华东师大版九年级数学下册 第二十六章《二次函数》单元测试卷（带答案解析）

华东师大版九年级数学下册《第二十六章二次函数》单元测试卷（带答案

解析）

一、单选题

1.已知二次函数+云+C的图像开口向下，顶点坐标为（3,-7）,那么该二次函数有（）

A.最小值B.最大值-7C.最小值3D.最大值3

2.抛物线y=（x-3y+l的顶点坐标是（）

A.（3,1）B.（-3,1）C.（1,3）D.（1,-3）

3.如图是二次函数y=aF+bx+c和一次函数）=尔+〃的图象，当〃心，+/?*•+（：•时，x的取值范围

是（）

A.x>0B.-2<J<1C.x<-2^x>\D.x<\

4.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度人（单位：m）与水流运动时间/（单

位：s）之间的函数解析式为〃=30-5/，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

5.已知函数），=3/一工一4,当函数值），随x的增大而减小时，x的取值范围是（）

A.x<\B.x>lC.x>~2D.-2<x<4

6.已知抛物线y=（x-l）2+2上有三点（-2,y）（-l,y2）（2,北），则,j2%的大小关系为（）

A.y.>y2>jsB.%>兑>»c.D.为

7.如图，抛物线），=办2与直线）,二履+》的两个交点坐标分别为4—1,1）,4（3,9）,则方程0?=区+〃的解是

y.

B.x1=-l,x2=3C.X)=l,x2=9D.Xj=3,X2=9

8.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降

低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（）

A.y=（x—20）［160+20（28—x）］B.y=（.r-20）［160-20（28-x）J

C..v=（28-x-20）（160+20x）D.y=（28-x-20）（160-20x）

二、填空题

9.已知二次函数产/+2加"2,当x>2时，y的值随工值的增大而增大，则实数机的取值范围是.

10.如图，过点40,4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线乂二12"之（））与％于以。两

点，那么线段8c的长是________.

11.若抛物线y=/-6x+〃L2（m是常数）与x轴只有一个交点，则，〃的值为.

12,二次函数yjif+kr+c（g0）的图象如图所示，下列结论：①2a+8=0；@a+c>b；③抛物线与x轴的

另一个交点为（3,0）；④必c>0.其中正确的结论是（填写序号）.

13.如图，菱形ABC。的一边C。在x轴上，顶点8在y轴上.若抛物线y=/+5x+4经过A,B两点,则

cosZADC的值为.

三、解答题

3

14,已知二次函数y=ax2+bx+c(a/))的图象经过一次函数y=-Qx+3的图象与x轴、y轴的交点，并且

也经过(1,1)点，求这个二次函数的关系式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？

15,已知二次函数y=八一2mx+in2+3(加是常数)

(I)求证：不论，"为何值，该函数的图像与工轴没有公共点；

(2)把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？

16.如图，抛物线y=+2x+c与x轴交于A,B两点，它优的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作

ME_Ly轴于点E,连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为(-1,0).

(I)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)求^EMF与△BNF的面积之比.

17.已知抛物线y=.——4x+6.

(l)Wy=x2-4.v+6配方成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)写出该抛物线的开口方向和对称轴:

(3)当-lvx<4时，求y的取值范围.

18.如图，tAAC。中A£>=8,AB=4,ZB=30°点£是8c边上一点(小与8、C重合)，以CE为边在8c

上方构造正方形C&G,设线段CE的长度为x,线段的的长度为为，正方形C£FG的面积为，，ABCD

的药积为§2,y2=7-

*

40

9

8

7

6

5

4

3

2

O12345678910x

(1)请直接写出加为分别关于X的函数表达式，并写出自变量大的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出其，力的图象，并分别写出为先的一条性质;

(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过。.2).

参考答案与解析

1.B

【分析】抛物线开口向下，则顶点的纵坐标为函数的最大值.

【详解】•・•抛物线开口向下，顶点坐标为(3,-7)

・•・二次函数的最大值为y--7.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握二次函数图像的性质.

2.A

【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案.

【详解】解：抛物线）="-3『+1的顶点坐标是（3,1）.

故选：A.

【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，二次函数丁=。（%-%），〃的顶点坐标为（〃，k）,对称轴为x=〃.

3.B

【分析】本题考查了二次函数与不等式.根据图象可以直接回答即可.

【详解】解：观察图象得：当-24<1时,，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方

，当mx+n>2/时.X的取值范围是—2V工M1

故选：B.

4.A

【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度力为0,把〃=0代入〃=30/-5/即可求出/,也就求出了水

流从抛出至回落到地面所需要的时间.

【详解】

解；水流从抛出至回落到地面时高度，，为0

把〃=。代入〃=30/-5/得：5r2-30r=0

解得：“0（舍去）G=6.

故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.

故选：A.

【点睛】本题考杳的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实

际判断所得出的解.

5.A

【分析】先根据函数关系式算出抛物线的对称轴，再根据开口方向即可判断.

【详解】函数），=3/一x—4

b-1.।

・••对称轴为.一2a~1一«=->0

29X22

・••当x<lH寸，函数值)，随x的增大而减小

故选A.

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：当。>0时，在对称轴x="左边，函数值)，随x

2a

的增大而减小；在对称轴4=右边，函数值)，随X的增大而增大.

2a

6.A

【分析】木题考查二次函数)，=a(x-〃)2+〃的性质，先确定抛物线的对称铀，再计算各点到对称轴的距离，

根据距离大小判断纵坐标的大小关系.

【详解】解：抛物线y=(x-l)2+2的开口向上，对称轴为直线x=l.

计算各点到对称轴x=l的距离：

点(-2,y)到对称轴的距离为卜2-1卜3；

点(-1，%)到对称轴的距离为|TT|=2;

点(2,)、)到对称轴的距离为|2-1|=1；

•・•抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且3>2>1

>'i>%>%；

故选：A.

7.B

【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关

键,根据题意可知方程的解即为他物线和直线的交点的横坐标，即可得解.

【详解】解：抛物线_y=ad与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A(-l,1),8(3,9)

•.・方程依2=履+8的解是5=-1,&=3

故选：B.

8.A

【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润x销售量，列出函数

关系式即可.

【详解】解：由题意得：y=(x-20)[160+20(28-x)].

故选：A.

9.m>-2

【详解】抛物线的对称轴为直线=-，〃

2x1

•・•当x>2时，），的值随x值的增大而增大

:.-rn<2,解得iri>-2.

故答案为〃立・2.

10.2

【分析】根据题意，将），=4分别代入（.壮0）），2=%«，0）,求得x的正数解，即求得B.C的

坐标，进而即可求得8C的长.

v=4x=2

【详解】解：:在。，则।解得」即8（2,4）

y=x~[y=4

〉=4fx=4

1,解得即C（4,4）

%二/卜=4

/./?C=4-2=2

故答案为：2

【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键.

11.11

【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键.由

抛物线），=/一6工+〃?-2（机是常数）与x轴只有一个交点可得，方程/-61+〃?-2=0的判别式为零，

即可求解.

【详解】解：抛物线y=f—6]+〃?-2（卅是常数）与工轴只有一个交点

•••方程x2-6A+W-2=0的判别式为零

d=（-6）2-4x1x（/〃-2）=0

解得：m=11

故答案为：11.

12.①④/④①

【详解】解：根据抛物线产a?+法+c（存0）的对称轴直线4-二二1,可得2。+40,所以①正确；

根据x=-l时，y<0,可得a-/?+cV0,HPa+c<b,所以②错误；

由抛物线与x轴的一个交点为（・2,0）得到抛物线与X轴的另一个交点为（4,0）,所以③错误；

由抛物线开口方向得到。>0,由对称轴4-二>0,可得〃<0,由抛物线与），轴的交点位置可得cVO,

因比所以④正确.

考点：二次函数图象与系数的关系

3

13.-/0.6

【分析】本题考查二次函数的性质、矩形的判定与性质、余弦的定义、菱形的性质等知识点，灵活运用相

关知识是解题的关键.

由抛物线的性质可得抛物线的对称轴为直线1=-号，点B的坐标为(0,4),进而得到AB=8C=5,由菱形

的性质可得"〃a>,AA=BC=C。ZADC=ZABC^如图：过C作CE148,垂足为£,则OCE8是

矩形，易得BE=3,再根据余弦的定义即可解答.

【详解】解：•・•抛物线的解析式为y=f+5x+4

・•・抛物线的对称轴为直线x=,点8的坐标为(0,4)

•・•抛物线丫=丁+5x+4经过点A,8两点

：.013=4AB=-x2=5

2

;.AB=BC=5

•・•西边形A3CO是菱形

A/3//CD,AB=BC=CDZADC=ZABC

如却：过C作CE/A8,垂足为E,则OCEB是矩形

BE=S1BC2-CE2=3

BE3

cosZ.ADC=cosZABC==-.

BC5

故答案为：!.

14.二次函数的关系式为y=^x2—：x+3,当乂=:时，函数有最小值，最小值为一!.

/22o

【分析】先求出一次函数y=—：x+3的图象与x轴、y轴的交点，再把这二点代入二次函数y=ax?+bx

L

+c,求出解析式，再把解析式化成顶点式，即可得当x取何值时有最值.

【详解】解：对于y=—|"x+3,当x=0时，y=3：当y=0时，x=2,把(0,3),(2,0),(I,1)分别代

c=3

入丫=2乂2+6*+(:,得Ya+Z8+c=0

a+b+c=1

1

a=—

2

所以，b二一彳

c=3

所以二次函数的关系式为y=；x2—Jx+3.

因为y=2x?|x+3=^<x4>所以当x=3时,函数有最小值,最小值为

2222828

【点睛】此题主要考查二次函数的应用.

15.(1)证明见解析；(2)3.

【分析】(1)求出根的判别式，即可得出答案.

<2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可.

【详解】解：(1)VA=(-2w)2-4x1x(m2+3)=4/w2-4m2-12=-12<0

方程X?一2nix+m'+3=0没有实数解.

工不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.

(2)*.*y=x2-2nix+m2+3=(x-//z)2+3

・•・把函数,y=x2-2mx+m2+3的图象沿)，轴向下平移3个单位长度后

得到函数)，=(x-〃?『的图象，它的顶点坐标是(加，0).

工这个函数的图象与x轴只有一个公共点.

.・・把函数丁=/一2mX+//+3的图象延)，轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与/轴只有一个

公共点.

【点睛】本题考查了二次函数和X轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换

的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。

16.(1)y=-xi+2x+3,(1,4)；(2)7.

4

【分析】(1)直接将(-1,0)代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标

(2)利用EM〃BN,则△EMFS/XBNF,进而求出△EMF与△BNE的面积之比.

【详解】解：(1)•・•点A在抛物线)，=-f+2.r+C上

.e.-(-l)2+2(-l)+c=0

解得：c=3

/.他物线的解析式为)，=-A-2+2x+3.

Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4

工他物线的顶点M(1,4)；

(2)VA(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=l

，点B(3,0).

・・・EM=1,BN=2.

VEM/7BN

/.△EMF^ABNE

17.(l)y=(,v-2)2+2

(2)开口向上，对称轴为直线x=2

⑶当—lvxv4时，》的取值范围为2Wy<ll

【分析】本题考杳了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图

象与性质.

<1)利用配方法即可化为顶点式；

(2)根据顶点式即可写出对称轴，根据〃>0即可判断开口方向；

(3)二次函数的图象与性质求解丁的取值范围.

【详解】<1)解：y=x2-4x+6=x2-4x+4+2=(x-2)2+2

(2)解：由y=(x-2)2+2得”=1>0

・•・抛，物线的开口向上，对称轴为直线x=2

(3)解；•・•抛物线开口向上，顶点电标为(2,2)

・••当x=2时，取最小值2

将工=一1代入)，=/_4x+6,得y=ll

将x=4代入y=/_4x+6,得y=6

・・・-lvxv4,且函数在x<2时):随着x的增大而减小，在x>2时>随着x的增大而增大

・・・》的取值范围为20>、<11.

18.(1)J1=8-x(0<x<8)；y=—x2(0<x<8)

216

(2)见解析，函数y=8-X的性质：)，随X的增大而减小；函数力=」/的性质：开口向上，在0<x<8范

16

围内，y