北师大版高中数学选择性必修第二册第2章导数及其应用模块综合测评A【原卷+答案】

模块综合测评A

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.等比数列｛〃“｝中,出,如是函数yU）=p4x+3的两个零点，则等于（）

A.-3B.3C.-4D.4

2.设函数若八-1）=3,则a的值为（）

A.-1B.；C.lD3

3$是等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若卷=匏啜为（）

A扁C.jD.l

4.函数./U）=^-x（e为自然对数的底数）在区间［-1,1］上的最大值是（）

A14B，CZDel

5设a=3（3：n3）力=畔尸竽则q,b,c的大小关系是（）

32

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

6.设等比数列｛小｝的前〃项和为5“,且满足0+s=*S6=9S3.若①=log2〃“,则数列｛瓦｝的前10项和是

（）

A.-35B.-25C.25D.35

7.设等比数列｛〃”｝的前〃项积为S%若S3=1,S9=512,则fln=（）

A.2B.4C.8D.I6

8.函数段）在定义域R上的导函数是八#,若危尸人2/）,且当工£（・8』）时小1）/（A）<0.设

a=^\b=fty/2）tc=fl\og2^）M（）

\.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求.全部选

对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.等差数列｛斯｝足递增数列，满足m=3g前〃项和为S“，下列选项正确的足（）

Az/>0B.«i<0

C.当〃=5时$最小D.5„>0时,〃的最小值为8

10.设等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”,且满足5|5>。56<0,则（）

A.〃8>0B.fl9<0

C.%,4…，结中最大的项为也D.上线…，结中最大的项为瓯

aa

al2«15a9al2a15a8

1L［2O24全国新高考卷【』0世函数儿。=（心1）2（心4）,则（）

A.x=3是函数/(x)的极小值点B.当0y<I时)

C.当l<x<2B'j,-4</(2x-I)<0D.当-IvxvlO时<2-x)/外

三、填空题:本题共3小题.每小题5分或15分.

12.已知数列｛〃”｝的前〃项和S,尸〃2+2〃-1,则。|+。3+。5+…+。25=.

13J2024全国新高考卷I,13］若曲线产F+x在点(0,1)处的切线也是曲线)=ln(x+l)+4的切线，则

a-.

14.若函数以)=or3.|f+i存在唯一的零点的,且回乂)厕实数&的取值范围是.

四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)设函数及)=223("1)f+6依+8.其中a£R.已知/U)在x=3处取得极值.

(1)求“X)的解析式;

(2)求为)在点A(l/6)处的切线方程.

16.(15分)函数於:)=«?+3/+3以存0).

(1)讨论函数./(M的单调性；

(2)若函数久0在区间(1,2)上单调递增，求”的取值范围.

17.(15分)某公司自2022年起,每年投入的设备升级资金为500万元,预计自2022年起(2022年为第I

年),因为设备升级，第〃年可新增的盈利^=[1000(1^06^)n>J单位:万元)求

(1)从哪一年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

(2)从哪一年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

18.(17分)已知各项都不为零的数列｛%｝,｛仇｝的前〃项和分别是S"”,满足。产1,25产硒〃+]且

2blt=Tn+2.

⑴求数列｛。“｝,｛瓦｝的通项公式;

⑵若数列｛Ca｝对任意〃£N+都有&+—+—+由二儿恒成立，求Cl+C2+C3+...+c〃.

由。2。3Qn

19.(17分)[2024湖北黄冈流水模拟]已知函数^v)=x+ln及g(x)=e\

⑴求函数H(x)Jx)-xg(x)的最大值；

⑵当总时，证明:怒署尹+1.

参考答案

模块综合测评A

1.B丁a5M7是函数於)三/心+3的两个零点，

.•.45/7是方程P4x+3=0的两个根,...6。7=3,由等比数列的性质可得的。9=。547=3.

2.C•・/(x)=3av2,•**/(-1)=36-3,/.a=\.

3.A设S3=a,S6=34则S3,S6s3,S9-S6,Si2-S9是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为

a,2a,3a,4a,吉攵粤=————=

Sj.2Q+2Q+3a+4<z10

4.D八幻二e",令Ar)=(),得x=().

当-1刀<0时/(x)<0,

当0yl时/⑶>o,

又网尸e-l>l次

且e-l-(14--!-')=e---2=£-^-i>0,

\e/ee

所以7U)max寸l)=e-l.

5.C令刎号则一竽=学信,

,lnV6ln6。八In2ln4..

b=—=—=y(6),c=—=—=7n(4),

由./W=¥可得八X)二臂且A>0,

由F(x)〈0可得x>e,所以凡¥)二号在(e,+8)内单调递减.

因为9>6>4,所以y(q)</(6)勺(4),

所以a<b<c,故选C.

Qi(l+q3)=",

6.C设等比数列｛a｝的公比为q.由题意知好1,则言CH”得⑴也解得%=%，

q=2,

所以4产：x2"」:2".3,所以仇二无3,所以数列｛儿｝的前10项和八」""；匕⑹=5x(-2+7)=25.

7.C因为53=1,59=512,所以0。2。3=「2=1，。1。2。3...49=入1=512,解得。2=1,。5=2,则夕3="=2,故

2

01=4249=23=8.故选C.

8.A•・•当4£(-8,1)时,。-1»(幻<0,

•VU)>0,・・・J(X)在区间(-8/)内单调递增.

又力㈤寸2㈤,

••mx)的图象关于直线x=l对称，

在区间(1,4-00)内单调递减.

•・Z=A())=A2)/^或)了=/0限8)》3),

•*.c<a<b,

9.ADD由题意「殳等差数列［小｝的公差为d,

因为47=3%可得0+6介3(0+4"),解得。尸-34又由等差数列｛〃”｝是递增数列，可知d>0,则0<0,

故A,B正确；

因为s尸家+G广加步等?二知分2-等，

由〃£N+可知，当〃=3或〃=4时,S”最小，故C错误；

令S尸我多>0,解得w<0或〃>7,即S〃>0时,〃的最小值为8,故D正确.

10.ABD由$5=1S⑼1015)=15*>0,得小>。4正确；

由Sm=16(a】；a】6)二竺号也<0,得6+虑④,所以密<0,且tZ<0,B正确；

因为d<0,所以数列｛知｝为递减数列，所以0…“8为正49,…M,为负，且S1,…55为正,$6,…S为

负，则江…，包为正，江…，也■为负,C错误；

Q1。8a9Q15

当心8时$单调递增M”单调递喊，所以员单调递增,所以鱼■声….，结中最大的项为星,D正确.

a”^15a8

11.ACVXx)=(x-l)2(.r-4),A函数式幻的定义域为R,且八幻=3(工-1)(『3).令人幻二3(心1)(43)=0,得

x=\或x=3.当x<l或x>3时J'(x)>(VU)单调递增，当1Vx<3时/a)<0JU)单调递减,，x=3是函数

府)的极小值点,・・・A正确.当0<x<\时又由上可知当0<x<l时。x)单调递增,・•・

7U2)勺(X),工B错误.当I<x<2时<2广1)=(2x-1-1)2(201-4)=4(x-1)2(2x-5)<0J(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-

l)>0,即次2¥-l)>-4,・・・C正确式2㈤次¥)=(2*1)2(2*4)-(41)2(44)=.2(片1)3.当J<X<10时次2・X).

府)=-2(41"的值有正有负，JD错误.故选AC.

12.350当〃=1时M=SI=12-2x1-1=2;

当n>2=(n-1)2+2(n-1)-1=/I2-2,

22

所以an=Sn-Sn.i=(«+2n-1)-(n-2)=2n+1.

此时若〃=1,则a〃=2〃+l=3#。］,

所以°尸J'古攵0+。3+〃5+...+425=2+(7+11+15+...+51)=2+12X；+5D=35O

13.1n2由产e'+x,得y'=e'+l.当x=0时,y'=2.

曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2r+1.，直线y=2x+1是曲线

y=ln(x+l)+«的切线.由y=ln(x+l)+a,得设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+l)+a相切于点

(沏,阿,则7^7=2,

:•的=T.将xo=-；代入户2r+l,得yo=2x(・g)+1=0./.InQ+l)+«=0,/.t7=ln2.

14.(-8,-苧)当a=0时段)二季2+1有两个零点,不符合题意；

当时0时/(x)=3ftr-3x=3x(ar-1),

令人幻二0,解得为=042彳.

①若a>0,则，>0,令人X)>0,得x<0或x>右令F(x)v0,得0<x<，,则7W在(-8,0),&+8)内单调递

增，在(o,£)内单调递减；

又尺1)二・若<0<。)=1,则此的JU)在(6,0)内存在零点,不符合题意.

②若〃<0,则*0,令人X)>0危<]<0;令八幻<0,得x<5或x>0,则於)在&0)内单调递增，在

(-00,3),(0,+8)内单调递减.要使存在唯一的零点向,且M>>0,则满足./(：)=解得。〈-号或

“苧舍去).

综上，实数4的取值范围是(-8,-苧).

15.解(1)/,(x)=6x2-6(tz+1A+6”.

因为/U)在工=3处取得极值，

所以/*(3)=6x9-6(a+l)x3+6。=0,

解得〃=3.经检验〃=3符合题意.

所以4x)=2?-12A2+18.V+8.

(2)点A在凡0上，

由(1)可知/(x)=6,r-24x+18/[1)=6-24+18=0.

所以切线方程为y=l6.

16.解(1)f(x)=3ar+6.r+3,4"/(x)=0,

即3加+6x+3=0,则A=36(l-«).

①若应1,则能0『(1心0,所以於)在R上是增函数.

②因为4#0,故当a<\时,△>()/(■¥)=0有两个根乜力2=土巨三

若0<4<1,则当1£（-00/2）或了£（工1,+8）时/（幻>0,故7（幻在（-8/2）,3,+00）内单调递增；

当工£（12内）时/。）V。,故/（幻在（12可）内单调递减.

当。<0时，则当工£（・8凶）或工£（必+8）时/（1）<0,故/0）在（・8内）62,+8）内单调递减；当KW（XiK2）

时，（X）>0,故人幻在（即42）内单调递增.

（2）当。>04>0时/（工）二3江+6工+3>0,

所以当a>0时式r）在区间（1,2）内单调递增.

当a<0时府）在区间（1,2）内单调递增，

则八1）K）且八2）次解得-*<0.

综上M的取值范围是,0）U（0,+8）.

17.解⑴当n<5Bt,an=80（n-l）>500,

解得心7.25,即佗8,不成立.

当〃次时,0尸1（）0（）（1-0.6”">50（）,

即0.6川<0.5,0.6”4随着n的增大而减小，

当77=6时,0.6"=0.6>0.5,故不成立,

当〃=7Ot,0.675=0.36<0.5成立，

故从2028年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金.

（2）当〃=5时，累计新增盈利总额55=0+。2+。3+出+的=0+80+160+240+320=800<500x5,

可得所求〃超过5,

当〃之6时,S尸Ss+l0005-5）-吗，，力>500〃,

1-U.6

整理得〃+3x0.6”.5>11.4,

由于3x0.6"-s随着〃的增大而减小，

又当n=ll时,11+3x0.6"5Vli.4,故不成立，

当〃=12时,12+3x0.6⑵5>11.4,故成立，

故从2033年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

18.解（I）因为0=1,25〃=。必+1,所以02=2.

2S“.i=%.以〃（论2）,

得4膜”+1/〃-10产25厂257=2。〃,即4〃+1-4”-1=2,

所以a〃+2-a”+i=a”-a“i,所以斯+广。产。25=1,

又。1=1,所以a”=Mi£N+）.因为2bn=Tn+2,

所以24=八+2,即"=2,

又由2仇.尸加+2（论2）,得2乩-2如=7>7；.产源即儿二25川（佗2）,所以仇二2"（〃£N+）.

⑵当n=\时产2,即C1=2,

当论2时»+合+幺+...+汕=6/（应2）,

QlQ203«n-l

nl

得色二仇-瓦-尸2"\即cn=n-2(n>2),

«n

■i己R„=C\+C2+C3+...+C„=2+2X2I+3x22+4x23+...+w-2/,"1J'J2/?,»=2x2+2x22+3x23+4x24+...+(/?-

w,23

1)2"+/i.2,/?„-2/?n=2+2+2+...+2"L〃.2〃=(1

则凡尸ci+C2+C3+…+c〃=(〃-1>2"+2(〃£N+).

19.(1)解由题意,”(x)=/(x)-xg(x)=x+lnx-xe：定义域为(0,+oo),可得H\x)=\+^-(e'+Ae')=^-

e'(x+l)=(x+1)Q-ex)(x>0).

令心)=*,则/'(x)=小@<0,所以心)单调递减，又由«1)=1七<0,0=2-1>0,所以存在即£

&1),使(xo)=O,即e"。=《即xo+lnxo=O,

当()<v<.ro