陕西省榆林市2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度第二学期开学收心作业

九年级数学

注意事项：

1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.全卷共6页，总分120分.考试

时间120分钟.

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、

班级和准考证号.

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效.

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑.

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1,计算：8+（-2）=（）

A4B.16

2.如图所示几何体，它的主视图是（）

A-------B.

3.如图，AB//CD,射线C£交A8于点产，若NAF£=128°,则/C的度数是（）

C.48°D.52°

A.—6"b2B.6aVC.-6a2b2D.6a?M

5.如图，在VA8C中，AO是VA8C的高，4石是VABC的中线，若AO=6,△ABE的面积为15,则

8c长为（)

6.将一次函数y=米-2（攵为常数，4/0）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点

（T5）,则上的值为（）

A.7B.-7C.-3D.3

7.如图，在菱形ABCZ）中，点E是对角线8。上的一点，BE=AD，连接AE，若/。=100°,则

/DAE的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

8.若4（m+3,），2）是二次函数），=3/+云+2（力为常数）的图象上的两点，且4<〃v6,

-4<w<-3,则下列关系正确的是（）

A.2<y,<y2B.y,<y2<2C.J2<y<2D.y\<2<y2

第二部分（非选择题共96分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

9.因式分解多项式：a3-2a2+a=.

10.“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城

墙垛”形状.已知第I个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴

棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为.

第1个第2个第3个

11.某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则

比计划时间早一天完成，则计划生产天数是_______天.

12.如图，是。。的直径，点C、。在。。上，且4c=40,连接AC、CD、0D,若44=20。，

则NQOC的度数为

«为常数，的图象在各象限内，）'随x的增大而增大•则&的值可

以是.（只写一个）

14.如图，在面积为12的正方形ABC。中，以3c为一边向正方形内作等边△BCE,点厂是对角线上

的动点，连接"、EF,则A/+EF的最小值为

三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）

15.计算：>/3x>/6-2sin45°+(^-2025)°.

2(x-l)>3x-5

16.解不等式组：＜x+3.

------<2x

2

化简：（三1x+2

17.+一■：—：—

1x+\Jx~-1

18.如图，已知VA3C,利用尺视作图法在3。边上求作一点。，连接AO,使得NADC=2NB.（不写

作法，保留作图痕迹）

A

19.如图，在△A5O和△ACO中，AB=AC,BD=CD,求证：A力平分/B4C.

A

20.某校为了落实“五育并举”教育举措，课后开设了A.围棋、B.航模、C.书法、D.阅读四个兴

趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽卡片的方式进行选择、抽卡片规则为：

将带有这四个兴趣小组图案的不透明卡片背面朝.匕（四张卡片除正面图案不同外，其余均相同），洗匀后

放在束面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下对应的兴趣小组后放回，洗匀后小阳再随机抽取一张，

记下对应的兴趣小组，

ABCD

（1）小明抽到围根兴趣小组的概率是；

（2）围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读教室在二楼・请用画树状图或列表的方法求出小明、

小阳抽到的兴趣小组不在同一楼层的概率.

21.如图1是某地的•座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图.在学习完“利用三角函数测高”知识后，

某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图.已

知铁塔A8垂直于桥面（即A8八CE）.测角仪C。、所在A8两侧.CO=EF=1.6m,点C与点E

相距105m（点C,B,£在同一条直线上），在。处测得铁塔顶点A的仰角为45。，在尸处测得铁塔顶

点A的仰角为53。，DC1.CE,FELCE.图中所有的点都在同一平面内.求铁塔的高度A8.（参考

434

数据：sin53°k一,cos53°,tan53°«—）

553

22.近海处有•艘渔船A正向公海方向行驶，--艘快艇8从海岸出发追赶渔船4.图中（、4分别表示快

艇8、渔船A相对于海岸的距离6（海里）与快艇追赶的时间/（分）之间的关系.根据图象解答下列问

题:

(1)求，2的函数解析式:

(2)当渔船A距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇人能否在渔船A进入公海前追上它？请说明

理由.

23.2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，意义非凡某校为了解本校学生对抗战知

识的掌握情况，组织了有关抗战知识的竞答活动，并随机抽取了3()名同学的成绩，形成了如下的调查报

告：

课题某校学生对抗战知识掌握情况

调查方式抽样调查

调查对象XT学校学生

分组成绩切分频数组内总分/分

A6Ci<x<705325

B70£xv807525

C80<x<90n950

D90<JC<1007660

数据的整理与描述

请根据调查报告，解答下列问题：

(1)补全频数直方图，所抽取学牛.成绩的中位数落在组;

（2）求所抽取学生成绩的平均分；

（3）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于90分的学生有多少名？

24.如图，VA3c内接于。0,是0。的直径，点。是。人上一点，。石SAN交3c的延长线于点E，

点、F是DE上一点,连接CT7,CF=EF.

（1）求证：是。。的切线;

（2）若AB=庞=8,点。是的中点，求3c的长.

25.如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线.OB、Q4分别表示斜坡在竖

直平面内的铅直高度和水平宽度.斜坡顶部3处有•竖立的喷水装置8C,喷头C可以沿斜坡向下喷水（喷

出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物.当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚A处，此

时水流最高点。到8c的水平距离为1米.已知03=2米，。4=8米，8c=0.4米，点/在OC上.以点

。为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.

（1）求水流所在抛物线的函数解析式；

（2）若在距离喷水装置8c水平亚离为3米位置的斜坡A8上有一棵高为0.8米的小树苗，小树苗与x轴

垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到.

26.【问题提出】

（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、3c为直角边在45上方作R^ACE和RLBC尸,

CE

AECF=ZCAE=Z.CBF=90°,若AC=2,BF=3,求——的值:

CF

【问题探窕】

（2）如图2,在中，NA3C=90。，点。是AC边的中点，连接30,过点。作。E_L8O,

且DE=BD，连接AE、CE,求证：AELCEx

【问题解决】

（3）如图3,正方形是某公园的一片空地，现对其进行规划，在A6边上的点E处设立入口，沿CZ?

修一条小路，在区域种植郁金香，在CE的中点”处修一座观景台，沿8厂修一条小路，再从尸修一

条与小路8/垂直且相等的小路尸G（户G与8户在CE异侧），在CG、GE与CE围成的ACEG区域种植牡

丹花.已知4力=CG=200m,求点〃到入口E的距离8E.（小路的宽度与观景台的大小忽略不计）

2025-2026学年度第二学期开学收心作业

九年级数学

注意事项：

1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.全卷共6页，总分120分.考试

时间120分钟.

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、

班级和准考证号.

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效.

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑.

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1,计算：8+（-2）=（）

A.4B.16C.-4D.-16

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数除法法则计算即可.

【详解】解：8+（—2）=-（8+2）=-4.

2.如图所示的儿何体，它的主视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的三视图求解即可.

【详解】解：由图中所给的几何体可得它的主视图为:

3.如图，AB//CD,射线CE交A8于点尸，若NA在'=128'，则NC的度数是()

A.38°B.42°C.48°D.52°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了邻补角和平行线的性质，

根据邻补角互补求出NBfE=52。，再根据两直线平行，同位角相等即可求解.

【详解】解：•・・/4/石二128。，

:.4BFE=18O°-ZAFE=18O°-128°=52°,

VAB//CD,

・•・/C=/BFE=52。,

故选:D.

4.计算2a%•(-3〃)的结果是()

A.-B.6//c.-6a2b-D.6a2b2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幕相乘底数不变、指数相加进

行计算是解题的关键.

根据单项式的乘法法则直接求解.

[详解]2a2b.(-3Z?)=[2x(-3)]a2hh=-6a2b2.

故选：c.

5.如图，在VAAC中，4。是VAAC的高，AE是V48C的中线，若AO=6,445七的面积为15,则

8C长为()

BEDC

A.10B.12C.13D.14

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的定义，通过是VA3c

的高，△A8E的面积为15,求得3£=5,再由AE是VA8C的中线得=，代入即可求解，熟

练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：・.・八£）是"4〃。的高，△4BE的面积为15.

：.-BExAD=\5

2t

.\-^Ex6=15,

2

:.BE=5，

AE是VA8C的中线，

2

・•・BC=10,

故选：A.

6.将一次函数丁=丘一2（攵为常数，攵/0）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点

（T5）,则&的值为（）

A.7B.-7C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数图象的平移规律与待定系数法求参数，先根据“上加下减”的平移规律得

到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解我的值.

【详解】解：•・•一次函数》=依-2的图象向上平移4个单位长度，

・•・平移后的一次函数解析式为>="—2+4,即y=kx+2,

•・•平移后的图象经过点（一1,5）,

・,.将x=-l,y=5代入y=Ax+2,得5=-攵+2,

・•・—左=5—2=3,

**•^=—3.

故选:c.

7.如图，在菱形ABC。中，点七是对角线3。上的一点，BE=AD，连接AE，若NC=100。，则

ND4石的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键.根据菱形的性质得到

BC=AB=CD=AD,NB40=NC=100。，ZABC=18O0-ZC=8O°,

ZABE=^-ZABC=40°,由8E=A。，得到AB=AE，从而根据“等边对等角“得到

2

ZBAE=ZBEA=70°,根据角的和差即可求解.

【详解】解：:四边形A8CD是菱形，

ABC=AB=CD=AD,=ZC=100°,AB//CD,

・•・/ABC=18O°-ZC=80°,

・•・在菱形AbCD中，ZABE=-ZABC=40°,

2

・•・ZBAE+ZBEA=180°-ZABE=140°,

•:BE=AD，

:・AB=BE，

・•・/胡E=N8E4=70。，

・•・/DAE=ABAD-ZBAE=1（K）°-70°=30°.

故选：A.

8.若3（〃2+3/2）是二次函数y=g/+云+2（力为常数）的图象上的两点，且4<〃<6,

Yvmv—3,则下列关系正确的是（）

A.2<<%B.y,<y2<2C.必<>v2D.yv2v>2

【答案】B

【解析】

【分析】本题利用二次函数的对称轴和增减性比较函数值大小，开口向上的二次函数，对称轴右侧)'随X

的增大而增大，结合给定范围推导即可.

【详解】解：•・,二次函数y=+/?x+2,。=—>0,

*22

b

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线“=一广==一h，对称轴右侧y随x增大而增大，

2x-

2

4<Z?<6,

二-6<—Z?<=1,

*.*-4<???<—3,

-1</w+3<0»

・・・—〃<T<机<m+3<0,即A、。两点都在对称轴右侧，

*.<加<+3,

・•・%<为，

将上=0代入函数得>=2,

又•••加+3<0,

/.y2<2,

综上可得y<%<2.

第二部分(非选择题共96分)

二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分)

9.因式分解多项式：a3-2a2+a=.

【答案】a(a-\)2

【解析】

【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可.

【详解】解；2a2\a=a(^a'2al1)=a^a1)",

故答案为：a(a—l)2.

1().“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城

墙垛”形状.已知第I个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴

棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为.

第1个第2个第3个

【答案】32

【解析】

【分析】本题主要考查了图形变亿的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加6

是解题的关键.

根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由题知，

第①个图形需要的火柴棒根数为：8=lx6+2；

第②个图形需要的火柴棒根数为：14=2x6+2；

第③个图形需要的火柴棒根数为：20=3x6+2；

•••

所以第〃个图形需要的火柴棒根数为（6〃+2）个.

当〃=5时，6〃+2=6x5+2=32

故答案为：32.

11.某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则

比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是天.

【答案】9

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设计划生产的天数为x天，根据总零件数相等列出方程

20（x+l）=25（x-l）,求解即可得出答案.

【详解】解：设计划生产的天数为x天.

根据题意，得20（x+l）=25（x—l）,

去括号得20x+20=25x—25,

移项得20+25=25x-20x,

合并得45=5X,

解得x=9.

故答案为：9.

12.如图.AA是。O的直径,点C、。在。O卜.AC-AD^连接AC、CI）、OD,若/A=20。.

则NQOC的度数为

【答案】50

【解析】

【分析1本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接

OC,则N8OC=2NA=40。，由AC=4O，A8是。。的直径，可得8C=8O,从而可得

ZBOC=ZBOD=40°,最后由等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求解.，掌握知识点的应用是解

题的关键.

【详解】解：如图，连接OC,

・•・ZBOC=2ZA=40°,

,**AC=AD^A5是。。的直径，

・•・BC=BD，

・•・4BOC=/BOD=40。,

・•・NCOD=80。，

•;OC=OD,

；・ZODC=ZOCD=50°,

故答案为：50.

13.已知反比例函数），=-------（k为常数，攵03）的图象在各象限内，）'随x的增大而增大，则攵的值可

以是.（只写一个）

【答案】4（答案不唯一，大于3的数均可）

【解析】

k

【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数y=；（A=O）,当k>0时，图象位于第一、三

象限，且），随八•的增大而减小；当左<0时，图象位于第二、四象限，且），随x的增大而增大是解题关键.

根据反比例函数的性质，得6-2左<0,解不等式，再写出符合题意的一个值即可.

6-2&

【详解】反比例函数y=-----的图象在各象限内，），随x的增大而增大，

x

则比例系数6—24<0.

解得%>3.

故2的值可以是任何大于3的数，例如4.

故答案为：4（答案不唯一，大于3的数均可）.

14.如图，在面积为12的正方形A8CO中，以8C为一边向正方形内作等边△8CE,点尸是对角线上

的动点，连接■、EF，则Ab+EF的最小值为.

【答案】2世

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题

的关键.

由四边形A3CO是正方形，可得A、C关于8D对称，则当E、F、。共线时，4尸+EE的最小值为EC

的长.

【详解】解：•・•正方形A8CO的面积为12,

；・BC=V12=273»

:△BCE为等边三角形,

・•・BE=EC=BC=26

•・•四边形A3CO是正方形，

:•A、C关于对称，

・•・FA=FC,

:,AF+EF=FC+EF,

・•・当E、F、。共线时，A/+EF的最小值为EC的长,

:・AF+EF的最小值为2百.

故答案为：2G.

三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）

15.计算：x/3xV6-2sin45°+-2025）°.

【答案】2桓+1

【解析】

【分析】本题考查实数的混合运算，根据二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，零指数累计算即可，正确

计算是解题的关键.

详解】解：原式=/而-2><立+1

2

=3>/2-V2+l

=272+1.

2（^-1）>3x-5

16.解不等式组：,x+3-

----<2x

2

【答案】lvxW3

【解析】

【分析】分别根据解不等式的步骤解两个不等式，找这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集.

【详解】解：解不等式2（1—1）23工一5,

去括号，得：2x-2N3x-5,

移项，合并同类项，得：一3之一3,

系数化为1,得：x<3,

解不等式孚<2x.

去分母，得：x+3v4x,

移项，合并同类项，得：3x>3,

系数化为1,得：x>l,

原不等式组的解集是1<XK3.

八皿（11、x+2

17•化简：--+---rp-――.

\x-\X+\）X-1

【解析】

【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可

得到结果

【详解】解：+岩

\x-\x+1Jx-1

_2x_x+2

,2x(x+l)(x-l)

------------------A-----------------

(x+l)(x-l)x+2

18.如图，已知VA3C,利用尺规作图法在4c边上求作一点。，连接A。，使得NADC=2NB.(不写

作法，保留作图痕迹)

【解析】

【分析】本题考杳了基本作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三

角形的外角性质，根据作已知线段的垂直平分线的作图方法步骤作图，然后通过等腰三角形的性质，垂直

平分线的性质，三角形的外角性质即可求解，掌握作已知线段垂直平分线的作图方法是解题的关键.

【详解】解：如图，作线段八3的垂直平分线OE,交BC于点D,连接AO,则点。即为所求，

理由：•・•£)£垂直平分A8,

：,AD=BD，

工AB=ZBAD，

■:/ADC=B+/BAD,

・•・ZADC=2ZB.

19.如图，在△ABO和△AS中，AB=AC,BD=CD,求证：八。平分/84C.

A

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据“SSS”证明也△ACO,然后由全等三

角形的性质可得N8AO=NC4O,即可证明结论.

【详解】证明：在△A8O和△ACZ＞中，

\-AB=AC,BD=CD,AD=AD,

ABAD=ZCAD,

二.AD平分NR4C.

20.某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了A.围棋、B.航模、C.书法、D.阅读四个兴

趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽卡片的方式进行选择、抽卡片规则为：

将带有这四个兴趣小组图案的不透明卡片背面朝上（四张卡片除正面图案不同外，其余均相同），洗匀后

放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下对应的兴趣小组后放回，洗匀后小阳再随机抽取一张，

记下对应的兴趣小组.

ABCD

（1）小明抽到围棋兴趣小组的概率是_________:

（2）围棋、航模、书法的活动教空都在三楼，阅读教室在二楼：造用画树状图或列表的方法求出小明、

小阳抽到的兴趣小组不在同一楼层的概率.

【答案】（1）7

4

【解析】

【分析】此题考查的是树状图法以及概率公式.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有6种,

再由概率公式求解即可.

【小问1详解】

•・•开设了围棋、航模、书法、阅读四个兴趣小组，

・•・小明抽到围棋兴趣小组的概率是!；

4

【小问2详解】

画树状图如下：

小明ABCD

小阳ABCDABCDABCDABCC

由上图可知共有16种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有6种，

：.P（小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层）=—=j.

168

21.如图1是某地的•座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图.在学习完“利用三角函数测高”知识后，

某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测最，图2是其设计的测审示意图.已

知铁塔48垂直于桥面（即AB八CE）.测角仪CO、E/在A3两侧.CQ=EF=1.6m,点C与点E

相距105m（点C,B,E在同一条直线上），在。处测得铁塔顶点A的仰角为45。，在产处测得铁塔顶

点A的仰角为53。，DC±CE,FEA.CE.图中所有的点都在同一平面内.求铁塔的高度A3.（参考

434

数据：sin53°x—,cos530工-,lan53°«—）

553

吟尸

E

【答案】61.6m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关犍.连接。户交48于点G,则OFJLA8,根据题意可得：CD=EF=BG=l.6m,

DF=CE=105m,然后设DG—vm,则/G=QF-QG=(105—x)m,分别在RtdOG和

RtzXA/G中，利用锐角三角函数的定义求出4G的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答.

【详解】解：连接。尸交A8于点G,则£)P_LA8，

A

CBE

由题意得：CD=EF=BG=1.6m,DF=CE=l05m,

设ZX7=xm,则FG=£>F-£>G=(105-x)m,

在RjADG中，ZADG=45°,

AG=DG-tan45°=x(m).

在RlZXHbG中，ZAFG=53°,

4

/.AG=FG-tan53°«—(105-A)m,

4

.•.x=-(105-.r),解得x=60,则AG=60m,

AB=AG+3G=60+1.6=61.6(m),

•••铁塔的高度AB为61.6m.

22.近海处有一艘渔船A正向公海方向行驻，一艘快艇〃从海岸出发追赶渔船A.图中4、4分别表示快

艇B、渔船A相对于海岸的距离s(海里)与快艇追赶的时间，(分)之间的关系.根据图象解答下列问

题：

(1)求4函数解析式；

(2)当渔船A距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇B能否在渔船A进入公海前追上它？请说明

理由.

【答案】(1)s=-t+5

5

（2）快艇8能在渔船A进入公海前追上它.理由见解析

【解析】

【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

b=5

（1）设4的函数解析式为5=々+〃，将点（0,5）和（10,7）代入得出，,『，求解即可得出答案;

10k+b=7

（2）根据数据，可以计算快艇8的速度，然后计算出快艇8行驶12海里需要的时间，再将s=l2代入

（1）中的函数解析式，求出相应的1的值，最后比较两个时间即可解答本题.

【小问1详解】

解：（1）设4的函数解析式为5二灯+〃，

h=5

将点（0,5）和（10,7）代入上式，得，

10k+b=7

k==

解得，5,

b=5

・••/2的函数解析式为$='/+5；

5

【小问2详解】

快艇B能在渔船A进入公海前追上它.

理由：由图可得快艇3的速度为5+1（）=0.5（海里/分），

12+0.5=24（分钟），

将s=12代入s='1+5得：12=』/+5,

5

解得1=35,

•・・24v35,

「•快艇3能在渔船A进入公海前追上它.

23.2025年是中国人民抗口战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，意义非凡某校为了解本校学生对抗战知

识的掌握情况，组织了有关抗战知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报

告：

诛题某校学生对抗战知识掌握情况

调查方式抽样调查

调查对象XT学校学生

分组成绩M分频数组内总分/分

A60Kx<705325

B70<x<807525

C80<x<90n950

D90<x<1007660

数据的整理与描述

请根据调查报告，解答卜列问题：

（1）补全频数直方图，所抽取学生成绩的中位数落在组；

（2）求所抽取学生成绩的平均分；

（3）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于9（）分的学生有多少名？

【答案】（1）图见解析，C（或8OW9O）

（2）82分（3）280名

【解析】

【分析】本题主要考查了频数分方直方图，求个体，中位数，用样本估计总体等相关知识，通过图表获取

所需信息是解题关键.

（1）用总体减去A,B,D组的人，即可求出C组的人，再根据中位数的定义求解即可；

（2）各组总分之和除以总人数即可；

（3）用样本估计总体即可.

【小问I详解】

解：由题意知〃=30—5—7—7=11,

•・•一共30名同学，从小到大排列后，中位数为第15位和第16位数平均数,

5+7<15,5+7+11>16,

・••所抽取学生成绩的中位数落在C组（或80Mx<90）.

【小问2详解】

解：（325+525+950+660）+30=82,

答：所抽取学生成绩的平均分为82分.

【小问3详解】

解：1200x—=280（名）,

30

二.估计成绩不低于90分的学生有280名.

24.如图，VA3c内接于。。，是的直径，点。是上一点，。石SA5交3c的延长线于点£,

（1）求证：C/是。。的切线；

（2）若AB=庞=8,点。是OA的中点，求3c的长.

24

【答案】（1）见解析（2）不

【解析】

【分析】本题主要考查了圆的直径定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定和性质，勾股定理，相似三角

形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质.

（1）连接OC,根据垂直得出直角，根据等边对等角以及角的和差得出NOCr=90。，即可得出结论；

（2）根据勾股定理求出跖=10,证明,然后根据相似三角形的对应边成比例即可求解.

【小问1详解】

证明：连接OC,

DEJ.AB，

:.ZE+ZABC=90°.

•・•CF=EF,

:"E=NECF.

\'OB=OC,

ZABC=NOCB,

ZECF+ZOCB=NE+ZABC=90°,则ZOCF=90°,

・•.Cb是O。的切线；

【小问2详解】

解：・.・A4=DE=8,A3是。。的直径，点。是04的中点，

.­.zTACB=90°,04=08=4,OD=AD=2,则B力=6.

・.,DE=8,DE,AB,由勾股定理得，

BE=\/BD?+DE2=10■

・.,ZABC=NEBD,ZACB=/EDB=900,

:.AABCSAEBD,

BCAB

防一商‘

“8x624

二.DC=------=—.

1()5

25.如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线.OB.分别表示斜坡在竖

直平面内的铅直高度和水平宽度.斜坡顶部3处有一竖立的喷水装置8C,喷头C可以沿斜坡向下喷水(喷

出的水流呈抛物线状)，用于浇灌林场内种植的植物.当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚A处，此

时水流最高点。到的水平距离为1米.已知。8=2米，。4=8米，BC=0.4米，点??在OC上.以点

。为原点，所在直线为V轴，建立平面直角坐标系.

（1）求水流所在抛物线的函数解析式;

（2）若在距离喷水装置8c水平距离为3米位置的斜坡A8上有一棵高为0.8米的小树苗，小树苗与x轴

垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到.

I491112

【答案】⑴尸一却1）7、云或尸一犷一x-\---

105

（2）喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗.

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题

的关键.

（]）由题意可得点A的坐标为（80）,水流所在抛物线顶点的横坐标为1，然后利用待定系数法求解析式即

可；

1]、？49

（2）先求出直线的函数解析式为丁二一一x+2,将x=3分别代入y二一一（x—1）~+—和

420v720

y=--x+2,求出》的值，然后作差比较即可.

4

【小问1详解】

解：由题意可得点A的坐标为（8,0）,水流所在抛物线顶点的横坐标为1，OC=OB+BC=2A（米）,

・••点。的坐标为（0,2.4）,

设水流所在抛物线的函数解析式为y=。（x-+c,

49Q+C=0

将A（8,0）、。（0,2.4）代入上式，得＜

a+c=2A

1

解得I

49

c=一

20

・•・水流所在抛物线的函数解析式为y=-上（x—1了+々或），=—二/+二彳+生

'20'72020105

【小问2详解】

解：由题意可得点区的坐标为（0,2）,

设直线AB的函数解析式为y=kx+b,

将点A（8,0）、8（0,2）代入，得!

,k=--

解得4,

b=2

:.直线AB的函数解析式为>=一!x+2,

4

149

将“3代入y=-三(z％-1)27+茹,得y=2.25,

将工=3代入y=--x+2,得），=1.25,

•・•2.25-1.25=1>0.8,

・•・喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗.

26.【问题提出】

（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为直角边在A8上方作和

CF

ZECF=ZCAE=ZCBF=90°,若AC=2,BF