北师大版高中数学选择性必修第二册第2章《导数及其应用》模块综合测评B【原卷+答案】

模块综合测评B

一、选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.函数,")=2xMnx的单调递减区间为()

A.(-2,2)B.(0,2)D.(0,l)

2.已知在等差数列｛.”｝中,02+«3+04+。5=14,则a\+«6=()

A.6B.7C.8D.9

3.已知在等比数列｛为｝中,43=7,前三项之和53=21,则公比c/=()

A.-|B.lC.1或-gD.l或2

4.已知不等式95片6<0,其解集中的三个整数解构成等比数歹J｛为｝的前三项，则数列｛斯｝的第4项是

()

A.8B.iC8或2DS呜

5.定义在。+co)内的函数7U),对任意.笆0,恒有./(.0»1%),。=牛,。二整,则a与b的大小关系为()

\.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定

6.已知函数段)=eM0).i,若存在实数xo使不等式2小1圣成立，则a的取值范围为()

A.[l,+oo)C.(-8,2]D.[0,-OO)

7.已知定义在R上的函数危)满足川)=3,对Vx£R恒有/(x)<2,则危巨2rM的解集为()

A.[l,+oo)Bgl]C.(l,+8)D.(-oo,l)

8.在数列｛〃〃｝中,aa=n+数'若而心〃尸。切+i,则〃『()

13nB为奇数，

A.8B.10C.2或10D.I或8

二、选择题:本题共3小题,每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导运算正确的是()

A.(sinA+COSA),=COSA+sinxD.(3vcos2x),=3v(ln3-cos2x-2sin2x)

C.(xlnx)4D.(J=^

10.已知数列｛0｝为递增的等差数列，其公差为&前〃项和为，.若245=6,则下列说法正确的是()

A.d>0BS=S8>0

C.仅S?为5”的最小值D.满足5„>0的〃的最小正整数为16

11.设函数."ElMx+x的导函数为八的,则()

A./(i)=0R.*[是贝r)的极值点

C7U）存在零点D«v）在&,+8）内单调递增

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.用S”表示等差数列｛〃”｝的前"项和，若am+am+\+am+2=33,$2ni+i=121,WJ〃?的值为.

13.已知函数.仆）的导数为/V）,若於）守X1）日21则/（1）=.

14.设数列｛小｝的前n项和为SM=4,且小+产（1+熹）%,若2s“+12之雨”恒成立，则k的最大值

是.

四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数儿1）=_^-.代歹（-1）尤其中/（X）是人幻的导函数.

⑴求八-1）；

（2）求过原点与曲线y=_/（x）相切的切线方程.

16.（15分）在①已知数列｛m｝满足:%+13〃=043=8,②等比数列｛诙｝的公比夕=2,数列｛跖｝的前5项和Sn

为62这两个条件中任选一个，并解答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）设儿=工数列｛"〃｝的前〃项和为若2T„>m-2022对〃《N+恒成立，求正整数m的最大值.

17.（15分）已知函数儿0=lna+0-f+x,且7U）在x=l处取得极值.

（1）求实数。的值；

（2）若关于x的方程儿6=-%+力在区间［1,3］上有解，求b的取值范围.

18.（17分）数列｛6｝满足必=1,点（〃,小+%+0在函数），二丘+1图象上，其中k为常数，且后0.

⑴若0,。2.成等比数列，求k的值；

⑵当k=3时,求数列｛小｝的前n项和Sn.

19.(17分)己知函数儿r)=21nx+|ar2-(2«+\)x.

(1)若«r)在(2,+00)内是单调函数，求实数。的取值范围;

⑵若心)在(2,+8)内有极小值g(〃),求证:g(〃)W41n2-4.

参考答案

模块综合测评B

(4X2-1

1.D函数./U)=2F-lnx的定义域是(0,+8),函数的导数为/(幻=44：=今二由丁<°，可得

x>0,

0<x4因此函数的单调递减区间是(0,j).

2.B由等差数列的性质可知a2+a3+a4+a5=2(ai+46)=l4.故«I+«6=7.

3.C•・•在等比数列{〃”}中,依=7,前三项之和5.3=21,

i=21-7=凡・・・尹沁,

整理可得4-9-1=0,解得2或

4.D不等式F5『6<0的解集为3-1<x<6}.其中成等比数列的三个整数解为1,2,4.若等比数列

前3项为1,2,4,则第4项为8;若等比数列前3项为4,2,1,则第4项为:.故选D.

5.A令g(x)=4^/>0,则g'(x)二四32因为人只之外幻,所以g'(x)v。,所以g(x)在O+oo)内单调递

VV

减.因为1<2,所以g⑴〉g⑵抑”>臀，所以a>b.

6.A令x=0得犬0)=1,所以儿t)=e'-x,将2々-1-生/国))化简得24-1次“。-汨)+:令g(x)=e'-x+/,则

gQ)=e'-l+x,令〃(x)=g'(x)=en+x,因为/?'(幻=片+1>0,所以g'a)为增函数，当x>0

时,g'a)>g'(0)=0,g(x)单调递增出(x)>g(0)=l;当％<0时送。)"'(0)=0,双幻单调递减出(力>80)二1,因

此g(x)的最小值为1,从而即介1.故选A.

7.B令Rx)=/(x)-2x-1,则F(x)=f(x)-2.

•・•对Vx£R恒有/V)<2,・・・丹㈤可口)-2Vo恒成立，，尸(x)=7ix)2t-l是R上的减函数.

又尸⑴寸1)21=0,・•・当x<\时，尸(x巨尸⑴=0,即用>241沙,即不等式段)Q2x+l的解集为(・8,1].

故选B.

8.A当m为偶数时，由am.}an=am+t得3处1(，〃+1)=3"'",解得/〃=8;当m为衣数时，由am.\am=a,n^\

得(，小1+1)X3，"=(〃?+1+1),即T=1+2,因为3m随"7增大而增大,1+2随〃?增大而减小，且T=1

mm1

2

所以由3"'=1+—得〃?=1.由丽1«”="“+］可知〃应2,所以m=\不满足题意.综上可知,〃?=8.故选A.

m

9.BD(sinx+cosx)-(sinx)'+(cosx)-cosx-sinx;(3vcos2.r)'=(3')'cosZr+3v(cos2x)-3'In3cos2x-

2-3xsin2,r=3v(ln3-cos2x-2s\n2x);(xlnx)-(x)1nx+x(lnx)-Inx+1;(J:节)=程故选BD.

10.AD丁｛。”｝为递增数列,・'.d>0,故A正确;2as=2ai+8d=ai+d=〃2,则。1+7"=。8=0,又4>0,；・

S7=S8<0,故B不正确;S7=S8同为S”的最小值，故C不正确；

•・•*=055=15。8=0,・・・满足S,>0的〃的最小正整数为16,故D正确.故选AD.

11.AD

2+1=0,故A正确;因为八x)=liA+21nx+1=。111+1)2沙,所以函薮”)单调递增,无极值点,故B错

误,D正确;由于人x)=xln2x+x=x(ln2x+l)>0,故函数.")不存在零点，故C错误.故选AD.

12.5由《”十0"+1+。川+2=30“+]=33,则。川+产11,

由s2ffl+产幽里竽色吐11=(2加+1)册+尸121,则2m+1=11,解得"2=5.

13.1n2因为火外也2,令x=\可得八1)=狙l)-21n2,解得八l：)=ln2.

14T因为研=(1+高)即所以忽=胃

所以数列｛甘｝是常数列，则含=缶=1,可得“尸〃+1,故s尸苧.

因为2S”+12/小恒成立,所以〃2+3〃+12次(〃+1)恒成立,即长层+3712恒成立，设f=〃+l」£N+,仑2,

n+1

mi.五储+3”+12(t-ll2+3(M)+1210,

则从而--------=1-~~--=/+—+1,

n+1tt

设力⑺二什¥+l(f£N+,仑2),

当勺3时，什斗+「弓，当r=4时/+¥+]=孩，

I*3I乙

因为彳<泉所以〃")』+¥+1的最小值是生

OLavO

即售，所以实数k的最大值为争

15.解(1)因为於)=/选.|「(」比所以/a)=3『-2x-|f(-1).令x=-1,得八-1)=3+2-|f(-1),解得八-1)=3.

(2)由(1)可知八用=3-『-级，

所以f(；v)=3『2『2,

设切点”产於2),则八。二3-22

所以切线方程为y-(P---20=(3--2f-2)(x-f).

由题意-(P/2)=(3产2-2)(4),

整理得42“)=0,解得z=0或r=1.

当r=()时，切线方程为y=-2x;

当r"时，切线方程为y=4-r-

24

综上，曲线y=f(x)过原点的切发方程为2x+y=0或;x+)=0.

3

16.解(1)选择条件①:由all+i-2an=0得血生=2,｛40｝为等比数列，公比方2,所以an-aycf'=T.

an

]n

选择条件②，数列｛〃”｝的前5项和")=)=62,解得。|=2,所以a,l=a]q"=2.

1-Q1-Z

(2)bn=—=9则〃=；+2x(；卜+...(；)?+2x…两式相

减得;北尸;+(；)?+.•.+(；)"-"•(；)""二^—即7^,=2-(2+/?)(；)".因为〃+]-〃=("+1)(；

ZZZZZ.JZZL

所以数列｛7；｝为递增数列，最小值为丁号.

2T„>m-2022对〃WN”恒成立，即m<2T„+2022对〃£N*恒成立，所以w<2023,/〃的最大值是2

022.

17.ft?(1)*/y(X)=ln(X+«)-X24-A(X>-6?),

・・分尸土2+1.

•・•函数贯幻在x=l处取得极值,，八1)=0,

即1=0,解得“0,经检验符合题意.

1+a

(2)由(I)得工3)=111x-『+Mv>0),・・・lnx-^+x^+b在[1,3]上有解，即Inx-x2+^x=b在[1,3]上有解.令

/?(x)=ln先/+货，则/?。尸2反二-(4'+£-2).

当x£[1,引时"⑴力⑶随x的变化情况如下表:

r1,2)2(2,3]

力’(外十0-

依)/极大值X

计算得//(l)4^(3)=ln3+|>|,/i(2)=ln2+3,

・・・/?(%)£[|,ln2+3],,•・1的取值范围为[|,ln2+3

18.解(1)由小+知+产k〃+l,可得〃1+。2=左+1,。2+。3=2/+1,〃3+。4=3欠+1,所以a2=kMy=k+1,a4=2k.

又因为0M2©成等比数列，

所以堵=。@,即k2=2k.

又因为存0,故k=2.

(2)当k=3时,4"+4"+I=3〃+1.

(4+3n-2)>2

当〃为偶数时,S〃=(ai+。2)+(幻+。4)+35+。6)+…+(〃”.+〃”)=4+10+16+...+(3/?-2)=

2

1

---J---；当〃为奇数时,5”=41+｛。2+。3)+(。4+45)+36+。7)+—+(。”.1+〃")=1+7+13+19+…+(3〃-

(l+3n-2)x”工3n2+2n-l

2)=——2―~

4

当口，几