人教版八年级数学下册《函数的概念》每课时导学案汇编（含三个导学案）

22.1函数的概念(第1课时)导学案

一、学习目标

1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，发展抽象能力。

2.能结合公式、实际问题分析其中的变量与常量，体会运动变化过程中的数量变化。

学习重点：了解常量、变量的意义。

学习难点：能分析实际问题中的变量与常量。

二、学习过程

(一)情境引入

“万物皆变，，一行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心

的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…….在现实世界中，这

种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.

在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法.在此基础上，用函数

描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用.

(二)合作探究

思考⑴汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间r分别为lh,2h,5h时,行驶路程s分别为多少?s

的值随/的值的变化而变化吗？

(2)电影票的售价为40元/张第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出18。张票，三场

电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随工的值的变化而变化吗？

(3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm,20cm,

30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随,•的值的变化而变化吗？

(4)长方体的体积为1000cm3,当长方体的底面积S分别为50cm2,100cm2,125cm2时，高h分别为

多少?〃的值随5的值的变化而变化吗?

归纳常量与变量的概念

一般地，在一个变化过程中，我们称的量为常量，的量为变量.

问题常量变量

汽车行

驶问题

电影票

房问题

水中涟

漪问题

长方体

问题

(三)典例分析

例1指出下列问题中的常量加变量：

(1)某市居民生活用水的价格为5元儿记某户的月用水量为xt,月应缴水费为)，元.

(2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车〃

次，公交卡中的余额为卬元.

(3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm,矩形的面积为Sm?.

(四)巩固练习

1.指出下列问题中的常量和变量：

(1)向一个水池注水，注水速度为0.1m%nin.记注水时间为xmin,注水量为)，m’.

(2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.

年汾X20162017201820192020

国内生产总值

746395.1832()35.9919281.1986515.21013567.0

w亿元

(3)一个平行四边形的底边长为5,高力可以任意改变，面积为S.

2.举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量.

3.对于圆的周长公式C=2w,下列说法正确的是（）

A.C,兀是变量，2是常量B.,•是变量，C是常量

C.C是变量，厂是常量D.C＞「是变量，2冗是常量

4.在三角形面积公式S=）h,a=2cm中，下列说法正确的是（）

A.S,a是变量，。是常量B.S,〃是变量，a是常量

C.S,〃是变量，是常量D.S,h,。是变量，:是常量

5.球的体积是M,球的半径为R,则其中变晶和常曷分别是（）

A.变量是M,R；常量是］B.变量是R,兀：常量是*

C.变量是M,7C；常量是3,4,nD.变量是M,R；常量是M

6.一支笔2元，买x支共付p元，则2和歹分别是（）

A.常量，常量B.变量:，变量C.常量，变量D.变量，常量

7.如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拄”.据统计，通常情况下，人的一扑长z（单

位：cm）与本人的身高s（单位：cm）之间的关系式为z=0.3s-31.3,则下列关于变量和常量的说法正确的是

A.z是变量，s是常量B.s是变量，z是常量1J/3

C.0.3与-31.3是变量，s与z是常量D.s与z是变量，0.3与-31.3是常量一拄

8.已知某汽车耗油量为O.lL/km,油箱中现有汽油50L.如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm,

油箱中的油量为yL.则此问题中的常量和变量是（）

A.常量50；变量x.B.常量0.1；变量y.

C.常量0.1,50；变量％,y.D.常量了,y；变量0.1,50.

9.如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌.在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确

的是（）

金额206.25

A.金额、单价是变量，数量是常量B.数量、单价是变量，金额是常量皿口

数量2〉

单价8.25

C.金额、数量是变量，单价是常量D.金额、数量、单价都是变量

（五）归纳总结

常量与变量

常量在一个变化过程中，我们称______________的量为常量.

变量在一个变化过程中，我们称_______________的量为变量.

（六）感受中考

（2022年广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r,则圆周长C与/•的关系式为C=2w.下

列判断正确的是（）

A.2是变量B.兀是变量C.r是变量D.C是常量

（七）布置作业

1.必做题：习题22.1第1题.

2.探究性作业：

汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系：产％如果汽车以每时60km的速度行

驶，那么在尸山中，变量是，常量是;如果汽车行驶的时间/规定为1小时，那么在尸W中，

变量是，常量是;妇果甲乙两地的路程s为200km,汽车从甲地开往乙地，那么在中，

变最是,常量是.

22.1函数的概念（第2课时）导学案

一、学习目标

1.从典型实例中抽象概括出豕数的概念，r解函数的概念，发展抽象能力。

2.能举出函数的实例，进一步体会运动变化过程中的数量变化。

学习重点：从典型实例中抽象概括出函数的概念。

学习难点：理解函数概念中的单值对应关系。

二、学习过程

（一）复习引入

在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，

来认识事物变化的规律.

常量：在一个变化过程中，我们称的量为常量

变量：在一个变化过程中，我们称的量为变量.

（二）合作探究

思考第90页“思考”的问题（1）〜（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如

何表示这种关系？

（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间f分别为lh,2h,5h时，行驶路程s分别为多少?s的

值随/的值的变化而变化吗？

（2）电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电

影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随.1的值的变化而变化吗？

（3）你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径「分别为10cm,2（）cm,

30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗？

（4）长方体的体积为1000cn?,当长方体的底面积s分别为50cm2,100cn?,125cm?时,高/?分别为

多少?力的值随S的值的变化而变化吗？

归纳上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有的值与

其对应.

思考（I）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简

称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量/与〃.这两个变量之间有什么关系？

•呢2XX)41006；008；0010：€012:0014:0016:00IS；(»20:0022:0024.00，

关系：.

思考（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变

量工和y这两个变量之间有什么关系？

存款期限与年利率

存款期限W月3612243660

年利率W%1.151.351.451.651.952.00

关系：.

归纳函数及其相关概念

一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量X与），,并且对于X的每一个确定的值,），都有的

值与其对应，那么我们就说K是，y是X的.如果当下。时产儿那么"叫作当自变量的值为

a时的.

（三）典例分析

问题（1）：函数关系式：，其中—是自变量，—是—的函数；当/=1时，函数值s二—,

当J-时，函数值s=120.

思考（1）：结合图象可得：—是自变量，一是一的函数；当仁18时，函数值/尸—.

思考（2）：结合表格可得：是自变量，是的函数；当产时，函数值产1.45%.

（四）巩固练习

1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.

（1）改变正方形的边长x,正方形的面积S随x的变化而变化；

（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度〃随时间/的变化而变化；

（3）某天不同时刻的气温如图所示.气温7随时间/的变化而变化；

（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.

月1123456789101112

降水量

20234395146193186138106864824

j/min

2.举出•个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.

3.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度是离起点的水平距离,的函数吗？

为什么？

水平距离r/cm

（六）归纳总结

函数及其相关概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与T，

自变量与

并且对于X的每一个确定的值，J嘟有^______的值

函数

与其对应，那么我们就说r是_______,vU的_____.

如果当.v=a时产力,那么力叫作当________________时

函数值

的_______.

（六）感受中考

1.（2025年贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，JL

则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（）/8\

A.越来越慢B.越来越快C.保持不变D.快慢交替变化屋二金

2.（2025年江苏盐城）博物馆到小明家的路程为8km,小明回家所需时间不，随平均速度v&m/h）的变

化而变化，则Z与u的函数表达式是（）

2

A.Z=8vB.8C.t=-vD./=8v

3.（2024年海南）设直角三角形中一个锐角为工度（0<x<90）,另一个锐角为），度，则），与工的函数关

系式为（）

A.产180+xB.尸180-xC.尸90+xD.y=90-x

4.（2024年甘肃白银）如图1,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全

图1图2

套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组

合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长

桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）

A.尸3xB.y=4x

C.产3x+lD.y=4x+\

5.（2022年湖南郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流/（A）、电阻三者之间的关

系：/=（测得数据如下：

Rg100200220400

1(A)2.21.110.55

那么，当电阻R=55C时，电流/=A.

（七）布置作业

1.必做题：习题22.1第2,3,5题.

2.探究性作业：习题22.1第6,9题

22.1函数的概念（第3课时）导学案

一、学习目标

।.了解并使用解析法表示简单实际问题中的函数关系，发展抽象能力。

2.会初步分析简单实际问题中的函数关系，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值,

发展应用意识。

学习重点：用解析法表示函数关系。

学习难点：确定简单实际问题的自变量取值范围。

二、学习过程

（一）复习引入

函数及其相关概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与『，

自变帚与

并且对于*的每一个确定的值，y都有___________的值

函数

与其对应，那么我们就说X是________,J，是X的______.

如果当尸〃时尸瓦那么力叫作当_________________时

函数值

的_______.

（二）合作探究

例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量），（单位：L）随行驶路程工（单

位：km）的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.

（1）写出表示），与x的函数关系的式子；

（2）指出自变量x的取值范围；

自变量的取值范围：

函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有意义；超出这个范围，函数没有

意义，我们把这种叫作函数自变量的取值范围.

分析不考虑实际意义：自变量的取值范围是.

考虑实际意义：x表示的实际意义是，所以，

0.以表示的实际意义是，所以,即.

综上所述：自变量的取值范闱是.

总结确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使有意义，而且要注意问题的意义.

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

函数的解析式的概念

像产50-O.lx这样，用关于自变量的数学式子表示与之间的关系是表示函数的常

用方法，这种式子叫作函数的解析式.

（三）典例分析

例判断下列问题中的两个变显之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变品与函数，并写出函数解

析式.

（1）水箱中原有水10L,漏水速度为0.05L/h,水箱中剩余的水量“单位：L）随时间/（单位：h）的变化而

变化；

⑵绿水村的耕地面积是106m2,这个村的人均耕地面积M单位：n?）随人数〃的变化而变化.

（四）巩固练习

1.梯形的上底长为2cm,高为3cm,下底长x（单位：cm）大于上底长但不超过5cm,写出梯形面积S（单

位：cm?）关于工的函数解析式，并指出自变量x的取值范围.

2.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.

3.在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为尸0.3H12,

则其常数项12的实际意义是.

4.在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具.购买一套价值15元的生态瓶基

础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元.设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额

为y元，则y与x的表达式为.

5.己知等腰三角形的周长为16,腰长为x,底边长为），，则），与x的函数关系式为」~162j,自变品

x的取值范围是.

6.海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80。~85。.为

使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温丁（单位：笛）随烧水时间八单位：min）

变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的.

Z/min02468

T/℃1731455973

⑴求水温r与时间t之间的表达式;

（2）为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？

⑶烧水lOmin后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶.

（七）归纳总结

函数的解析式

用_______________________表示______与________之间的关

定义

系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.

门变

_____________________范围叫作函数的自变量取值范围.

Mnu