2026北师版九年级下册数学《直角三角形的边角关系》压轴21题专练

（新北师大）九年级下册数学《直角三角形的边角关系（压轴题专练）》

题型1:解直角三角形有关的动态问题

1.如图，YA8C。中，/W=4,BC=8,々=30°,点P是边AC上一动点，连接”，将线段的

绕点尸顺时针旋转90。，当点A的对应点上恰好落在YA比I）的边所在的直线上时，线段AP的

长为.

2.如图，在“8。中，A8=A。，点。是AC的中点，将88沿折叠得到△跳:D,连接AE.

若DEJ.AB于点、F,8c=10,则质的长为.

3.如图，将边民为3+石的等边AABC折叠，折痕为OE,点、B与点、F重合,E/和。尸分别交

AC于点M、N,DF工AB,垂足为。，A£>-1,则重叠部分的面积为

4.已知等腰“8C,ZA=120°,AB=2,现将“8C以点B为旋转中心旋转45。，得到”的,

延长CW交直线6c丁点O.则A7）的长度为.

4

5.如图，在菱形A8CQ中，tanA="M、N分别在边A。、8C上，将四边形沿MN翻

r\ij

折，使A4的对应线段瓦'经过顶点。，延长NE交。C于点”，当石尸工4）时，y的值

nC

为.

E

DHC

」N

AB

题型2：解直角三角形有关的综合判断问题

6.如图，正方形ABCD中，/W=1,连接AC,ZACD的平分线交4。于点E,在A13上截取AF=DE,

连接。。分别交CE，C4于点G,H,点Q是线段GC上的动点，。。，4。于点。，连接.下

列结论：①CE_L。/；②£>E+DC=4C；③£4=64〃；④9+PQ的最小值是也，其中所正

2

结论的序号是_

7.如图，在正方形ABC。中，点E、尸分别在边BCC。上，且ZE4F=45。，AE交BD于M点、,AF

交8。于N点.下列结论：①832+£）解=加储；②若F是8的中点，则tan/A£E=2；③连

接例。则尸为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是（把你认为所有正

确的都填上）.

8.将一张正方形纸片A8C。对折，使CD与A8重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点、,

将△（?£>后沿。E所在的直线折叠，使得点。落在折痕MN上的点尸处，连接质，BF,BD,则

得下列结论：①4ADF是等边三角形；②VanZEBF=2-6;③5A必=3正方开林,；④8尸=。尸）■.其

中正确的是（）

DC

A.®®®B.②③④C.①②③D.①②③④

9.如图，在正方形ABC。中，点£为边CD的中点，连接AE,过点〃作鳍_LAE于点尸，连接

A.0个B.1个C.2个D.3个

1（）.如图，在RlAABC中，AB=CB,BE1AC,N8AC的平分线A。交跖于点G,。于

点。，交4c于点尸，连接G/,DF.下列结论：①tanN8AO=（；②四边形创万G是菱形；③

CE=（a+1）GE；④加边形8相=5“卬.上述结论中正确的序号是（）

C.①②④D.①②③④

题型3：解直角三角形在相似三角形中的应用

11.如图，是等边三角形，射线”在A8右侧，/842=〃7（30。＜相＜90。），点8、E关于直

线”对称，连接AE、BE,且旌交射线”于点。，连接KC并延长交射线”于点

⑴当〃2=39。时，求/4CE的度数;

⑵当30。＜帆＜60。时，延长CE至IJG,使EG=b(如图2),随着机的变化，判断△4AG的形状

是否变化，并说明理由；

⑶在〃2变化过程中，若”=10,5=2,求线段。尸的长.

4

12.如图，在等腰”18。中，AB=4C=10,tan乙48C=§,点。是射线出上的一点，联结

以CD为底边作等腰△(7■,使得△EDCsA748a联结4E.

⑴求边8c的长；

(2)当点。在线段相上时，记线段BQ的长为盯ZMCE的面积为九求》关于x的函数解析式,

并写出x的取值范围；

⑶当x取何值时，△ACE是直角三角形.

13.如图1,已知线段AZ?,4C,线段AC绕点八在直线A4上方旋转，连接"C,以9c为边

在8C上方作RsBQC,且ZZ)8C=30。.

⑴若N8DC=90°,以/IB为边在/IB上方作RCBAE,且ZAEB=90。，ZEBA=30°t连接DE,用

等式表示线段AC与力石的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DEJ.AB,A8=4,AC=2f求8c的长；

(3)如图3,若N8CD=90。，AB=4,AC=2,当时，求此时tan/8C4的值.

14.在8c中，己知A8=AC,作AM_L8C,。是AM上一点，ZDBC=30°,连接B。、CD,

在8。上截取=连接AE.

(2)如图2所示，若分别取AE、AC的中点N、H,连接MN、MH,求证：MN=MH；

(3)如图3所示，ZBAC=90°,BC=2,将AC沿着直线笛翻折得到AQ,连接时,直线即交公

于点P,N为AE中点,当尸N取得最小值时，请直接写出"PN的面积.

题型4；解直角三角形在特殊平行四边形中的应用

15.E是菱形488边8C上一点，44律是等腰三角形，AE=EFfNAEF=ZABC=a

(90°^a<180),AF,EF交边CD于点G,H,连接Cr.

⑴如图1,当a=90°时,

①求NGb的度数；

②若CE=2,CF=O,请直釐写出G”的长;

⑵如图2,当a=120°时，若A8=5,BE=2,求的面积.

16.用四根一样长的木棍搭成菱形A8CD,〃是线段。。上的动点(点。不与点。和点C重合),

在射线8P上取一点M,连接DW,CM,使NCDM=NCBP.

操作探究一

⑴如图1,调整菱形A8CD,使44=90。，当点用在菱形A8CD外时，在射线8尸上取一点N,

使BN=DM,连接CN,则NBMC=_,熬=_

Mix-

操作探究二

(2)如图2,调整菱形ABC7),使4=120。，当点M在菱形43C。外时，在射线期上取一点N,

使BN=DM,连接CN,探索MC与A/N的数量关系，并说明理由；

拓展迁移

⑶在菱形A8CD中，4=120。，AB=6.若点P在直线CO上，点M在射线HP上，且当

ZCDM=NP8C=45。时，请直接写出MD的长.

17.综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动.已知，在矩形/WCD中，AB=6,

4。=10,点P是八8边上一点，将△APD沿直线PQ折叠，点A的对应点为点E.

【操作发现】

操作一：如图①，当点P与点8重合时，过点七作所〃AB,交.BD于点、F,连接质，试判定

四边形杯的形状，并说明理由；

操作二：如图②，当点E落在8C边上时，AP=;

操作三：如图③，当点"为"中点时，延长。E交“C于点G,连接尸G,则tanNPG4=.

18.平移，翻折和旋转是儿种重要的儿何变换方法，它们可以通过改变图形的位置，使分散

的条件集中，从而使丁问题解决.

图1图2

⑴知识理解；如图1,“小。中，ADJ.BC,AD=BC,将△AB£＞向右平移，使8与C重合，

得△ECE,连接AE,则I四边形4万£是_形；

⑵问题探究：如图2,E是正方形A8C。的边C。的中点，歹是C。延长线上的点，NE4尸=45。，

若DF=2,直接写出正方形的边长；(不用书写解答过程，但需在图中作出必要的辅助线)

⑶拓展应用：RtaAB/中，Z4BF=90°,8尸=6,N8Ab=a,延长所至区使律=AB,作N3£G=2e,

EG与AB交于G,当AG=4时，求tan。的值.

题型5：解直角三角形在平面直角坐标系中的应用

19.把两个等腰直角三角形纸片Q4B和OCZ)放在平面直角坐标系中，已知4-5,0),8(0,5),

C(T,0),0(0,4).将△OCT)绕点。顺时针旋转。(0。＜。4360。).

(1)当△&、力旋转至如图1所示的位置时，若点C的纵坐标为2,求旋转角。的值;

(2)如图2,当8C,。三点在一条直线上时.

①求证：△AOCqBO。；

②求AC的长；

⑷当A旋转至/OBC的度数最大时，直接写出△。的面积.

OCD••04

20.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0,4),点6(3,0),把绕点A逆时针旋转，得

△AB。，点、B,。旋转后的对应点为夕，记旋转角为a.

图3

⑴如图1,若a=60。,连接防求B口的长度;

(2)如图2,若a=120。,求()'的坐标并直接写出B'的坐标;

⑶在(2)的条件下,边。8上的一点P旋转后的对应点为P,请直接写出。P+AP'的最小值

和此时点P的坐标.

21.如图1,在坐标系中的点A、8在1轴上，点C在y轴上，且NACB=90。，々=30。,

AC=4,。是AA的中点.

⑴求直线8c的表达式；

(2)如图2,若E、尸分别是边人C,CD的中点，矩形瓦G"的顶点都在的边上，若所=2,

FG=V3,将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为〃?，矩形与△C8D重

叠部分的面积为S,当5=日时，请直接写出平移距离小的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，在矩形EFG”平移过程中，当点尸在边8c上时停止平移，再将

矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点〃落在直线CD上时，此时矩形记作用"Gd，由修

向x轴作垂线，垂足为。，请计算罂的值.

n}U

第1章直角三角形的边角美系（压轴题专练）

题型h解直角三角形有关的动态问题

1.如图，YA8CO中，AB=4fBC=8,/B=30°,点P是边8C上一动点，连接AP,将线段AP

绕点尸顺时针旋转90。，当点A的对应点E恰好落在YABC。的边所在的直线上时，线段AP的

长为.

【答案】2或4或2夜

【分析】分四种情况讨论.①如图，当点E落在8c上时，由旋转性质可得AP_L8C,在RLA8P

中，A8=4,ZB=30°,根据锐角三角函数可得AP=A4sinN以

②如图，当点£落在上时，过点A作于点M,过点E作硝上BC于点N,在Rt'HM

中，可得AM=2,BM=26,由旋转性质可得Z/W£-90。，”二Q，证明名△际（AAS）,

则PN=/W=2,设=可得PM=EN=26-X,CN=6-X,根据平行四边形的性质可得

/BCE=ZABC=3O°,贝ljEN=CNtan30。=当CN,即2>/5-x=^（6-x）,解得x=0,得到点P与

点8重合，则

③当点E落在A。上时，如图，过点。作PF_LA。于点八四边形AGPF是矩形，可得FP=2,

由旋转性质可得八PE,4PE=90。，得至ljAF=FE=F=2,再利用勾股定理可得结论；

④当点E落在A4上时，过点P作PGLAB于点G,由旋传性质可得AP=PE,ZAPE=90。,得

到AG=£G=PG,根据锐角三角函数可得］2日恶=蓝土率解得PC=26+2,则

BP=^^=46+4,得到46+4>8,继而推出点。在线段BC的延长线上，可得结论.

sin30°

【解析】解：①当点E落在5c上时，如图，

•・•线段初绕点P顺时针旋转90。，点A的对应点为点E,

/.AP±EPt

：.A尸_L8C,

在RtaABP中，A8=4,ZB=30°,

AP=A8sinNB=4xsin30°=4x2=2；

2

②当点E落在CD上时，如图，过点A作于点过点E作硒，“C于点N,

/.ZAMP=NPNE=ZC7VE=90°,

ZAPM+"W=9(r,

;线段"绕点P顺时针旋转90。，点A的对应点为点E,

/.ZAPE=90°,AP=EP,

:,ZAPM+ZEPN=W。,

，PAM=4EPN,

在△APM和△PEN中，

ZPAM=NEPN

<ZAMP=4PNE,

AP=PE

：.AAPM^AP£^(AAS),

AM=PN,PM=EN,

VZAMP=90°,A8=4,8c=8,ZABC=30°,

/.AM=/15sinZ5=4xsin30o=4xi=2,=A5-cosZB=4xcos30°=4x—=2>/3,

22

PN=AM=2,

设BP=x,

EN=PM=BM-BP=26-X,

CN=BC-PN—BP=8-2—x=6—x,

•・•四边形ABCZ)是平行四边形，ZABC=30°,

AB//CDf

：./BCE=ZABC=30°,

:ZC7VF=9O°,

EN=CNtanZBCE=CNtan30°=—C/V,2>/3-x=—(6-x),

337

解得：x=(),

・••点。与点4重合,

/.AP=AB=4;

③当点E落在A。上时，如图，过点P作勿'_LAO于点F,过点A作AGJ.BC于点G,

:.ZAGP=ZAFP=90°t

•・•四边形A8C。是平行四边形，NB=30。，AB=4t

：.AD//BC,AG=AZTsinN8=4xsin300=4xL2,

2

/.ZG4F=180。一NAGP=180°-90。=90°,

・・・四边形AGPF是矩形，

/.FP=AG=2,

.・•线段”绕点。顺时针旋转90。，点A的对应点为点E,

：・AP=PE,ZAPE=90°,

・•・AF=FE=FP=2,

AP=VAF2+PF1=V22+22=2x/2;

④当点E落在A8上时，过点P作尸G_LAA于点G,

/PGA=90。，

•・•线段初绕点P顺时针旋转90。，点A的对应点为点E,

:•AP=PE,ZAPE=90°t

：.AG=EG=PG,

/AB=4,BC=8,ZB=30°,

.“人生=上=正,

BGPG+43

PG=2退+2,

・»nPGPGrA

..BP=------=---------=4AA/3+4,

sinBsin30°

V4V3+4>8,

・・・点〃在线段BC的延长线上，不符合题意;

综上所述，AP的长为2或4或20.

故答案为：2或4或2夜.

【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性

质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用了分类讨论的思想.掌握旋转的性质，解直角三

角形是解题的关键.

2.如图，在“8。中，A8=4。，点。是AC的中点，将88沿折叠得到△BED,连接A£

若DE上AB于点F,8c=10,则AF的长为.

【答案】2M

【分析】取8C中点H,连接A”,取C”中点G,连接。G,作。于点设所=a,由

折叠可知AD=CD=7)E=＜则。尸=x-a,得到cosZABC=cos"EQ,从而推导出〃=一,由三角形中

X

位线定理得到RG4,从而推导出△^^^△CGO(AAS),得到四边形MRGO是正方形，。6=程，

A〃=15,最后利用勾股定理解答即可.

【解析】解：取KC中点〃，连接A“，取C”中点G,连接OG,作。于点M.

VAB=ACt”为BC的中点，

/.AHLBC,AD=CDfBH=HC=5.

丁点。是AC的中点，

六。。是“wyc的中位线，

：.DG//AHf则DG_L〃C于点G,

A

设印=a,由折叠可知4)=CQ=OE=x贝lj力/=x—a,

•.*AB=AC,

：.A13=2x,ZABC=ZACBf

又由折叠得4c8=/BED,BE=BC=IO,

ZABC=/BED,

.BHEF

..cosZABC=cosZBED,H即n---=---,

ABEB

.5a

••——=——9

2x10

解得i=生，

X

95

，DF=X-«=X-—,

X

*/OG是“IHC的中位线，

CG=CH=—,AH=21Xi,

•••“oG，=15一«

2

由折叠知4»M=NDCG,ED=CD,

/DEM=ZDCG

在△EMD和ACGD中，'NDME=ZDGC,

ED=CD

；,AE/WZ)^ACGD(AAS),

/.DG=MD.

*.*DELAB,

：.NEFB=90。，

/.ZD££?+Z£BF=90°.

XVZC;V/+ZACB=9(F,且ZACB=/DEB,

../EBF=NCAH,

NEBFiZ/\fiC=90°,

4DMB=ZM8G=ZBGD=9CF,

・•・四边形M8GO是正方形，

/.DG=BG=—

2f

AH=2DG=\5.

在RSA”C中，AH2+HC2=AC\

：.I52+52=（2.V）：,

解得：x邛,

./TT_3x/iopnir,_5Vio八「3M

••6Z=vlO9x-67=---,RJAD=---,DF=-------，

222

22

在RtAAFD中，AF=slAD-DF=2x/l0.

故答案为：2jIU.

【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的

判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解.

3.如图，将边长为3+6的等边折叠，折痕为OE,点8与点尸重合，所和OE分别交

AC于点M、N,DFA.AB.垂足为。，40=1,则重叠部分的面积为.

【分析】过点E作EGJ.AB于点G,根据等边三角形性质得出ZA=NB=NC=60。,

AB—AC—BC—3+6,根据折叠得出ZF=ZB=60°,求出S.。.=-ADDN=—,

3+G9+5石

q=-BDEG=-x（2+V3）x

*BDE2224

根据S四边彩MNDE=SGEF—S.NF得出答案即可.

【解析】解：过点E作的：“于点G,如图所示:

A

•・•"AC为等边三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,A8=AC=8C=3+5

根据折叠可知，/FDE=/BDE,ZF=ZB=60°,

*.*OF_LA3,

/FDB=/FDA=90°,

：.ZBEF=360°-ZB-ZF-ZBDF=150°,

/BDE=NFDE=-ZFDB=45°,

2

ZMEC=180O-ZBEF=30°,

/./EMC=180°-60。-30°=90°,

在RtZSADN中，AD=\,

，QN=AOxtan600=百

•*-4SRDANDN=2-AD-DN2=—,

在△%>£中8。=AB-AD=3+6-1=2+6

NEDG=45。,

ZDEG=45°,

：.DG=EGf

设DG=EG=x,

*.*tanZB=tan600=—=5/3,

BG

・R一百

3

x+x=2+-75,

3

解得：工=三立，

2

/.DG=EG=,

•c_1RA1，j3+百_9+56

**S.BDE=,EG=5X(2+X—--=---»

乙乙乙•

;ZB=ZC=ZF=60°,

BE=EG=73+1,

sin60°

：・EC=BC-BE=2,

•.*/BED=/FED=180°-ZB-/BDE=75°,

/FNM=/MEC=30。,

：./FMN=/EMC=90°,

EM=EC-sin60°=有，

/.FM=EF-EM=BE-EM=1,

MN=FM•tan60°=石，

S四边形MWF：=SgEF~SWNF

=SJBDE-S.MNF

故答案为：，石+”.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形面积

的计算，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合.

4.已知等腰“3C,乙4=120。，48=2.现将以点B为旋转中心旋转45。，得到ZVV8C,

延长C4交直线BC于点。.则A力的长度为.

【答案】4+26或4-26

【分析】分两种情况：①当”记。绕点3逆时针旋转45。得到△A8C,过点8作座_LA。于D,

作的垂直平分线”产交力B于从交/V。于R连接步，先求出/。=15。，再求出AE=1,

BE=6，进而得。/；=研=2右，EF=3,据此可求得A。的长；

②当“8C绕点8顺时针旋转45。得到zM/C,过点。作DW_LAO于M,作人。的垂直平分线

PQ交43于Q,先求出Z/T8Z)=15。，设则AO=2x,DM=心,进而可求得

DQ=BQ=2®,QM=3x,据此可求出X,进而可求得力。的长.

【解析】解：・・,将△AS。绕点3旋转45。得到△W3C,

・・・有以下两种情况：

①当MBC绕点、B逆时针旋转45。得到/XABC,

过点B作8E_LAO于E,作BD的垂直平分线〃尸交。8于H,交A。于F,连接斯,

•••△A班?为等腰三角形，4=120。，"=2,

・,.NBAC=4=120。，A八"=2,ZABC=30°,

NDY4=60。，

由旋转的性质得：乙窈4=45。，

/.ZABC=ZABA+ZABC=75°,

又ZABC=NDNB+ND,

即75。=60。+NO,

ZD=15°.

在中，ND4'8=60。，48=2,

・・・ZABE=3(T,

A,E=-AB=\

2f

由勾股定理得：BEMJAE-A'E?=5

:为4。的垂直平分线，

DF=BF,

/.ZD=zran=i5°,

/./EFB=/O+NFBD=30°,

:・BF=2BE=26故：DF=BF=20

由勾股定理得：EF=>IBF2-BE2=3，

/.AD=AE+EF+DF=4+2y/3；

②当"8C绕点B顺时针旋转45。得到△48C,

过点D作DM±于M,作BD的垂直平分线"?交44于Q,

pA

D

\QM

fr

由旋转的性质得：ZA8A=45。，ZBAC==120°,AB=AB=2t

：.ZABD=ZABA：-ZABC=15°,ZBA'D=60°,

*.*DMLAB,

：."DM=30°,

在Rt“VOM中，ZADM=30°,设A'M=x,

贝ljAD=24M=2r,

由勾股定理得：DM=slAlf-A'M2=瓜，

・.・PQ为AD的垂直平分线,

.•・BQ=DQ,

：.ZA,BD=Z0DB=15°,

NDQM=NA'BD+NQDB=30°,

DQ=BQ=2DM=2瓜,

由勾股定理得：QMNQ^-DM?=3X,

,/AM+QM+BQ=A8,

x+3x+2Gx=2,

即AfD=2x=4-2yf3.

综上所述：AZ）的长度为4+26或4-26.

故答案为：4+26或4-26.

【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，

勾股定理等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握图形的旋转变换，理解在直角三角形中，

30。的角所对的直角边等于斜边的一半，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错

点之一.

4

5.如图，在菱形A3C。中，、“二4，/、N分别在边AO、8c上，将四边形AMN8沿MN翻

折，使A8的对应线段所经过顶点。，延长NF交OC于点H,当样1AO时，亍的值

为.

【答案】I

【分析】由菱形的性质得出Z4+ZADC=180。，4+4=180。，由垂直定义及同角的余角相等可

4DM

得ZA=NDFH,利用折叠的性质，得出tanE=z=k，可设。M=4〃，则OE=3a,EM=5a,

3DE

AD=EF=CD=9a,DF=6a,由tan/QF”=tan4=3=也，设。"=4〃，则切=3〃,DF=5b,

3FH

求得〃吟，进而得到。”=学，CH普,从而可得答案.

【解析】解：••・菱形A5CQ,

：.AB//CD,AD//CBtAB=AD=CDtZA=ZC,

.•.ZA+ZAZ)C=18()0,ZA+ZB=I8O°,

vFF±AZ),

.•.Z4DF=90°,

■.•ZA+ZAZX?=ZA+ZA£>F+Z/T>A7=18O0,

.•.Z4+ZFDH=90°,

由折叠的性质可知，4B=/DFN,

•••4DFN+/DFH=18(T,

.•4+/£)"/=180°,

:.ZA=ZDFH.

.•./£>〃r=90。，即

由折叠可知ZA=NE，EF=AB,AM=EM,

,2=2力也

3DE

设0M=4〃，则OF=3a,

由勾股定理得：EM=」DM2+DE2=5”

：.AM=5a,

,,AB=EF=CD=AD=AM+DM=5a+4a=9a,

:.DF=EF-DE=9a-3a=6a,

______.4DH

(anZDFH=tanA=—=----,

3FH

设DH=4b,贝lj"7=3/?,

由勾股定理得：DF={DH，+FH°=5b，

：.DF=5b=6a,)?徉得力=?

J

，、口.6a24a

55

HC=CD-DH=9a--=—

55

24a

HC21a7

5

故答案为：

【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，正确表

示出DH和DC的长是解题关犍.

题型2：解直角三角形有关的综合判断问题

6.如图，正方形ABCD中，八4=1,连接AC,ZACD的平分线交A。于点E,在AB上截取AF=DE,

连接DF，分别交CE,C4于点G,H,点尸是线段GC上的动点，连接尸〃.下

列结论：①CE_LOF;②力石+DC=AC；③"=百人"；④/W+QQ的最小值是立，其中所正

2

结论的序号是_

nc

ri

AFB

【答案】①②④

【分析】先根据SAS定理证出，。「五双后，从而可得〃\DF=/DCE,再根据角的和差即可判

断结论①；根据等腰三角形的性质可得DC=CH,AF=AH,然后根据线段的和差、等量代换即

可判断结论②；先根据正方形的性质可得AC=&,再根据ZX?=C”=1可得

DE=AF=AH=42-1,求解力£=2-血，由此即可判断结论③；过点尸作PMJ_C。于点例，连

接“M，先根据角平分线的性质可得=PQ,再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当

“MJ_C。时，P〃+PQ取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④.

【解析】解：••・四边形A8C力是正方形，AB=1,

CD=AD=\,AC=>/2,ZADC=ZDAF=90°,ZACD=45°,八8/!CD,

在△A£)尸和△£)(西中,

AD=DC

<ZDAF=ACDE=90°,

AF=DE

：/ADF二ADCEISAS),

：.ZADF=ADCE1

/DCE+NDEG=180°-NCDE=90°,

/.Z4PF+ZDEG=90°,

/.ZDGE=90°,即CE_L/>，结论①正确;

•.•CE平分NACD,CE±DFt

:.CH=DC=\f

/CDH=ZCHD=ZAHF,

-AB//CD,

(CDH=ZAFH,

：."FH=ZAHF,

.\AF=AH,

-：AF=DE

:.DE\DC=AF^CH=AH^CH=ACf结论②正确；

•.•CH=1,AC=&,

:.DE=AF=AH=AC-CH=-/2-\,

.・.AE=l-(V2-l)=2-x/2,

:•空=^^=6,HPAE=j2AHf故结论③错误；

AHx/2-1

如图，过点P作PM_LCD于点M,连接"M,

•・・CE平分/AC£＞,PMVCD,PQ1AC,

PM=PQ,

PH+PQ=PH+PM,

由两点之间线段最短得：当点H，P，M共线时，PH+P例取得最小值

由垂线段最短得；当〃“_LCT＞时，"A/取得最小值，

此时在Rt^CHM中，HM=CH-sinNACO=sin45°=—,

2

即P〃+PQ的最小值是走，结论④正确；

2

综上，所有正确结论的序号是①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是

④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当"MJLCD时，取最小值是解题关键.

7.如图，在正方形A8CD中，点E、尸分别在边4c8上，且㈤尸=45。，AE交BD于M点、,AF

交8。于N点.下列结论：©BM2+DN2=MN2；②若尸是。＞的中点，则tan/AEE=2；③连

接叱，则4AA归为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是（把你认为所有正

确的都填上）.

AD

【答案】①③/③①

【分析】将绕点A逆时针旋转90。得到△相＞〃，连接NH,可得NE4尸=4M"=45。，根据

正方形的性质证明△AMNNA”N（SAS）,在Rt^NDH中,由勾股定理“M=D”?十，即可证

明①；

过A作HG_LAE,交CD延长线于G,由（1）同理可得,设

DF=x,BE=DG=y,

3

则可表示出设CKCE、EF,在R〔△瓦C中，由勾股定理可得A］），，设X=3〃7,则），=2"?,即

口J证明②;

根据条件可证明△AMNs/V）户N,进而证明△AOVs.FN,即可证明③.

【解析】解：①将△A8W绕点4逆时针旋转90。得到“VW,连接NH,

*/ZE4F=45°,

/.ZEAF=ZHAF=450f

I△A8W绕点4逆时针旋转90。得到,

AH=AM,BM=DH,ZABM=ZJ\DH=45°,

XV/w=/w,

△AMNNAMV(SAS),

:・MN=HN,

而ZNDH=ZADB+ZADH=45。+45。=90°,

在RtANDH中，HN2=DH2+DN：

/.RM2+DN2=MN2,故①正确：

②过八作AGJ.AE,交CD延长线于G,如图:

BEC

由(1)同理可得“罚金4犷，/XABE^^ADG,

EF=GF=DF+DG=DF+BE、NAEF=NG,

设£)产=乂RE=DG=yf

・・/是CD的中点，

则CF—x,CD=BC-AD=2x,EF=x+y,CE=BC-BE=2x-y,

222

在RtZXEFC中，CE+CF=EF1

/.(2x-y)2+x2=(x+y)2,

解得K

乙

设x=3/〃，则y=2小，

/.AD=2x=6m,DG=2m,

在Rt^ADG中，tanZ.G-=—=3,

DG2m

・・・lan/A在=3,故②不正确；

③NMAN=NNDF=45°,Z4W=/〃W,

/.4AMNs^DFN,

.AN_MN

・•丽一丽’

.AN_DN

・・加一丽’

・.•/和D=4FNM,

：.AADNS.FN,

NMFN=ZADN=45°,

0

：.^MAF=^MFA=45t

・・・"M/为等腰直角三角形，故③正确，

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的

判定与性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线

是解决此类题的关键.

8.将一张正方形纸片A8CD对折，使CD与重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点、,

将△（?£>£：沿力E所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点尸处，连接AF,BF,BD,则

得下列结论：①AADF是等边三角形；②tanZEBF=2-G;③S△皿=正力形枷。；®BF2=DFEF.K

中正确的是（）

A.①@④R.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】A

【分析】①由折叠的性质和线段垂直平分线的性质得出△4）尸是等边三角形，①正确；

（2）^AB=AD=BC=46/,则MV=4a,BN=AM=2a,求出FM=ViAM=26a,再求出

川二（4-26%即可得出②正确；

③分别求出AADF的面积和正方形A8CD的面积得出③错误；

④证明△/?及”工）所得出④正确；即可得出结论.

【解析】解：・・•四边形A8CQ是正方形，

AAB=CD=AD,NC=/BAD=ZADC=90。,ZABD=ZADB=45°,

由折叠的性质得：MN垂直平分A。，FD=CDfBN=CN,NFDE=/CDE,NO庄=NC=90。,

/DEF=/DEC,

FD=FAf

：,AD=FD=FAf即△AO/是等边三角形，①正确；

设A8=AZ）=8C=4«,则MN=4a,BN=AM=2a,

•.*/是等边三角形，

ZDAF=ZAFD=ZADF=60°fFA=AD=4a,FM=&M=2瓜,

.・.FN=MN-FM=14-2回a,

tanZEBF=—=4-2^=2-V3,②正币角；

BN2

△APF的面积=；4D/M=；x4ax2岛=46/,

正方形ABCQ的面积=（4af=16",

・・・丹一邛邛，③错误；

104

＞正方形ABCD

VAF=/W,ZBAF=90°-60°=30°,

/AFB=ZABF=75°f

：./DBF=75°-45°=30°,/BFE=360°-90°-60°-75°=135°=/DFB,

V/EBF=15°,

：.Z.BEF=180°-ZEBF-/BFE

=180。-15。-135。=30°=/DBF,

；•ABEFS^DBF,

.BF_EF

"~DF~~BF'

BF2=DFEF,④正确；

故选A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判

定与性质、相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明"是解决问题的关键.

9.如图，在正方形A8C。中，点E为边C。的中点，连接AE,过点B作8E_LAE于点尸，连接

80交AE于点G,FH平分NMG交BD于点H,则下列结论中，正确的个数为（）

①AB'=BFAE;②％（；,.：S△创〃=2:3；③当赫=〃时，BD2-BDHD=a2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】①根据题意可得尸=90。-/加尸=/04£,则cosZ/WF=cosNEA。，即空=空，又

ABAE

=即可判断①；②设正方形的边长为“，根据勾股定理求得"，证明△GZVFG。，根

据相似三角形的性质求得GE,进而求得阳，即可判断②；过点〃分别作8F,AE的垂线，垂足

分别为M,N,根据②的结论求得知/,勾股定理求得知），即可判断③.

【解析】•・,四边形A8C。是正方形，

/.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

9：BFLAE

/.ZABF=90°-/BAF=乙DAE

/.cosZABF=cosZ.EAD

BFAD

即Hn一=——,又AB=AD,

ABAE

•'AB'BFAE,故①正确;

设正方形的边长为。，

•・•点E为边8的中点,

：.DE=-

2t

/.tanZABF=tansZ.EAD=—,

2

在RlZMBE中，ABHAF'BF?=&F=a，

・亚

••AF=——a

5

在RIZXAOX中，AE=yjAD2+DE2=—

2

•口口A口、口后后3石

••Er=AE-Ar=——a-----a=------a,

2510

VAB//DE

••AGABS^GED

.AGAB.

..-----=-----=2

GEDE

：.GE=-AE=—a

36

・"KAFE有出加20

••rG=AE-Ar-CJE=——a----a-------a=------

25615

如

a

.AF=~T=3

・・FG2亚2

-----a

15

•*S&BGF：S.w=2:3,故②正确；

.*AB=a,

：-BD1=AB-+AD1=2a1,

如图所示，过点〃分别作8F,AE的垂线，垂足分别为M,N,

・・・四边形FMMV是矩形，

•・・尸〃是NMG的角平分线,

HM=HN,

・•・四边形FMHN是正方形，

/.FN=HM=HN

.*BF=2AF=—a,FG=­a

515

.MHFG

设MH=b,jjllj13F=BM+FM=BM+MH=3l7+b=4b

在中，BH7BM?+MH°=M），

..2也

・BF=-----a

5

.25/5

••a=4b

5

解得：b=^a

BH=>/?0xci—a,

102

222

：.BD-BDHD=2a->/2ax—a=af故④正确.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相

似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.如图，在中，AB=CB,BE1AC,一以C的平分线交旌于点G,。。_1_4）于

点0，交AC于点、F,连接GF,DF.下列结论：①lanN朋。=3；②四边形双邛G是菱形；③

CE=（e+l）GE；④S四边形G8£=S“卬.上述结论中正确的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】②证明△