周长是________．

解：(1)由题意知，四边形ABCD是菱形，边长为4cm，∴AB＝BC＝4cm，AC⊥BD，

OA＝OC，OB＝OD. ∵∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝∠BAD＝60°. ∴△ABC是等边三角形．

4.如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝120°，对角线AC，BD相交于点O.求： (1)菱形的两条对角线长；

∴AC＝AB＝4cm. ∴AO＝AC＝2cm. 在Rt△AOB中，

BO＝(cm). ∴BD＝2BO＝cm. ∴菱形的两条对角线长分别为4cm，cm. 解：(2)菱形的面积＝(cm2).(2)菱形的面积．

5.(创新意识·核心素养)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，DB＝8，过点A作AE⊥BC于点E. (1)AE的长为________；

∴AE∥DF，∠AEF＝90°. ∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BC＝5，AD∥BC. ∴四边形AEFD为矩形．

∴EF＝AD＝5.∴四边形AEFD的面积＝AE·EF＝24.(2)过点D作DF⊥BC，垂足为F，求四边形AEFD的面积．解：(2)如图，∵AE⊥BC，DF⊥BC，

6.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合． (1)求证：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有

BE＝CF；

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，AB＝BC，AB∥CD. ∴△ABC为等边三角形．

∴AB＝AC. ∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF. ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC. ∴∠BAE＝∠CAF. ∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE＝CF. (1)证明：如图，连接AC. (2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．由(1)得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值．

(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝2. ∴AH＝. ∴S四边形AECF＝S△ABC＝.∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF. 如图，过点A作AH⊥BC

于点H.∴△CEF的周长为CE＋CF＋EF＝CE＋BE＋EF＝BC＋EF＝BC＋AE. 由“垂线段最短”可知，当等边三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△CEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长最小，为.第2课时菱形的判定如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD. ∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAD＝∠FAD. ∴∠EAD＝∠EDA. ∴EA＝ED. ∴四边形AEDF是菱形．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD. ∴OD＝OC. ∴四边形OCED是菱形．

如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点D，C作AC，BD的平行线交于点E.求证：四边形OCED是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6. ∵OA2＋OB2＝82＋62＝100＝102＝AB2，

∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝10，OC＝8，OD＝6.求证：▱ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC. ∵DE＝BF，

∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．

如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

AC＝AD＝CD. ∴AB＝BC＝AD＝CD. ∴四边形ABCD是菱形．如图，两个等边三角形拼在一起．求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵AC，BD互相垂直平分，

∴AB＝CB＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形．

(RJ八下P75T1)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分，求证：四边形ABCD是菱形．1.如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD：①画2个单位长度的线段AC；②以点A，C为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交于点B，D；③连接AB，BC，CD，DA，BD，则∠CBD的度数是_____．

30°2.(RJ八下P75T2·改编)如图，将两张等宽且对边平行的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？

解：四边形ABCD是菱形．理由如下：

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴∠AEB＝∠CFB＝90°. 又∵AE＝CF，∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(AAS). ∴AB＝BC.∴四边形ABCD是菱形．

如图，过A，C两点分别作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F.3.(RJ八下P74例4·改编)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．

证明：在矩形ABCD中，

AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠AEF＝∠CFE. ∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为边AB，CD的中点，∴AD＝CB，AB＝CD，∠DAE＝∠C，AE＝AB，

CF＝CD. ∴AE＝CF.∴△ADE≌△CBF(SAS). 4.(创新意识·核心素养)如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BD，BF，AG∥DB交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)证明：∵E，F分别为边AB，CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD. 又∵AB＝CD，∴BE＝DF. 又∵B