2026年高考数学复习（全国）解三角形（解析版）

专题5.6解三角形（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

:第一部分题型专练

题型1正、余弦定理求三角形的边与角】.........................................................1

“题型2正、余弦定理判定三角形形状】...........................................................3

“题型3正弦定理判定三角形解的个数】..........................................................4

“题型4求三角形（四边形）的面积】.............................................................6

“题型5三角形的高、中线和角平分线】..........................................................9

“题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】.................................................11

“题型7距离、高度、角度测量问题】............................................................14

:【题型8几何图形中的计算】....................................................................18

\【题型9解三角形与三角函数的交汇问题】.......................................................21

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

题型专练

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

1.（2025•陕西西安•模拟预测）在△4BC中，BC=2,AC=5B=60°,则力8=（）

A.1B.3C.1或3D.2

【答案】B

【解题思路】在448。中利用余弦定理可解.

【解答过程】在△48C中利用余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB.BC-cosfi,

则由题意得7=/82+4-4AB・COS60°,即482—2月8—3=0,得AB=3（负值舍去）.

故选:B.

2.（2025♦陕西•模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为b,c,已知Q=6,bsinA=3,则sinB二

()

D.

【答案】B

【解题思路】利用正弦定理解三角形即可.

【解答过程】由正弦定理得号=-4，

sinAsmB

则asinB=bsinA,

又a=6,bsinA=3,

所以6sinB=3,解得sinB=

故选：B.

3.（2025・湖南永州•模拟预测）在△ABC中，48=3,8C=5MC=7,则△ABC最大的内角为（）

A.B.到C.yD.：

64

【答案】C

【解题思路】由大边对大角及余弦定理求最大内角.

【解答过程】因为三条边中4c最大，所以最大的内角为8,

AB2+BC2-AC232+52-721

由余弦定理得cos8_____________―

2ABBC-2x3x5-2

由0VBCTT,所以8=彳.

故选：C.

4.（2025・陕西西安•模拟预测）△4月。中内角4氏C所对的边分别为a也c,若sin。=|,且匕2+c2一小=g儿,

M-=（）

c

A.；B.-C.\D.2

243

【答案】A

【解题思路】利用余弦定理求出cos/,再结合同角三角函数的基本关系求出sinA最后利用正弦定理求解即

可.

【解答过程】因为川+。2-小二^儿，所以炉+c2—a2=*x2bc,

则"：:一"’=由余弦定理得cos/=3

2bc55

因为Ae(O,TT),所以sinA>0,

由同角三角函数的基本关系得sin/+（）2=1,解得sinA=|

由正弦定理得2=等学=蹩="故A正确.

c2Rs\nC2RX5-2

故选:A.

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】

5.(2025•陕西渭南•三模)已知△48。中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcosC+ccosB=b,

且6=ccosB,则△48。是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解题思路】由正弦定理和sinA=sin(B+C)得到a=b,cosC=0,求出C=；,得到答案.

【解答过程】bcosC+ccosB=bnsinBcosC+sinCcosB=sinB=sin(Z?+C)=sinB,

即sinA=sin8,故a=b,

a=ccosB=sinA=sinCcosB=sin(B+C)=sinCcosB

=sinBcosC4-cosBsinC=sinCcosSnsinBcosC=0,

因为86(0,n),所以sinBQ0,故cosC=0,

因为CE（0,n）,所以C=],

故A4BC为等腰直角三角形.

故选：D.

6.（2025•河南新乡•二模）在Zi/IBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=7,b=3,c=5,则

（）

A.△48C为锐角三角形B.△ABC为直角三角形

C.a/lBC为钝角三角形D.A/IBC的形状无法确定

【答案】C

【解题思路】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

32+52-729+2S-49

【解答过程】由于cos4=空<0,

3030

故4为钝角，进而三角形为钝角三角形

故选：C.

7.（25-26高三上•北京顺义・期中）在△力8c中的角4,8,C的对应边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=b,则

三角形ABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.直角或等腰三用形

【答案】A

【解题思路】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状.

【解答过程】将bcosC+ccosB用余弦定理展开，

zu,a2+b2-c2,a2+c2-b2a2+b2-c2,a2+c2-b2

得+=

由题设bcosC+ccosB=b,故Q=h.

故选：A.

8.：25・26高三上•河北邢台•月考）己知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,Ec,若cos??!+siMb-

cos2C-VSsinBsinC=0,sinB+cosC=V3,则△ABC的形状为（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】C

【解题思路】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出4由两角差的余弦公式和辅助角公式求出B,

从而可判断△4BC的形状.

【解答过程】vcos2/l+sin2B—cos2c—V3sinBsinC=0,

:.1—sin2A+s\n2B—（1—sin2C）-VJsinBsinC=0,即si—B+sin2c-sin2A=V3sin5sinC«

由正弦定理及余弦定理得笔£=今，・•.COSA=¥，

2bC22

)

V/6(0,K,/.i4=76,

又sinB+cosC=V5,sinB+cos管—3）=再，整理得V5sin（8—§二百,

因为BG（0片）,SW片/所以-拳

所以为等腰三角形.

6

故选：C.

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

9.（2025・湖北黄冈•一模）已知AABC的内角从^^所对的边分别为见瓦如A=^,b=3,下面可使得△力"

有两组解的Q的值为（）

A.—B.3C.4D.e

2

【答案】D

【解题思路】根据bsinA<a<b,即可得到答案.

【解答过程】要使得△4BC有两组解，则bsia4<a<从乂4==3,得到手<a<3,

故选:D.

10.（25-26高三上•安徽•期中）在△4BC中，内角48,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形，其

中有两解的是（）

A.b=6,A=60°,C=45°B.b=V15,c=6,B=60°

C.a=V3,Z?=2,A=45°D.a=8,b=4,A=80°

【答案】C

【解题思路】利用正弦定理判断三角形解的情况.

【解答过程】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错；

B选项，csinF=3V3>715=/?,所以三角形无解，故B错；

C选项，bsin/l=V2<V3<2,所以三角形有两个解，故C正确；

D选项，a>b,所以8<4=80°,三角形只有一个解，故D错.

故选：C.

11.（2025・湖北•模拟预测）在△ABC中，已知=BC=272,C=\若存在两个这样的三角形48C,

4

则X的取值范围是（）

A.[2V2,+oo）B.（0,2V2）C.（2,2&）D.（&,2）

【答案】C

【解题思路】由正弦定理可得sia4=g分析可知关于A的方程：sin4=:在4£（0,詈）有两解，结合正弦函

数图象分析求解.

【解答过程】由正弦定理与=看可得sinA=*=3

sinCsinAABx

由题意可知：关于A的方程：sin<=j在<«0书有两解，

在同一坐标系内分别作出曲线丫=sin4Aw（0,?）和水平直线y=：

因为它们有两个不同的交点，所以所以2Vx<2或.

2x

故选：C.

12.（25-26高三上•黑龙江•开学考试）在△48。中，内角所对边分别为a,4c,已知a=V5,力=2,且

三角形有两解，则角A的取值范围是（）

A.（05）B.（的C.（曷）D.G，.）

【答案】A

【解题思路】根据正弦定理可得sinR=^sin4再由三角形有两解，可得sin4V理可得角力的取值范凰

【解答过程】由正弦定理可得-三二七，

sinAs】n8

--=告，可得sin8=Wsin4

sinAs\nB3

由A48c有两解知，8有两个解，

故sinB<1,即sinB=—sin71<1

3

：•sin/1<一，

2

0<A<；或^V4VIT,

又a<b=i4<B,，A为锐角，所以。

故选:A.

【题型4求三角形（四边形）的面积】

13.（2025・广东•模拟预测）已知△48C中,角力，8,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=2,tanC=-V3,

则AABC的面积为（）

A.—B.3V3C.—D.3V2

22

【答案】A

【解题思路】由tanC=-遥可求出sinC,然后再根据面积公式即可求解.

【解答过程】因为tanC=-V3,Ce（0°,180°）,所以C=120°,

则SAABC=^absinC=1x3x2xy=^.

故选:A.

14.（2025•广东江门•模拟预测）己知△ABC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,5sin25+5sin2C-

5sin2zl=2sinBsinC,且Q=2vL则448C面积的最大值为（）

A.V6B.2V6

C.VSD.2A/5

【答案】A

【解题思路】根据题目条件5siM8+5sin2C-5sin2/l=2sin8sinC,使用正弦定理转化为匕2+c?-M=|儿,

代人a计算出儿最大值，再使用余弦定理炉+c2-a2=2bcc。s而十算出cos4从而得出sinA,使用面枳公式

S=gbcsinH计算出△ABC面积的最大值.

【解答过程】已知Ssi/B+5sin2c-SsiMA=2sin8sinC,由正弦定理化简得：bz+c2-a2=^bc,

代入a=2企得：62+c2-8=|bc<=>b2+c2-|bc=8

b2+c2-；bc=8>2bc-|hcbe<5,当且仅当*=c”时取等，

由余弦定理/+<?2-a2=2加cos/1可得：cosA=AE（。彳），

由同角三角函数关系可得：sinA=2cos2力=当,

则么ABC面积Smax=\（bc）maxSinA=1x5x^=V6.

故选:A.

15.（2025・四川成都•一模）已知在△4BC中，sinA+cosA=V2,sinB+cos2c=0.

⑴求A,B；

（2）若8C=2,求△4BC的面积.

【答案】（1）4=：,8=5；

43

（2苧

【解题思路】（I）应用辅助角公式有5由（4+9=1得4二%再由三角形内角和的性质、诱导公式、二倍角

公式得sinB(l-2cosB)=0,即可得;

（2）由（1）知。=詈，再由正弦定理求边长，最后应用三角形面积公式求△力BC的面积.

【解答过程】（1）由sin4+cosR=或，得&sin（力+：）=&，即sin（4+；）=1,

因为AW（Ojr）,所以所以.+；=］，所以<=：，

由sinB+cos2c=0,且2c=2（。—71—B）=y—2B,得sinB+cos-28）=0,

则sinH-sin-ZB=U,即sin8（l-ZcosB）=U,

因为8€（0,n）,sin8>0,则cosB=%所以8=今

⑵由（1）可得C=J记△/8C的内角力，B,。的对边分别为a,b,c,

i..-.5n・pt.n、.ITn.n.n在+v%

Hlsine=sin-=sin（-+一）=sin-cos-+cos-sin-=--------,

12'64，64644

因为a=2,由正弦定理号=三，得c=出/x2&=V5+1,

sin4sinC4

所以SMBC=^acsinB=三二

16.（2025•青海•模拟预测）在乙中，内角力，8,C所对的边分别为a,b,c,2acosBcosC+2ccosAcosB-b=

0.

⑴求B；

（2）已知c=2,△4%?的周长为6+2百，求△ABC的面积.

【答案】（1）8=三

«5

（2）273

【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再进行三角恒等变换，即可得解・；

（2）由余弦定理得炉=小+4—2处结合题设条件求出边a,利用三角形面积公式计算即得.

【解答过程】（I）tll2acosBcosC+2ccosAcosB=b可得2sinAccsBcosC+2s\nCcosAcosB=sinB,

即2cos8（sin/lcosC+sinCcosA）=sinF,

因sinAcosC+sinCcosA=sin（力+C）=sin（7r-8）=sinB,

代入上式，可得2cosBsinB=sinB,

因sinBHO,则得cos8=5

又Bw（0m）,所以

J

(2)由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,即62=。2+4—2Q①

△工8c的周长为a+b+c=6+2遮，即a+b=4+2旧②

由①②解得a=4,b=2V3,

所以△45C的面积S="csinB=2⑰.

【题型5三角形的高、中线和角平分线】

17.(2025•广西•模拟预测)在△.48C中，AC=V5,BC=2,8=:的平分线交AC于。，则60=()

3

【答案】D

【解题思路】先根据正弦定理求出人然后根据止弦定理求出8D.

【解答过程】由题意，根据正弦定理得

壬=与，解得$皿4=哼曳=殍=1,而人为三角形内角，

sinfisin/iAC

所以A=3所以C=?/BDC=F.

L63

根据正弦定理一名=与，解得8。=亮=号

sinzBDCsinCV33

故选:D.

18.(2025•黑龙江吉林•模拟预测)在△4BC中,己知4C=5,47=3,BC=7,4。是BC边上的中线,则4。=

()

A.gB.小C.LD.竺

4227

【答案】B

【解题思路】利用两次余弦定理即可求解.

【解答过程】

C

B

业+叱一心_9+49-25

由余弦定理得：cosB=

2ABBC~2X3X7~14’

再由余弦定理得：AD2=AB2+ED2-2AB•BDcosB=9+--2x3x-x-=-,

42144

则40=季

故选:B.

19.（2025四川自贡•一模）在△/1BC中，角人，B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=—热csin/1=2^2.

⑴求。；

（2）若4A8C的面枳为竽，求AB上的高CD.

【答案】（1）3

⑵蟠

'9

【解题思路】（1）根据同角关系解得sinC,再使用正弦定理即可求解a：

（2）根据面积求解b,再利用余弦定理求得c,再次使用面积5=：5。。即可求解.

【解答过程】(I)根据siMc+cos2c=l,cosC=—j可知：sinC=

*5

因为；7=，7，即asinC=csinA=2&,

sin4sinC

所以a•空=2&，即a=3;

当,解得

(2)S=-absinC=-x3xbx—=b=g,

则cosC=解得c=%

2ab2x3x-

则5=》「|。叫=誓，代入。=（解得|。。|二等,

20.（2025・四川成都•模拟预测）的内角的对边分别为a,b,c,已知2bcosC=翁―2sos氏

(l)^Rc；

（2）若乙=60。，48边上的中线长为2,点。在力8上，旦CD为Z/1C8的平分线，求CD的长.

【答案】（l）c=26

【解题思路】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及sin（3+C）=sin4得到2shU二

理csin力，再得出c的值:

(2)由余弦定理得。2+/?2-ab=12①，又而=乂刀+而)平方可得M+川=16②，由①②得:

小+〃=i/ab=2,故a+b=3或，根据〃皿+$说£)=和面积公式可得CD=*

【解答过程】(I)因为2加osC=肯一2ccos8,

由正弦定理可得2sin8cosC=ycsin/1-2cosBsinC,

则2sin(8+C)=乎sin/,又sin(B+C)=sin/1

所以2sinA=—csin/l,

3

因为在△ABC中，sin/1>0,所以c=2百.

(2)由余弦定理得：c?=Q2+匕2-2abcosC=Q2+炉一。匕，即有小十乒一=12①；

设M为力8的中点，即CM=2,又因为南=：(£?+函)，

所以由2=1(^2+施2+・丽)，即a?+炉+Qb=16②，

由①，②得：a2+h2=14,ah=2,

所以(a4-b)2=a2+b2+2ab=18,所以a+b=372.

因为C。为乙4cB的平分线,所以SAACD+S^BCD=S&ABC，

M-b•CD-sin30°+-a-CD-sin30°=-absin600,

222

即。0=也=聋=匹.

a+b3V23

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

21.(2025・广东佛山•模拟预测)在△4BC中，角4SC所对的边为Q,4c.若a=2,cosA=-|,则6b+5c的

最大值为()

A.不存在最大值B.竽C.yD.11V5

【答案】C

【解题思路】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将6匕+5c转化为^sin(C+3),根据C,＞的范围

即可得解.

［解答过程】AG(O,ir),cos/1=-|,sin/1=g-^―=$=3=4=

55sinBsinCs\nA-2

5

b=c=^sinC,

22

•••6b+5c=ISsinF+ysinC—15sin(Z+C)+^sinC-15sin/lcosC4-IScos/lsinC4-ySinC—12cosC4-

^sinC=ysin(C+<p)(其中sin*=|^,cos@='0V*V；),

,-4<c0s4<一5二A£管,手),CE(0,沙

乂sing>表0<0V]:96C，》,C+g€(T片)，

•••sin(C+(/?)<1,

:.6b+5c<y,6b+5c最大值为g.

故选：C.

22.(2025・四川成都・模拟预测)设锐角△ABC的三个内角4B,C的对边分别为a,b,c,忖c=2,8=2C,则

a+b的取值范围为()

A.(2,10)B.(2+2,泛,10)C.(2+2V2,4+2V3)D.(4+273,10)

【答案】C

【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即叽

【解答过程】在△ABC中，由B=2C可得力=TT-3C,

2(sin3C+sin2C)_2(sinCcos2C+cosCsin2c+2sinCcosC)

由正弦定理f=蔡=肃得：-=2(4COS2C+

sinCsinC

2ccsC-1),

P<i4=n-3C<^

又么力BC为锐角三角形，所以I0<B=2C<?,解得'vcv%

Io〈y

令t=cosC6(4、),则a+b=2(4t2+2t—1),tE(专,当),

因为y=4产+2〜1在te停用)时单调递增,

所以1+&<yV2+百，则a+b£(2+2&,4+2V5).

故选；C.

23.（2025・湖北武汉•模拟预测）已知瓦c分别为锐角△A8C三个内角48,C的对边，且就0$（?+百6^^:一

b-c=0.

⑴求4

⑵若Q=3；求44BC周长的取值范围.

【答案】（*

⑵（3+3W,9]

【解题思路】（1）由正弦定理边亿角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；

（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到8+c,再结合锐角范围和三角函数值域可得.

[解答过程】（1）；QCOSC+x/3asinC—b—c=0.

•••由正弦定理得sia4cosc+V3sinAsinC-sinB-sinC=0

在以ABC中，；力+B+C=IT,sinB=sin（A+C）=sirh4cosc+cosAsinC

代入上式化简得：V3sinz4sinf-cos/lsinC-sinC=0

因为sinC。0,所以V5sinA-cosA=1,即2sin（A-9=l

:4为锐角，，4=三.

（2）由正弦定理得2R=-^=$=-^=26,8+。=当

sin4sinCSinB3

所以b+c=2RsinB+2RsinC=25/3（sinF+sinC）=2V3[sinB+sin（g—8）]

=25/3QsinB+ycosB）=6sin（8+§,

••・△力8。是锐角三角形，•••OvBc'ovCv'ov任一

2232

•••一VBV工-<8+一<一,

62363

即?<sin（8+§W1,3V3<b+c<6,/.3+3A/3<a+b+c<9,

所以△ABC周长的取值范围为（3+3V3,9].

24.（2025・贵州遵义•模拟预测）己知△A5C的内角力、8、。的对边分别为a,b,c,且百bcos5=acosC+ccosA.

⑴求tan必

（2）若力6日，3,且Q=l,求b+C的取值范围.

【答案】（1）我

⑵[夜+今百+同

【解题思路】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得；

（2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出b+c,再结合正弦和正切的单调性求解即可;

【解答过程】(1)由正弦定理可得号=-々=*：,

sinAsinBsine

因为百bcosB=acosC+ccos/l,所以J5sin8cosB=sin4cosc+sinCcos/l=sin(4+C)=sinB,

因为86(0,n),所以sinB>0,

所以cosB=—,sinB=V1—cos2B=—,

33

所以tanB=芈=鱼.

cosB

（2）由正弦定理可得力=零=痣asinCsinCsin(A+8)sinAcosb+cosAsinB展.W

-----------F一,

sin4sinAsinAs\nA3tan43

、石।n।V3

所以b+c

3sin43tan43

因为sinAtanA在力6[/均为单调递增,

所以匕+'=篇+磊+靠AW图为单调递减，

所以当4=轲，最大值为旧+净所以当4=轲，最小值为我+今

所以b+c的取值范围为[a+4,通+g].

【题型7距离、高度、角度测量问题】

25.（2025・云南昆明•一模）如图，测量河对岸的塔高力8时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量

基点C与。.现测得48CD=75°,乙BDC=45°,CD=30米，在点C测得塔顶A的仰角乙AC8=60°,则塔高为8

约为（）（单位：米，&”1.414）

A.30.42B.42.42C.50.42D.60.42

【答案】B

【解题思路】在△BCD中，由正弦定理求出BC,进而在A/IBC中求得答案即可.

【解答过程】由题意，在△8G）中，Z,CBD=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理可知一^==*=窄=BC=10V6.

sin600sin4S0退返

22

在么力8C中，易知AB18C,4ACB=60°,

于是48=BCxtan60°=1076xV3=3072«42.42.

故选：B.

26.（2U25•湖北荆州•模拟预测）如图，4,8,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分

别为a/,y，计划沿直线村开通隧道DE,设AO,的长度分别为a/,c.为了测出隧道DE的长度，还需直

接测出（）的值.

【答案】D

【解题思路】在aPBC中用已知条件和正弦定理表示PB的长，再在中用正弦定理表示AB的长最后即可

表示。E的长，即可知道为了测出隧道DE的长度，还需直接测出哪些值.

（解答过程】在^PBC中心BPC=/?-/,

由正弦定理有：热=缶=小,所以尸"吊尸,

在AABP中sin/JlPB=sin(n-«-/?)=sin(a+0),

由正弦定理有：住ABAB

sinz4PBsin(a+A)'

所以4B==—,siny•则3二cfnZn(a+8),

sinasin(/?-x)sinasin(/?-y)sina

因为°F=力………•瑞黑黑-…

所以为了测出隧道DE的长度，还需直接测出a,b,c三者的值.

故选：D.

27.（2026・重庆•一模）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛4B,测得小岛4在，的北偏东15。

的方向上，小岛3在C的北偏东60。的方向上，海轮从C处向正东方向航行10遍海里后到达。处，测得小岛A在

。的北偏西45。的方向上，小岛B在。的北偏东30。的方向上.

北

D

南

(I)求。处与小岛4之间的距离；

(2)求48两座小岛之间的距离.

【答案】⑴10企

⑵10遍

【解题思路】(1)在△ACO中利用正弦定理计算可得；

(2)在aCDB中利用余弦定理求出8C,再在△ACB中利用余弦定理求出48；

【解答过程】(1)由题可知在△“/)中，/AC。=75°,“DC=45°,所以4CAD=60°,

由正弦定理可得：缶=缶,及CD=10后

所以力。=丝当黑=等登=10&(海里).

sinzC/lD遑

2

(2)由题可知在△CD8中：/.BCD=30°,Z-CDB=120°,所以“BD=30。.

所以80=CD=10V3(海里)，

由余弦定理可得：BC2=CD2+BD2-2CD•BDeos乙CDB

=(10V3)2+(10⑹2-2x(10v3)2x=900,

所以8c=30(海里)，

由题意可知，在AACB中，4ACB=45°,

由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AC-BC•cos^ACB

=(10V2)2I3022x10V2x30xv；=500,

所以48=10V5(海里).

28.(24-25高三上•湖南・月考)英中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在

学校操场选择了同一条直线上的4B,C三点，其中4c=40m,点8为4C中点，兴趣小组组长小王在4B,

C三点上方5m处的B”6观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,夕，y,其中tana=1,tan。=2,

tany=3,点。为点£在地面上的正投影，点Di为DE上与41，Bv的位于同一高度的点.

E

⑴求建造中的建筑物已经到达的高度DE；

⑵求黑黑的值•

【答案】（1）5+岑红

【解题思路】⑴设EDi=九，根据条件得到力必=/1,8也="也=旨在也和△GBi%利用

h2h21.2

400+---h2400+--一-

余弦定理得到一y+—r=o,即可求解；

2x20x^2X2OX^

（2）利用正弦定理得到瞥常=第，由（1）知普=；，即可求解.

sin/BMiCi4道1AM13

【解答过程】（I）如图，设EDi=h,因为在41，Bi，Q处观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,/?,y,

且tana=1,tan/?=2,tany=3,

所以AMi=儿当01=t，GDi=%乂4G=40,Bi是41cl的中点,

h2「

400+--h2

在zMiBMi中，由余弦定理得到cosz&B]Di=——y,

2X20X-

400+---2

在么G&D]中，由余弦定理得到3s4G8]D]=——T-,

2X20X-

,.400+——h2400+7；—：

又，4/5+4GBiQ=71,所以——丁+——r-=o,

2X20X-2x20x-

整理得到?「=800,解得h=12。尸，所以DE=S|12：/T

1811

（2）在中，由正弦定理知.n①，

在△6当。1中，由正弦定理知I.瓦?②,

111smZC^DiBism4C[B]£）i

由（1）知衿==sin44i8iZ）i=siniGBiDi，

A\D\3

sin，4i58i

由②+①得到GO=1

sinSOGAMi-3

E

【题型8几何图形中的计算】

29.（25-26高三上•山东•期中）如图所示，在平面四边形4BCD中，BC=2AB=2,乙ABC=120。,乙48=90。,

LADC=60°,则8。的长度为（）

A.也B.这

33

C.V3D.—

3

【答案】A

【解题思路】在△ABC中，由余弦定理求得4C,从而求得CD,设立478=%由正弦定理求得sina,然后在

△BCD中,用余弦定理求解.

【解答过程】在△ABC中，由余弦定理得力。2=C82+8C2-2ABBC-COS120。,

BP/C2=12+22-2X1X2X=7,则4c=6,

又“39°。,"DC=60。，所以8=就『?=詈

设〃CB=a,由正弦定理得照=亮*即."磊=答,

从而coszJJCO=cos(90°+a)=-sina=

在4BCD中，由余弦定理得：BD2=CD2+BC2-2CD-BC-cosZ.BCD,

即W=(绡2+22-2X亨x2x(—割若，则BD=竽.

故选：A.

30.（2025高三上•全国•专题练习）在平面四边形A8C。中8C=DC=1,如图所示.40=2,AB=3,则

四边形48co面积的最大值是（）

A.5百B.—C.—D.—

248

【答案】C

【解题思路】根据面积公式可得SAB8=3sinA+：sinC,进而在两个三角形中同时利用余弦定理，可得

12cos4-2cosc=11,结合式子平方即可求解..

【解答过程】在中，S^ABD=x2x3xsinA=3sin/l,

2

△EC。中，SABCD=IxIxsinC=|sinC,

两式相加得SMCD=3s\nA+gsinC,则2s718co=6sinA+sinC>

两边平方后得45%CD=36sin2/l+sin2c+12sin/lsinC,①

根据余弦定理可知，8。2=22+32-2x2x3xcosA=l2+l2-2xlxlxcosf,

即13—12cosA=2—2cosC,得12cos4—2cosc=11,

两边平方后，144COS2/44-4COS2C—48cos/lcosC=121,②

①式两边乘以4后得,16s嘉8=144sin2>4+4siMC+48sinAsinC③，

16磕CD+121=144+4-48cos(A+C),即16s金°=27-48cos(4+C),

当4+C=n时，16S3RS的最大值为75,

所以四边形力BCD的面积取得最大值为尊.

4

故选:C.

31.（2025•内蒙古包头•一模）如图,在△ABC中，乙ABC=90。，。是斜边力C上的一点,AB=y/3ADfBC=yf6.

⑴若48C=60。，求zADB和。A

(2)若80=加，证明：CD=2DA.

【答案】⑴4A08=120。，DA=-/6

(2)证明见解析

【解题思路】(I)利用正弦定理及几何关系得出心力。8=120。，进而得出△08。是等边三角形及边长，进

而可求解.

(2)在△BDC与△80A中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.

【解答过程】(1)=60°,LABC=90°,可得4ABZ)=300.

因为48=百加所以在UM中,由正弦定理可得言而=宝行即si必DB=^si山BD*,

则乙4DB=120。或60°,又因为4DBC=60°,故4=120°.

因此NBDC=60。，又因为NDBC=60。，所以△C8C是等边三角形,

所以08=。。=8。=遍，

又在△408中，Z.ABD=30°,Z.ADB=120°,故4=30°,

所以04-DB=

(2)证明：令人BDC=。,DA=J,DC=y,.

因为48=则

6=2+y2—2\/2ycos0,

在么80。与△BZM中，由余弦定理可得°

=x2+2-2V2XCOS(7T-O')

消去cos优彳咛=宇,整理得(y-2x)(xy+2)=0,

所以y=2x,即CD=2D4

32.(2025•黑龙江齐齐哈尔•二模)如图：四边形ABCO中，对角线AC与8。交于点O,已知乙4。。=60。,

AC=3,BD=6,且40=BC

BD

V

C

⑴求4。的长；

(2)若7sin[2Z-0CB-J二8夕cosz_O£M—15,求cos/OZM的值.

【答案】⑴3

(2严

【解题思路】(1)设8。=6，CO=n,在aOBC和AOAD中分别应用余弦定理即可求解；

(2)由(I)知8。=0。=3,i&LOCB=a^OAD=p,40D4=仇在△08C和△。力。中分别应用正弦定

理可得sina=sin/?,结合已知可得a+/?=IT,代入等式即可求解.

【解答过程】(1)设BO=m,CO=n,所以0D=6-m,OA=3-n,

在AOBC中，BC2=rn2+n2-2mncos60°,

在△O4D中,AD2=(6—m)2+(3—n)2—2(6—m)(3—n)cos60°,

因为8C=/W,解得m=3,所以80的长为3：

(2)由(1)知BO=DO=3,i^LOCB=a^OAD=p,^ODA=0f

在Z.OBC中，—=-^-,

sinasin600

在△。40中，黑=上黑，

sin/?sin60°

所以sina=sin/?,

若a=小则△OBC与AO/IO全等，所以C0=/0=|,

所以e=所以a=0=；,

62

7sin,a-J=8夕cos。-15不成立，所以a+/?=n

所以sin(2a-；)=sin[2(n—=sin[2(3+°)-,=sinQ+26)=cos28,

因为7cos2。=8V7cos0-15,所以7(2cos2。-1)=8>/7cos0-15,

所以7cos2。-4V7cos。+4=0,所以cosJ=4m

7

所以cos/OZM的值为

【题型9解三角形与三角函数的交汇问题】

33.（24-25高一下•黑龙江双鸭山•期末）设△力BC的内角A、B、C的对边分别是a,b,c,taM=三，且3

b

为钝角.sin/1+